高考數(shù)學(xué)(四海八荒易錯(cuò)集)專(zhuān)題09 等差數(shù)列與等比數(shù)列 理
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專(zhuān)題09 等差數(shù)列與等比數(shù)列1已知等差數(shù)列an前9項(xiàng)的和為27,a108,則a100等于()A100B99C98D97答案C解析由等差數(shù)列性質(zhì),知S99a527,得a53,而a108,因此公差d1,a100a1090d98,故選C.2設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且a10,a3a100,a6a70的最大自然數(shù)n的值為()A6B7C12D13答案C解析a10,a6a70,a70,a1a132a70,S130的最大自然數(shù)n的值為12.3已知各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列an滿足a42a3a80,數(shù)列bn是等比數(shù)列,且b7a7,則b2b12等于()A1B2C4D8答案C解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,因?yàn)閍42a3a80,所以a73d2a3(a7d)0,即a2a7,解得a70(舍去)或a72,所以b7a72.因?yàn)閿?shù)列bn是等比數(shù)列,所以b2b12b4.4已知各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列an滿足a7a62a5,存在兩項(xiàng)am,an使得4a1,則的最小值為()A.B.C.D.答案A5定義在(,0)(0,)上的函數(shù)f(x),如果對(duì)于任意給定的等比數(shù)列an,f(an)仍是等比數(shù)列,則稱(chēng)f(x)為“保等比數(shù)列函數(shù)”現(xiàn)有定義在(,0)(0,)上的如下函數(shù):f(x)x2;f(x)2x;f(x);f(x)ln|x|.則其中是“保等比數(shù)列函數(shù)”的f(x)的序號(hào)為()ABCD答案C解析等比數(shù)列性質(zhì),anan2a,f(an)f(an2)aa(a)2f2(an1);f(an)f(an2)f2(an1);f(an)f(an2)ln|an|ln|an2|(ln|an1|)2f2(an1)故選C.6已知an為等差數(shù)列,Sn為其前n項(xiàng)和若a16,a3a50,則S6_.答案6解析a3a52a40,a40.又a16,a4a13d0,d2.S666(2)6.7已知an是等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和若a1a3,S510,則a9的值是_答案20解析設(shè)等差數(shù)列an公差為d,由題意可得:解得則a9a18d48320.8設(shè)等比數(shù)列an滿足a1a310,a2a45,則a1a2an的最大值為_(kāi)答案64解析設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,解得a1a2an(3)(2)(n4)nN*,當(dāng)n3或4時(shí),取到最小值6,此時(shí)取到最大值2664,a1a2an的最大值為64.9若等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù),且a10a11a9a122e5,則lna1lna2lna20_.答案50解析數(shù)列an為等比數(shù)列,且a10a11a9a122e5,a10a11a9a122a10a112e5,a10a11e5,lna1lna2lna20ln(a1a2a20)ln(a10a11)10ln(e5)10lne5050.10已知數(shù)列an,bn滿足a1,anbn1,bn1 (nN*),則b2015_.答案解析anbn1,且bn1,bn1,a1,且a1b11,b1,bn1,1.又b1,2.數(shù)列是以2為首項(xiàng),1為公差的等差數(shù)列,n1,bn.則b2015.易錯(cuò)起源1、等差數(shù)列、等比數(shù)列的運(yùn)算例1、(1)已知數(shù)列an中,a3,a7,且是等差數(shù)列,則a5等于()A.B.C.D.(2)已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù),其前n項(xiàng)和為Sn,且a1a79,a42,則S8等于()A15(1) B15C15D15(1)或15(1)答案(1)B(2)D解析(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為d,則4d,4d,解得d2.2d10,解得a5.(2)由a42,得a1a7a8,故a1,a7是方程x29x80的兩根,所以或因?yàn)榈缺葦?shù)列an的各項(xiàng)都為正數(shù),所以公比q0.當(dāng)時(shí)q,所以S815(1);當(dāng)時(shí),q,所以S815.故選D.【變式探究】(1)已知an是等差數(shù)列,公差d不為零若a2,a3,a7成等比數(shù)列,且2a1a21,則a1_,d_.(2)已知數(shù)列an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列,a1a21,a3a42,則log2_.答案(1)1(2)1006【名師點(diǎn)睛】在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項(xiàng)與和的運(yùn)算時(shí),若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯,則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解,但要注意消元法及整體計(jì)算,以減少計(jì)算量【錦囊妙計(jì),戰(zhàn)勝自我】1通項(xiàng)公式等差數(shù)列:ana1(n1)d;等比數(shù)列:ana1qn1.2求和公式等差數(shù)列:Snna1d;等比數(shù)列:Sn(q1)3性質(zhì)若mnpq,在等差數(shù)列中amanapaq;在等比數(shù)列中amanapaq.易錯(cuò)起源2、等差數(shù)列、等比數(shù)列的判定與證明例2、已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn (nN*),且滿足anSn2n1.(1)求證:數(shù)列an2是等比數(shù)列,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)求證:. (2),()()().【變式探究】(1)已知數(shù)列an中,a11,an12an3,則an_.(2)已知數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若數(shù)列bn滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng),并且以(bn,Tn) (nN*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ayx2xb (a為非零常數(shù))上運(yùn)動(dòng),則稱(chēng)數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”已知數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”,則()Abn一定為等比數(shù)列Bbn一定為等差數(shù)列Cbn只從第二項(xiàng)起為等比數(shù)列Dbn只從第二項(xiàng)起為等差數(shù)列答案(1)2n13(2)B解析(1)由已知可得an132(an3),又a134,故an3是以4為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列an342n1,an2n13.(2)由已知條件可知,若數(shù)列bn為“拋物數(shù)列”,設(shè)數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,則數(shù)列bn滿足各項(xiàng)均為正項(xiàng),并且以(bn,Tn)(nN*)為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線ayx2xb (a為非零常數(shù))上運(yùn)動(dòng),即aTnbbnb,當(dāng)n1時(shí),aT1bb1bab1bb1bbb1b0abab12b0,即b1;當(dāng)n2時(shí),由aTnbbnb,及aTn1bbn1b,兩式相減得abn(bb)(bnbn1)(bb)(bnbn1)0,由各項(xiàng)均為正項(xiàng),可得bnbn11(n2),由等差數(shù)列的定義可知bn一定為等差數(shù)列【名師點(diǎn)睛】 (1)判斷一個(gè)數(shù)列是等差(比)數(shù)列,也可以利用通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式,但不能作為證明方法(2)q和aan1an1(n2)都是數(shù)列an為等比數(shù)列的必要不充分條件,判斷時(shí)還要看各項(xiàng)是否為零【錦囊妙計(jì),戰(zhàn)勝自我】數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法:利用定義,證明an1an(nN*)為一常數(shù);利用中項(xiàng)性質(zhì),即證明2anan1an1(n2)(2)證明an是等比數(shù)列的兩種基本方法:利用定義,證明(nN*)為一常數(shù);利用等比中項(xiàng),即證明aan1an1(n2)易錯(cuò)起源3、等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題例3、已知等差數(shù)列an的公差為1,且a2a7a126.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式an與前n項(xiàng)和Sn;(2)將數(shù)列an的前4項(xiàng)抽去其中一項(xiàng)后,剩下三項(xiàng)按原來(lái)順序恰為等比數(shù)列bn的前3項(xiàng),記bn的前n項(xiàng)和為T(mén)n,若存在mN*,使對(duì)任意nN*,總有SnTm恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍解(1)由a2a7a126得a72,a14,an5n,從而Sn.(2)由題意知b14,b22,b31,設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q,則q,Tm81()m,()m隨m增加而遞減,Tm為遞增數(shù)列,得4Tm8.又Sn(n29n)(n)2,故(Sn)maxS4S510,若存在mN*,使對(duì)任意nN*總有SnTm,則106.即實(shí)數(shù)的取值范圍為(6,)【變式探究】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,且Sn13(an1),nN*.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列bn滿足若bnt對(duì)于任意正整數(shù)n都成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍【名師點(diǎn)睛】(1)等差數(shù)列與等比數(shù)列交匯的問(wèn)題,常用“基本量法”求解,但有時(shí)靈活地運(yùn)用性質(zhì),可使運(yùn)算簡(jiǎn)便(2)數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和可以看作關(guān)于n的函數(shù),然后利用函數(shù)的性質(zhì)求解數(shù)列問(wèn)題(3)數(shù)列中的恒成立問(wèn)題可以通過(guò)分離參數(shù),通過(guò)求數(shù)列的值域求解【錦囊妙計(jì),戰(zhàn)勝自我】解決等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合問(wèn)題,要從兩個(gè)數(shù)列的特征入手,理清它們的關(guān)系;數(shù)列與不等式、函數(shù)、方程的交匯問(wèn)題,可以結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性、最值求解1在等差數(shù)列an中,若a4a6a8a10a12120,則2a10a12的值為()A20B22C24D28答案C解析由a4a6a8a10a12(a4a12)(a6a10)a85a8120,解得a824,a8a122a10,2a10a12a824.2已知在等差數(shù)列an中,a1120,d4,若Snan (n2),則n的最小值為()A60B62C70D72答案B解析由題意可知,Snna1d2n2122n,ana1(n1)d1244n,由Snan得2n2126n124,解得n1或n62,又n2,n62,故選B.3在等比數(shù)列an中,a14,公比為q,前n項(xiàng)和為Sn,若數(shù)列Sn2也是等比數(shù)列,則q等于()A2B2C3D3答案C解析由題意可得q1,由數(shù)列Sn2是等比數(shù)列,可得S12,S22,S32成等比數(shù)列,所以(S22)2(S12)(S32),所以(64q)224(1qq2)12,q3(q0舍去)故選C.4某公司為激勵(lì)創(chuàng)新,計(jì)劃逐年加大研發(fā)資金投入若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬(wàn)元,在此基礎(chǔ)上,每年投入的研發(fā)資金比上一年增長(zhǎng)12%,則該公司全年投入的研發(fā)資金開(kāi)始超過(guò)200萬(wàn)元的年份是(參考數(shù)據(jù): lg1.120.05,lg1.30.11,lg20.30)()A2018年B2019年C2020年D2021年答案B解析設(shè)x年后該公司全年投入的研發(fā)資金為200萬(wàn)元,由題可知,130(112%)x200,解得xlog1.123.80,因資金需超過(guò)200萬(wàn),則x取4,即2019年故選B.5函數(shù)f(x)若數(shù)列an滿足anf(n) (nN*),且an是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.C(2,3) D(1,3)答案C解析因?yàn)閍nf(n) (nN*),an是遞增數(shù)列,所以函數(shù)f(x)為增函數(shù)需滿足三個(gè)條件解不等式組得實(shí)數(shù)a的取值范圍是(2,3),故選C.6若數(shù)列n(n4)n中的最大項(xiàng)是第k項(xiàng),則k_.答案4解析設(shè)最大項(xiàng)為第k項(xiàng),則有故k4.7數(shù)列an中,a12,a23,an (nN*,n3),則a2017_.答案2解析因?yàn)閍12,a23,所以a3,a4,a5,a6,a72,a83,所以數(shù)列an是以6為周期的周期數(shù)列,所以a2017a33661a12.8已知數(shù)列an的首項(xiàng)為a12,且an1(a1a2an) (nN*),記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和,則Sn_,an_.答案2n19已知數(shù)列an是等比數(shù)列,并且a1,a21,a3是公差為3的等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)bna2n,記Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和,證明:Sn.(1)解設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,因?yàn)閍1,a21,a3是公差為3的等差數(shù)列,所以即解得a18,q.所以ana1qn18()n124n.(2)證明因?yàn)椋詳?shù)列bn是以b1a24為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列所以Sn1()n.10設(shè)數(shù)列an(n1,2,3,)的前n項(xiàng)和Sn滿足Sn2ana1,且a1,a21,a3成等差數(shù)列(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;(2)記數(shù)列的前n項(xiàng)和為T(mén)n,求使得|Tn1|成立的n的最小值 (2)由(1)可得,所以Tn1.由|Tn1|,得,即2n1000,因?yàn)?951210001024210,所以n10,于是,使|Tn1|成立的n的最小值為10.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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