高考數(shù)學(xué)大二輪總復(fù)習(xí)與增分策略 專題七 概率與統(tǒng)計(jì) 第2講 概率練習(xí) 理

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第2講　概　率 1．(2016課標(biāo)全國乙)為美化環(huán)境，從紅、黃、白、紫4種顏色的花中任選2種花種在一個(gè)花壇中，余下的2種花種在另一個(gè)花壇中，則紅色和紫色的花不在同一花壇的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　將4種顏色的花任選2種種在一個(gè)花壇中，余下2種種在另一個(gè)花壇，有((紅黃)、(白紫))，((白紫)、(紅黃))，((紅白)、(黃紫))，((黃紫)、(紅白))，((紅紫)、(黃白))，((黃白)、(紅紫))共6種種法，其中紅色和紫色不在一個(gè)花壇的種數(shù)有((紅黃)、(白紫))，((白紫)、(紅黃))，((紅白)、(黃紫))，((黃紫)，(紅白))，共4種，故所求概率為P＝＝，選C. 2．(2016課標(biāo)全國乙)某公司的班車在7：30,8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過10分鐘的概率是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　如圖所示，畫出時(shí)間軸： 小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P＝＝，故選B. 3．(2016北京)袋中裝有偶數(shù)個(gè)球，其中紅球、黑球各占一半．甲、乙、丙是三個(gè)空盒，每次從袋中任意取出兩個(gè)球，將其中一個(gè)球放入甲盒，如果這個(gè)球是紅球，就將另一個(gè)球放入乙盒，否則就放入丙盒．重復(fù)上述過程，直到袋中所有球都被放入盒中，則(　　) A．乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B．乙盒中紅球與丙盒中黑球一樣多 C．乙盒中紅球不多于丙盒中紅球 D．乙盒中黑球與丙盒中紅球一樣多 答案　B 解析　取兩個(gè)球往盒子中放有4種情況： ①紅＋紅，則乙盒中紅球數(shù)加1； ②黑＋黑，則丙盒中黑球數(shù)加1； ③紅＋黑(紅球放入甲盒中)，則乙盒中黑球數(shù)加1； ④黑＋紅(黑球放入甲盒中)，則丙盒中紅球數(shù)加1. 因?yàn)榧t球和黑球個(gè)數(shù)一樣，所以①和②的情況一樣多．③和④的情況完全隨機(jī)，③和④對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)沒有任何影響．①和②出現(xiàn)的次數(shù)是一樣的，所以對(duì)B選項(xiàng)中的乙盒中的紅球數(shù)與丙盒中的黑球數(shù)的影響次數(shù)一樣．綜上，選B. 4．(2016四川)同時(shí)拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當(dāng)至少有一枚硬幣正面向上時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，則在2次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值是________． 答案　 解析　由題可知，在一次試驗(yàn)中，試驗(yàn)成功(即至少有一枚硬幣正面向上)的概率為P＝1－＝，∵2次獨(dú)立試驗(yàn)成功次數(shù)X滿足二項(xiàng)分布X～B，則E(X)＝2＝. 1.以選擇題、填空題的形式考查古典概型、幾何概型的基本應(yīng)用； 2.將古典概型與概率的性質(zhì)相結(jié)合，考查知識(shí)的綜合應(yīng)用能力. 熱點(diǎn)一　古典概型和幾何概型 1．古典概型的概率 P(A)＝＝. 2．幾何概型的概率 P(A)＝. 例1　(1)(2015課標(biāo)全國Ⅰ)如果3個(gè)正整數(shù)可作為一個(gè)直角三角形三條邊的邊長，則稱這3個(gè)數(shù)為一組勾股數(shù)，從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)，則這3個(gè)數(shù)構(gòu)成一組勾股數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. (2)(2016山東)在[－1,1]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線y＝kx與圓(x－5)2＋y2＝9相交”發(fā)生的概率為________． 答案　(1)C　(2) 解析　(1)從1,2,3,4,5中任取3個(gè)不同的數(shù)共有如下10個(gè)不同的結(jié)果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股數(shù)只有(3,4,5)，所以概率為.故選C. (2)由已知得，圓心(5,0)到直線y＝kx的距離小于半徑，∴<3，解得－n. (1)求m與n的值； (2)該校根據(jù)三個(gè)社團(tuán)活動(dòng)安排情況，對(duì)進(jìn)入“攝影”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分1分，對(duì)進(jìn)入“棋類”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分2分，對(duì)進(jìn)入“ 國學(xué)”社的同學(xué)增加校本選修學(xué)分3分．求該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分分?jǐn)?shù)的分布列及均值． 解　(1)依題意， 解得 (2)由題設(shè)該新同學(xué)在社團(tuán)方面獲得校本選修課學(xué)分的分?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X，則X的值可以為0,1,2,3,4,5,6. 而P(X＝0)＝＝； P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝； P(X＝3)＝＋＝； P(X＝4)＝＝； P(X＝5)＝＝； P(X＝6)＝＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以E(X)＝0＋1＋2＋3＋4＋5＋6＝. 1．某校在2016年的中學(xué)數(shù)學(xué)挑戰(zhàn)賽中有1 000人參加考試，數(shù)學(xué)考試成績(jī)?chǔ)巍玁(90，σ2)(σ>0，試卷滿分150分)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果顯示數(shù)學(xué)考試成績(jī)?cè)?0分到110分之間的人數(shù)約為總?cè)藬?shù)的，則此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的考生人數(shù)約為(　　) A．200 B．400 C．600 D．800 押題依據(jù)　正態(tài)分布多以實(shí)際問題為背景，有很強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值，應(yīng)引起考生關(guān)注． 答案　A 解析　依題意得P(70≤ξ≤110)＝0.6， P(ξ≤110)＝0.3＋0.5＝0.8，P(ξ≥110)＝0.2， 于是此次數(shù)學(xué)考試成績(jī)不低于110分的考生約有 0．21 000＝200(人)． 2．位于坐標(biāo)原點(diǎn)的一個(gè)質(zhì)點(diǎn)P按下述規(guī)則移動(dòng)：質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴?，并且向上、向右移?dòng)的概率都是.質(zhì)點(diǎn)P移動(dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)的概率是________． 押題依據(jù)　二項(xiàng)分布模型和獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)是生活中常見概率問題的抽象和提煉，也是高考的熱點(diǎn)． 答案　 解析　由于質(zhì)點(diǎn)每次移動(dòng)一個(gè)單位，移動(dòng)的方向?yàn)橄蛏匣蛳蛴遥苿?dòng)五次后位于點(diǎn)(2,3)，所以質(zhì)點(diǎn)P必須向右移動(dòng)兩次，向上移動(dòng)三次，故其概率為C()3()2＝C()5＝C()5＝. 3．甲、乙兩人進(jìn)行乒乓球比賽，約定每局勝者得1分，負(fù)者得0分，比賽進(jìn)行到有一人比對(duì)方多2分或打滿6局時(shí)停止．設(shè)甲在每局中獲勝的概率為，乙在每局中獲勝的概率為，且各局勝負(fù)相互獨(dú)立，比賽停止時(shí)一共已打ξ局． (1)列出隨機(jī)變量ξ的分布列； (2)求ξ的均值E(ξ)． 押題依據(jù)　利用隨機(jī)變量求解概率問題是高考的必考點(diǎn)，一般以解答題形式出現(xiàn)，考查離散型隨機(jī)變量的均值． 解　(1)依題意知，ξ的所有可能取值為2,4,6. 設(shè)每2局比賽為一輪，則該輪結(jié)束時(shí)比賽停止的概率為()2＋()2＝. 若該輪結(jié)束時(shí)比賽還將繼續(xù)，則甲、乙在該輪中必是各得1分，此時(shí)，該輪比賽結(jié)果對(duì)下輪比賽是否停止沒有影響．則有P(ξ＝2)＝，P(ξ＝4)＝＝，P(ξ＝6)＝()2＝， 所以ξ的分布列為 ξ 2 4 6 P (2)E(ξ)＝2＋4＋6＝. A組　專題通關(guān) 1．一枚硬幣連擲2次，只有一次出現(xiàn)正面的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　一枚硬幣連擲2次可能出現(xiàn)(正，正)、(反，反)、(正，反)、(反，正)四種情況，只有一次出現(xiàn)正面的情況有兩種，∴P＝＝，故選D. 2．某高中數(shù)學(xué)老師從一張測(cè)試卷的12道選擇題、4道填空題、6道解答題中任取3道題作分析，則在取到選擇題時(shí)解答題也取到的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　從題設(shè)22道題中任取3題，選到選擇題的選法有(C－C)種，選到選擇題也選到解答題的選法可分兩類，選到1道選擇題，或選到2道選擇題，因此方法數(shù)為C(CC＋C)＋CC，所以所求概率為P＝，故選C. 3．已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)＝e(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則(　　) A．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2>σ3 B．μ1>μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 C．μ1＝μ2<μ3，σ1<σ2＝σ3 D．μ1<μ2＝μ3，σ1＝σ2<σ3 答案　D 解析　正態(tài)曲線關(guān)于直線x＝μ對(duì)稱，由題圖可知μ1<μ2＝μ3；而σ決定正態(tài)曲線的形狀，σ越小，圖象越“瘦而高”，σ越大，圖象越“胖而矮”，所以σ1＝σ2<σ3，故選D. 4．甲、乙兩個(gè)運(yùn)動(dòng)員射擊命中環(huán)數(shù)ξ，η的分布列如下表．其中射擊成績(jī)比較穩(wěn)定的運(yùn)動(dòng)員是(　　) 環(huán)數(shù)k 8 9 10 P(ξ＝k) 0.3 0.2 0.5 P(η＝k) 0.2 0.4 0.4 A.甲 B．乙 C．一樣 D．無法比較 答案　B 解析　由題中分布列可得，E(ξ)＝0.38＋0.29＋0.510＝9.2，E(η)＝0.28＋0.49＋0.410＝9.2＝E(ξ)，D(ξ)＝(8－9.2)20.3＋(9－9.2)20.2＋(10－9.2)20.5＝0.76，D(η)＝(8－9.2)20.2＋(9－9.2)20.4＋(10－9.2)20.4＝0.56，則p的取值范圍是________． 答案　(0，) 解析　由已知得P(η＝1)＝p，P(η＝2)＝(1－p)p，P(η＝3)＝(1－p)2，則E(η)＝p＋2(1－p)p＋3(1－p)2＝p2－3p＋3>，解得p>或p<，又p∈(0,1)， 所以p∈(0，)． 9．若隨機(jī)變量ξ～N(2,1)，且P(ξ>3)＝0.158 7，則P(ξ>1)＝________. 答案　0.841 3 解析　因?yàn)棣巍玁(2,1)，且P(ξ>3)＝0.158 7， 所以P(ξ<1)＝P(ξ>3)＝0.158 7， 所以P(ξ>1)＝1－P(ξ<1)＝1－0.158 7＝0.841 3. 10．有三位環(huán)保專家從四個(gè)城市中每人隨機(jī)選取一個(gè)城市完成一項(xiàng)霧霾天氣調(diào)查報(bào)告，三位專家選取的城市可以相同，也可以不同． (1)求三位環(huán)保專家選取的城市各不相同的概率； (2)設(shè)選取某一城市的環(huán)保專家有ξ人，求ξ的分布列及均值． 解　(1)事件A表示“三位環(huán)保專家選取的城市各不相同”，則P(A)＝＝. (2)由題意可知ξ＝0,1,2,3， P(ξ＝0)＝＝，P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝2)＝＝，P(ξ＝3)＝＝， 故ξ的分布列為 ξ 0 1 2 3 P 均值E(ξ)＝0＋1＋2＋3＝. B組　能力提高 11．某人射擊一次擊中的概率為，經(jīng)過3次射擊，此人至少有2次擊中目標(biāo)的概率為(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　該人3次射擊，恰有2次擊中目標(biāo)的概率是 P1＝C2， 3次全部擊中目標(biāo)的概率是P2＝C3， 所以此人至少有2次擊中目標(biāo)的概率是 P＝P1＋P2＝C2＋C3＝. 12．先后擲兩次骰子(骰子的六個(gè)面上分別有1,2,3,4,5,6個(gè)點(diǎn))，落在水平桌面后，記正面朝上的點(diǎn)數(shù)分別為x，y，設(shè)事件A為“x＋y為偶數(shù)”，事件B為“x，y中有偶數(shù)且x≠y”，則概率P(B|A)等于(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　正面朝上的點(diǎn)數(shù)(x，y)的不同結(jié)果共有CC＝36(種)． 事件A：“x＋y為偶數(shù)”包含事件A1：“x，y都為偶數(shù)”與事件A2：“x，y都為奇數(shù)”兩個(gè)互斥事件，其中P(A1)＝＝，P(A2)＝＝， 所以P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝. 事件B為“x，y中有偶數(shù)且x≠y”，所以事件AB為“x，y都為偶數(shù)且x≠y”，所以P(AB)＝＝. 由條件概率的計(jì)算公式，得P(B|A)＝＝. 13．(2015湖南)某商場(chǎng)舉行有獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，顧客購買一定金額的商品后即可抽獎(jiǎng)，每次抽獎(jiǎng)都是從裝有4個(gè)紅球、6個(gè)白球的甲箱和裝有5個(gè)紅球、5個(gè)白球的乙箱中，各隨機(jī)摸出1個(gè)球，在摸出的2個(gè)球中，若都是紅球，則獲一等獎(jiǎng)；若只有1個(gè)紅球，則獲二等獎(jiǎng)；若沒有紅球，則不獲獎(jiǎng)． (1)求顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)的概率； (2)若某顧客有3次抽獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，記該顧客在3次抽獎(jiǎng)中獲一等獎(jiǎng)的次數(shù)為X，求X的分布列和均值． 解　(1)記事件A1＝{從甲箱中摸出的1個(gè)球是紅球}， A2＝{從乙箱中摸出的1個(gè)球是紅球}， B1＝{顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)}，B2＝{顧客抽獎(jiǎng)1次獲二等獎(jiǎng)}，C＝{顧客抽獎(jiǎng)1次能獲獎(jiǎng)}． 由題意，A1與A2相互獨(dú)立，A12與1A2互斥，B1與B2互斥，且B1＝A1A2，B2＝A12＋1A2，C＝B1＋B2. 因?yàn)镻(A1)＝＝，P(A2)＝＝， 所以P(B1)＝P(A1A2)＝P(A1)P(A2)＝＝， P(B2)＝P(A12＋1A2)＝P(A12)＋P(1A2) ＝P(A1)P(2)＋P(1)P(A2) ＝P(A1)[1－P(A2)]＋[1－P(A1)]P(A2) ＝＋＝. 故所求概率為 P(C)＝P(B1＋B2)＝P(B1)＋P(B2)＝＋＝. (2)顧客抽獎(jiǎng)3次可視為3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，由(1)知，顧客抽獎(jiǎng)1次獲一等獎(jiǎng)的概率為，所以X～B. 于是 P(X＝0)＝C03＝， P(X＝1)＝C12＝， P(X＝2)＝C21＝， P(X＝3)＝C30＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 P X的均值為E(X)＝3＝.