高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題3_1 導(dǎo)數(shù)以及運(yùn)算、應(yīng)用試題 理（含解析）

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專題3.1 導(dǎo)數(shù)以及運(yùn)算、應(yīng)用 【三年高考】 1. 【2016年高考四川理數(shù)】設(shè)直線l1，l2分別是函數(shù)f(x)= 圖象上點(diǎn)P1，P2處的切線，l1與l2垂直相交于點(diǎn)P，且l1，l2分別與y軸相交于點(diǎn)A，B，則△PAB的面積的取值范圍是( ) （A）(0,1) （B）(0,2) （C）(0,+∞) （D）(1,+∞) 【答案】A 2．【2016高考新課標(biāo)2理數(shù)】若直線是曲線的切線，也是曲線的切線，則 ． 【答案】 3．【2016高考新課標(biāo)3理數(shù)】設(shè)函數(shù)，其中，記的最大值為． （Ⅰ）求； （Ⅱ）求； （Ⅲ）證明． 【解析】（Ⅰ）． （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，,因此，．當(dāng)時(shí)，將變形為．令，則是在上的最大值，，，且當(dāng)時(shí)，取得極小值，極小值為．令，解得（舍去），．（?。┊?dāng)時(shí)，在內(nèi)無極值點(diǎn)，，，，所以．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由，知．又，所以．綜上，． （Ⅲ）由（Ⅰ）得.當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，，所以. 當(dāng)時(shí)，，所以. 4．【2016高考山東理數(shù)】已知. （I）討論的單調(diào)性； （II）當(dāng)時(shí)，證明對(duì)于任意的成立. 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減. 綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)，在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增. 5．【2016高考新課標(biāo)1卷】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn). (I)求a的取值范圍； (II)設(shè)x1,x2是的兩個(gè)零點(diǎn),證明：. 【解析】 （Ⅰ）．（i）設(shè),則,只有一個(gè)零點(diǎn)．（ii）設(shè),則當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．所以在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增．又,,取滿足且,則,故存在兩個(gè)零點(diǎn)．（iii）設(shè),由得或．若,則,故當(dāng)時(shí),,因此在上單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．若,則,故當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),．因此在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增．又當(dāng)時(shí),,所以不存在兩個(gè)零點(diǎn)．綜上,的取值范圍為． （Ⅱ）不妨設(shè),由（Ⅰ）知,,在上單調(diào)遞減,所以等價(jià)于,即．由于,而,所以．設(shè),則．所以當(dāng)時(shí),,而,故當(dāng)時(shí),．從而,故． 6. 【2015高考福建，理10】若定義在上的函數(shù) 滿足 ，其導(dǎo)函數(shù) 滿足 ，則下列結(jié)論中一定錯(cuò)誤的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 7.【2015高考新課標(biāo)2，理12】設(shè)函數(shù)是奇函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，，當(dāng)時(shí)，，則使得成立的的取值范圍是（ ） A． 　　　B． C． 　　　D． 【答案】A 8.【2015高考新課標(biāo)1，理12】設(shè)函數(shù)=,其中a1，若存在唯一的整數(shù)，使得0，則的取值范圍是（ ） (A)[-，1） (B)[-，） (C)[，） (D)[，1） 【答案】D 【解析】設(shè)=，，由題知存在唯一的整數(shù)，使得在直線的下方.因?yàn)椋援?dāng)時(shí)，＜0，當(dāng)時(shí)，＞0，所以當(dāng)時(shí)，=，當(dāng)時(shí)，=-1，，直線恒過（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故選D. 9. 【2015高考新課標(biāo)1，理21】已知函數(shù)f（x）=. (Ⅰ)當(dāng)a為何值時(shí)，x軸為曲線 的切線； （Ⅱ）用 表示m,n中的最小值，設(shè)函數(shù) ，討論h（x）零點(diǎn)的個(gè)數(shù). 【解析】設(shè)曲線與軸相切于點(diǎn)，則，，即，解得.因此，當(dāng)時(shí)，軸是曲線的切線. （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，從而， ∴在（1，+∞）無零點(diǎn). 當(dāng)=1時(shí)，若，則，,故=1是的零點(diǎn)；若，則，,故=1不是的零點(diǎn).當(dāng)時(shí)，，所以只需考慮在（0,1）的零點(diǎn)個(gè)數(shù). 10.【2014江西高考理第14題】若曲線上點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)是________. 【答案】 【解析】設(shè)切點(diǎn)，則由得：，所以點(diǎn)的坐標(biāo)是. 11. 【2014高考遼寧理第21題】已知函數(shù)，. 證明：（Ⅰ）存在唯一，使； (Ⅱ)存在唯一，使，且對(duì)（1）中的. 12. 【2014高考大綱理第22題】函數(shù). （I）討論的單調(diào)性； （II）設(shè)，證明：. 【解析】（I）的定義域?yàn)椋? （i）當(dāng)時(shí)，若，則在上是增函數(shù)；若則在上是減函數(shù)；若則在上是增函數(shù)． （ii）當(dāng)時(shí),成立當(dāng)且僅當(dāng)在上是增函數(shù)． （iii）當(dāng)時(shí)，若，則在是上是增函數(shù)；若，則在上是減函數(shù)；若，則在上是增函數(shù)． 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題,導(dǎo)數(shù)的幾何意義與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用是高考的熱點(diǎn)，年年都出題，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度中檔左右，解答題作為把關(guān)題存在，在考查導(dǎo)數(shù)的概念及其運(yùn)算的基礎(chǔ)上，又注重考查解析幾何的相關(guān)知識(shí)． 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出 , 導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的工具，導(dǎo)數(shù)進(jìn)入新教材之后，給函數(shù)問題注入了生機(jī)和活力，開辟了許多解題新途徑，拓展了高考對(duì)函數(shù)問題的命題空間．所以把導(dǎo)數(shù)與函數(shù)綜合在一起是順理成章的事情，對(duì)函數(shù)的命題已不再拘泥于一次函數(shù)，二次函數(shù)，反比例函數(shù)，指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)等，對(duì)研究函數(shù)的目標(biāo)也不僅限于求定義域，值域，單調(diào)性，奇偶性，對(duì)稱性，周期性等，而是把高次多項(xiàng)式函數(shù)，分式函數(shù)，指數(shù)型，對(duì)數(shù)型函數(shù)，以及初等基本函數(shù)的和、差、積、商都成為命題的對(duì)象，試題的命制往往融函數(shù)，導(dǎo)數(shù)，不等式，方程等知識(shí)于一體，通過演繹證明，運(yùn)算推理等理性思維，解決單調(diào)性，極值，最值，切線，方程的根，參數(shù)的范圍等問題，這類題難度很大，綜合性強(qiáng)，內(nèi)容新，背景新，方法新，是高考命題的豐富寶藏．解題中需用到函數(shù)與方程思想、分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想．因此在2017年高考備考中應(yīng)狠下功夫,抓好基礎(chǔ),提高自己的解題能力,掌握好解題技巧,特別是構(gòu)造函數(shù)的靈活運(yùn)用. 預(yù)測(cè)2017年高考仍將以導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用為背景設(shè)置成的導(dǎo)數(shù)的綜合題為主要考點(diǎn)．也有可能利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義出一道中等難度試題，如求切線，或求參數(shù)值，重點(diǎn)考查運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合能力，以及構(gòu)造新函數(shù)等能力．也有可能考查恒成立與存在性問題. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)導(dǎo)數(shù)的考查主要有導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求最值，證明不等式，證明恒成立，以及存在性問題等，難度較大，往往作為把關(guān)題存在． 考點(diǎn)一、導(dǎo)數(shù)的基本運(yùn)算 【備考知識(shí)梳理】1．常見函數(shù)的求導(dǎo)公式． （１）（C為常數(shù)）；（２）；（３）；（４）；（5）；（6）；（7）且；（8）． 2．兩個(gè)函數(shù)的和、差、積的求導(dǎo)法則 法則1：兩個(gè)函數(shù)的和(或差)的導(dǎo)數(shù),等于這兩個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，即： ( 法則2：兩個(gè)函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù),等于第一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù),加上第一個(gè) 函數(shù)乘以第二個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，即： 若C為常數(shù),則.即常數(shù)與函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)等于常數(shù)乘以函數(shù)的導(dǎo)數(shù)： 法則3兩個(gè)函數(shù)的商的導(dǎo)數(shù)，等于分子的導(dǎo)數(shù)與分母的積，減去分母的導(dǎo)數(shù)與分子的積，再除以分母的平方：‘=（v0）． 3.形如y=f的函數(shù)稱為復(fù)合函數(shù)．復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)步驟：分解——求導(dǎo)——回代．法則：y＇|= y＇| u＇| 【規(guī)律方法技巧】 (1)求導(dǎo)之前，應(yīng)利用代數(shù)、三角恒等式等變形對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后求導(dǎo)，這樣可以減少運(yùn)算量，提高運(yùn)算速度，減少差錯(cuò)； (2)有的函數(shù)雖然表面形式為函數(shù)的商的形式，但在求導(dǎo)前利用代數(shù)或三角恒等變形將函數(shù)先化簡(jiǎn)，然后進(jìn)行求導(dǎo)，有時(shí)可以避免使用商的求導(dǎo)法則，減少運(yùn)算量； (3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)，要正確分析函數(shù)的復(fù)合層次，通過設(shè)中間變量，確定復(fù)合過程，然后求導(dǎo)． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 （1）求的導(dǎo)數(shù)； （2）求的導(dǎo)數(shù)； （3）求的導(dǎo)數(shù)；（4）求y=的導(dǎo)數(shù)；（5）求y＝的導(dǎo)數(shù). 考點(diǎn)二、導(dǎo)數(shù)的幾何意義 【備考知識(shí)梳理】函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在點(diǎn)處的切線的斜率．也就是說，曲線在點(diǎn)處的切線的斜率是．相應(yīng)地，切線方程為． 【規(guī)律方法技巧】 求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數(shù)在的導(dǎo)數(shù)，即曲線在點(diǎn)處切線的斜率；（2）在已知切點(diǎn)和斜率的條件下，求得切線方程 特別地，當(dāng)曲線在點(diǎn)處的切線平行于軸時(shí)（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在），可由切線的定義知切線方程為；當(dāng)切點(diǎn)未知時(shí)，可以先設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016年河南鄭州高三二?！壳€在點(diǎn)處的切線平行于直線，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（ ） A． B． C．和 D． 【答案】C. 2. 【河南八市2016年4月高三質(zhì)檢卷】.已知曲線與恰好存在兩條公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍為________ 【答案】 【解析】的導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)為設(shè)與曲線相切的切點(diǎn)為相切的切點(diǎn)為則有公共切線斜率為又即有即為即有則有即為令則，當(dāng)時(shí)，遞減，當(dāng)時(shí)，遞增．即有處取得極大值，也為最大值，且為由恰好存在兩條公切線，即有兩解，可得的范圍是故答案為 考點(diǎn)三、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性 【備考知識(shí)梳理】一般地，函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系：在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減； 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)單調(diào)區(qū)間的一般步驟.（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)（2）令解不等式，得的范圍就是單調(diào)增區(qū)間;令解不等式，得的范圍就是單調(diào)減區(qū)間（3）對(duì)照定義域得出結(jié)論. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016年山西四校第三次聯(lián)考】已知函數(shù),若對(duì)任意，，則（ ） A. B. C. D. 【答案】A 2. 【2016年山西四市高三四?！吭O(shè)函數(shù). （1）求的單調(diào)區(qū)間； （2）若為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，其中為的導(dǎo)函數(shù)，求的最 大值. 【解析】（1）函數(shù)f（x）=ex-ax-2的定義域是R，f′（x）=ex-a， 若a≤0，則f′（x）=ex-a≥0，所以函數(shù)f（x）=ex-ax-2在（-∞，+∞）上單調(diào)遞增 ,若a＞0，則當(dāng)x∈（-∞，lna）時(shí)，f′（x）=ex-a＜0；當(dāng)x∈（lna，+∞）時(shí)，f′（x）=ex-a＞0；所以，f（x）在（-∞，lna）單調(diào)遞減，在（lna，+∞）上單調(diào)遞增. 考點(diǎn)五、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值 【備考知識(shí)梳理】若滿足，且在的兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則是的極值點(diǎn)，是極值，并且如果在兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則是的極大值點(diǎn)，是極大值；如果在兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則是的極小值點(diǎn)，是極小值 【規(guī)律方法技巧】求函數(shù)的極值的步驟:(1)確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)f′(x) .(2)求方程f′(x)=0的根.(3)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格.檢查f′(x)在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么f(x)在這個(gè)根處取得極大值；如果左負(fù)右正，那么f(x)在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)，那么f(x)在這個(gè)根處無極值. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2015-2016學(xué)年度唐山市高三第一?！恳阎瘮?shù)的極大值為m，極小值為n，則m+n=（ ） (A)0 (B)2 (C) -4 (D) -2 【答案】D 【解析】因?yàn)?，令，解得，所以?dāng) 時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極大值，當(dāng)時(shí)函數(shù)取得極小值，所以，故選D． 2. 【2016年榆林二?！恳阎瘮?shù)，（且）. （1）當(dāng)時(shí)，若已知是函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)，且滿足：，求證：； （2）當(dāng)時(shí)，①求實(shí)數(shù)的最小值；②對(duì)于任意正實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，求證：. 考點(diǎn)五、借助導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值 【備考知識(shí)梳理】求函數(shù)最值的步驟：（1）求出在上的極值.（2）求出端點(diǎn)函數(shù)值. （3）比較極值和端點(diǎn)值，確定最大值或最小值. 【規(guī)律方法技巧】 1、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值問題是要養(yǎng)成列表的習(xí)慣，這樣能使解答過程直觀條理； 2、會(huì)利用導(dǎo)函數(shù)的圖象提取相關(guān)信息； 3、極值點(diǎn)不一定是最值點(diǎn)，最值點(diǎn)也不一定是極值點(diǎn)，但若函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值點(diǎn)，則這個(gè)極值點(diǎn)也一定是最值點(diǎn). 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016年安徽淮南市高三二?！亢瘮?shù)在區(qū)間上的最大值是 . 【答案】 2. 【2016屆邯鄲市一中高三第十次研】已知函數(shù)，其中．（提示：） （1）若是的極值點(diǎn)，求的值； （2）求的單調(diào)區(qū)間； （3）若在上的最大值是0，求的取值范圍． 【解析】（1）．依題意，令，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，時(shí)，符合題意. （2）①當(dāng)時(shí)，，故的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是． ②當(dāng)時(shí)，令，得，或．當(dāng)時(shí)，與的情況如下： - 0 + 0 + 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和．當(dāng)時(shí)，的單調(diào)減區(qū)間是．當(dāng)時(shí)，，與的情況如下： - 0 + 0 + 所以，的單調(diào)增區(qū)間是；單調(diào)減區(qū)間是和． ③當(dāng)時(shí)，的單調(diào)增區(qū)間是； 單調(diào)減區(qū)間是 ．綜上，當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是 ，減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是，減區(qū)間是和；當(dāng)時(shí)，的減區(qū)間是；當(dāng)時(shí)，的增區(qū)間是；，減區(qū)間是和． 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1. 利用導(dǎo)數(shù)求切線問題中的“在”與“過” 在解決曲線的切線問題時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求切線的斜率是非常重要的一類方法.在求解過程中特別注意：曲線在某點(diǎn)處的切線若有則只有一條，曲線過某點(diǎn)的要切線往往不止一條；切線與曲線的公共點(diǎn)不一定只有一個(gè).因此在審題時(shí)應(yīng)首先判斷是“在”還是“過”.若“在”，利用該點(diǎn)出的導(dǎo)數(shù)為直線的斜率，便可直接求解；若“過”，解決問題關(guān)鍵是設(shè)切點(diǎn)，利用“待定切點(diǎn)法”,即：設(shè)點(diǎn)A（x,y）是曲線y=f(x)上的一點(diǎn)，則以A為切點(diǎn)的切線方程為y－y=f,再根據(jù)題意求出切點(diǎn). 2.函數(shù)切線的相關(guān)問題的解決，抓住兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：其一，切點(diǎn)是交點(diǎn)；其二，在切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是切線的斜率．因此，解決此類問題，一般要設(shè)出切點(diǎn)，建立關(guān)系——方程(組)．其三，求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異．過點(diǎn)P的切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上；在點(diǎn)P處的切線，點(diǎn)P是切點(diǎn)． 3．函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在其單調(diào)性研究的作用：(1)當(dāng)函數(shù)在一個(gè)指定的區(qū)間內(nèi)單調(diào)時(shí)，需要這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)不改變符號(hào)(即恒大于或者等于零、恒小于或者等于零)，當(dāng)函數(shù)在一個(gè)區(qū)間內(nèi)不單調(diào)時(shí)，這個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定變號(hào)，如果導(dǎo)數(shù)的圖象是連續(xù)的曲線，這個(gè)導(dǎo)數(shù)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)一定存在變號(hào)的零點(diǎn)，可以把問題轉(zhuǎn)化為對(duì)函數(shù)零點(diǎn)的研究． (2)根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，在函數(shù)解析式中若含有字母參數(shù)時(shí)要進(jìn)行分類討論，這種分類討論首先是在函數(shù)的定義域內(nèi)進(jìn)行，其次要根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)在其定義域內(nèi)的情況進(jìn)行，如果這樣的點(diǎn)不止一個(gè)，則要根據(jù)字母參數(shù)在不同范圍內(nèi)取值時(shí)，導(dǎo)數(shù)等于零的根的大小關(guān)系進(jìn)行分類討論，最后在分類解決問題后要整合一個(gè)一般的結(jié)論．[易錯(cuò)提示]　在利用“若函數(shù)單調(diào)遞增，則”求參數(shù)的范圍時(shí)，注意不要漏掉“等號(hào)”． 4．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值：(1)確定定義域． (2)求導(dǎo)數(shù)． (3)①若求極值，則先求方程的根，再檢驗(yàn)在方程根左、右值的符號(hào)，求出極值．(當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類討論根是否在定義域內(nèi)) ②若已知極值大小或存在的情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程根的大小或存在情況，從而求解． 5．求函數(shù)在上的最大值與最小值的步驟 (1)求函數(shù)在內(nèi)的極值； (2)將函數(shù)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值． 6.利用導(dǎo)數(shù)處理恒成立問題 不等式在某區(qū)間的恒成立問題，可以轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在區(qū)間上的最值問題來解決，函數(shù)的最值問題的求解，利用求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性是常規(guī)途徑，例如：①為增函數(shù)（為減函數(shù)）.②在區(qū)間上是增函數(shù)≥在上恒成立；在區(qū)間上為減函數(shù)≤在上恒成立. 7.利用導(dǎo)數(shù)，如何解決函數(shù)與不等式大題 在高考題的大題中，每年都要設(shè)計(jì)一道函數(shù)大題. 在函數(shù)的解答題中有一類是研究不等式或是研究方程根的情況，基本的題目類型是研究在一個(gè)區(qū)間上恒成立的不等式(實(shí)際上就是證明這個(gè)不等式)，研究不等式在一個(gè)區(qū)間上成立時(shí)不等式的某個(gè)參數(shù)的取值范圍，研究含有指數(shù)式、對(duì)數(shù)式、三角函數(shù)式等超越式的方程在某個(gè)區(qū)間上的根的個(gè)數(shù)等，這些問題依據(jù)基礎(chǔ)初等函數(shù)的知識(shí)已經(jīng)無能為力，就需要根據(jù)導(dǎo)數(shù)的方法進(jìn)行解決．使用導(dǎo)數(shù)的方法研究不等式和方程的基本思路是構(gòu)造函數(shù)，通過導(dǎo)數(shù)的方法研究這個(gè)函數(shù)的單調(diào)性、極值和特殊點(diǎn)的函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)推斷不等式成立的情況以及方程實(shí)根的個(gè)數(shù)．因?yàn)閷?dǎo)數(shù)的引入，為函數(shù)問題的解決提供了操作工具.因此入手大家比較清楚，但是深入解決函數(shù)與不等式相結(jié)合的題目時(shí)，往往一籌莫展.原因是找不到兩者的結(jié)合點(diǎn)，不清楚解決技巧.解題技巧總結(jié)如下 （1）樹立服務(wù)意識(shí)：所謂“服務(wù)意識(shí)”是指利用給定函數(shù)的某些性質(zhì)（一般第一問先讓解決出來），如函數(shù)的單調(diào)性、最值等，服務(wù)于第二問要證明的不等式. （2）強(qiáng)化變形技巧：所謂“強(qiáng)化變形技巧”是指對(duì)于給出的不等式直接證明無法下手，可考慮對(duì)不等式進(jìn)行必要的等價(jià)變形后，再去證明.例如采用兩邊取對(duì)數(shù)（指數(shù)），移項(xiàng)通分等等.要注意變形的方向：因?yàn)橐煤瘮?shù)的性質(zhì)，力求變形后不等式一邊需要出現(xiàn)函數(shù)關(guān)系式. （3）巧妙構(gòu)造函數(shù)：所謂“巧妙構(gòu)造函數(shù)”是指根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的最值進(jìn)行解決.在構(gòu)造函數(shù)的時(shí)候靈活多樣，注意積累經(jīng)驗(yàn)，體現(xiàn)一個(gè)“巧妙”. 二年模擬 1. 【2016屆海南省農(nóng)墾中學(xué)高三考前押題】曲線在點(diǎn)處的切線的傾斜角為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 2. 【2016屆吉林大學(xué)附中高三第二次模擬】已知為正實(shí)數(shù)，直線與曲線相切，則的取值范圍（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】，，令，，為增函數(shù)，所以． 3. 【2016年江西三校第二次聯(lián)考】設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，即在上遞減，所以，．故選A． 4. 【湖北2016年9月三校聯(lián)考】已知函數(shù)的圖象如圖所示，則函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 5. 【2016年江西師大附中高三月考】已知函數(shù)，其在區(qū)間上單調(diào)遞增，則的取值范圍為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 6. 【2016年江西六校聯(lián)考】已知，又，若滿足的有四個(gè)，則的取值范圍為( ) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，當(dāng)時(shí)，恒成立，所以在上為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，，由，得，當(dāng)時(shí)，，為增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，所以函數(shù)在上有一個(gè)最大值為，要使方程，即有四個(gè)實(shí)數(shù)根，令，則方程應(yīng)有兩個(gè)不等根，且一個(gè)根在內(nèi)，一個(gè)根在內(nèi)，再令，因?yàn)?，則只需，即，解得：；所以，使得函數(shù)，方程有四個(gè)實(shí)數(shù)根的的取值范圍是；故選A． 7. 【河南六市高2016年高三三?！恳阎瘮?shù)，關(guān)于的不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C. 【解析】，∴在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，∴，又∵，，不等式只有兩個(gè)整數(shù)解，∴，即實(shí)數(shù)的取值范圍是故選C． 8.【2016年河北石家莊高三二?！恳阎瘮?shù)，若過點(diǎn)可作曲線的兩條切線，且點(diǎn)不在函數(shù)的圖象上，則實(shí)數(shù)的值為______. 【答案】或 9. 【2016屆山西省忻州一中等四校高三下第四次聯(lián)考】設(shè)函數(shù) (Ⅰ)當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的極值； (Ⅱ)若對(duì)任意及任意，恒有 成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 10. 【2016屆安徽師大附中高三最后一卷】定義在上的函數(shù)滿足，. （1）求函數(shù)的解析式； （2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間； （3）如果滿足，那么稱比更靠近.當(dāng)且時(shí)，試比較和哪個(gè)更靠近，并說明理由． 【解析】（1），令解得由，令得，，所以，. （2）因?yàn)椋?，①當(dāng)時(shí)，總有，函數(shù)在上單調(diào)遞增；②當(dāng)時(shí)，由得函數(shù)在上單調(diào)遞增，由得函數(shù)在上單調(diào)遞減；綜上，當(dāng)時(shí)，總有，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增， 在上單調(diào)遞減. 11. 【湖北省重點(diǎn)中學(xué)2015屆高三上學(xué)期第三次月考試題】已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，且滿足關(guān)系式，則的值等于（ ） A. B.2 C. D. 【答案】C. 【解析】因?yàn)?，所以，所以，解之?故應(yīng)選C. 12.【吉林市普通高中 2014—2015 學(xué)年度高三畢業(yè)年級(jí)摸底】 已知曲線 在點(diǎn) P(1, 4) 處的切線與直線 l 平行且距離為，則直線 l 的方程為（ ） A.或 B. C.或 D. 以上都不對(duì) 【答案】C 【解析】因?yàn)榍€，所以，所以在點(diǎn)P（1，4）處的切線的斜率為-4，方程為4x+y-8=0，與直線l平行且距離為的直線方程為4x+y+c=0，則，所以c=9或-25，因此直線的方程為4x+y+9=0或4x+y-25=0，故選C． 13.【雅安中學(xué)2014－2015學(xué)年上期9月試題】已知函數(shù)的兩個(gè)極值點(diǎn)分別為，且，點(diǎn)表示的平面區(qū)域?yàn)?，若函?shù)（）的圖象上存在區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 14.【2015屆北京市東城區(qū)5月綜合練習(xí)】已知函數(shù) ,，（，為常數(shù)）． （Ⅰ）若在處的切線過點(diǎn)，求的值； （Ⅱ）設(shè)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若關(guān)于的方程有唯一解，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）令，若函數(shù)存在極值，且所有極值之和大于，求實(shí)數(shù)的取值范圍． 15. 【2015屆湖南省長沙市雅禮中學(xué)高三4月】已知函數(shù)在處取得極值． （Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值； （Ⅱ）若關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅲ）證明:對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立． 【解析】（Ⅰ） 時(shí),取得極值, 故解得經(jīng)檢驗(yàn)符合題意． （Ⅲ） 的定義域?yàn)?由（1）知令得,或（舍去）,當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞增;當(dāng)時(shí), ,單調(diào)遞減．為在上的最大值．,故（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立） 對(duì)任意正整數(shù),取得, ，故． （方法二）數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)時(shí)，左邊，右邊，顯然，不等式成立． 假設(shè)時(shí)，成立， 則時(shí)，有．做差比較：構(gòu)建函數(shù)，則， 單調(diào)遞減，． 取， 即，亦即， 故時(shí)，有，不等式成立． 綜上可知，對(duì)任意的正整數(shù),不等式都成立． 拓展試題以及解析 1. 已知函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)，則的圖象是（ ） 【答案】A 【入選理由】本題主要考查誘導(dǎo)公式、基本初等函數(shù)的求導(dǎo)法則、函數(shù)的圖象等知識(shí)，意在考查學(xué)生的識(shí)圖能力、邏輯思維能力.此題難度不大，出題角度較新，故選此題． 2．函數(shù)存在與直線平行的切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因?yàn)?，直線的的斜率為，由題意知方程（）有解，因?yàn)?，所以，故選D． 【入選理由】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、基本不等式等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查轉(zhuǎn)化與化歸的思想和基本運(yùn)算能力．本題導(dǎo)數(shù)的幾何意義巧妙地與基本不等式結(jié)合起來，出題方式新穎，試題難度不大，同時(shí)對(duì)導(dǎo)數(shù)運(yùn)算的深層次考查，體現(xiàn)靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決問題能力；故選此題. 3. 已知函數(shù)，若，且，則的取值范圍是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【入選理由】本題主要考查分段函數(shù)與方程的解，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值等，考查函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,意在考查運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運(yùn)算求解能力及基本的邏輯推理能力．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn)，此題運(yùn)用構(gòu)造法，靈活的利用導(dǎo)數(shù)求最小值，構(gòu)思很巧，故選此題. 4. 設(shè)函數(shù)是定義在上的可導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.0或 2 【答案】A 【入選理由】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及函數(shù)的零點(diǎn)，考查構(gòu)造法以及函數(shù)與方程思想和邏輯推理能力，意在考查運(yùn)用轉(zhuǎn)化與化歸思想、綜合分析問題解決問題以及運(yùn)算求解能力及基本的邏輯推理能力．導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn)，此題函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的零點(diǎn)巧妙地結(jié)合起來，構(gòu)思很巧，故選此題. 5. 已知函數(shù)， ，若在上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍為 【答案】 【解析】因?yàn)?，所以若，則，此時(shí)在上至多有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，因此，從而由得，因?yàn)?，因此要使在上有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，須滿足，即，從而實(shí)數(shù)的取值范圍為 【入選理由】本題考查函數(shù)圖象、函數(shù)與方程思想、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查分析問題與解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力．此題難度不大，綜合性較強(qiáng)，體現(xiàn)高考小題綜合化的特點(diǎn)，故選此題. 6. 已知函數(shù)（）. （Ⅰ）若函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍； （Ⅱ）當(dāng)時(shí)，不等式 恒成立，求的取值范圍. 【入選理由】本題主要考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、不等式恒成立以及函數(shù)的定義域等，考查分離參數(shù)法、函數(shù)與方程的思想、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及基本的運(yùn)算能力和邏輯推理能力等，此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，符合高考試題特征，故選此題. 7. 已知函數(shù) (Ⅰ) 若函數(shù)在處的切線過點(diǎn)，求的值； （Ⅱ）若，求證：； （Ⅲ）若恰有三個(gè)不同的零點(diǎn)，求的取值范圍． 【入選理由】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義、利用導(dǎo)數(shù)證明不等式、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)零點(diǎn)等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸能力、綜合分析問題和解決問題的能力以及運(yùn)算求解能力．本題比較綜合，特別是第二問證明不等式問題是高考?？碱}型，故選此題. 8. 已知函數(shù)，. （Ⅰ）當(dāng)時(shí)，若不等式在上恒成立，求的取值范圍； （Ⅱ）已知且，求證：. 【解析】 （1）由題意知，函數(shù)的定義域?yàn)? ，令得. 當(dāng)單調(diào)遞增；當(dāng)單調(diào)遞減， 當(dāng)時(shí),不等式在上恒成立，等價(jià)于在上恒成立， 設(shè)函數(shù) 由上面可知，在處取得極大值，也是最大值，∴. 【入選理由】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值及最值、證明不等式等知識(shí)，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化能力及運(yùn)算求解能力.（1） 利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性求解；（2） 將不等式的證明合理轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解.此題難度較大，綜合性較強(qiáng)，符合高考試題特征，故選此題.