高考數(shù)學（精講+精練+精析）專題8_3 立體幾何綜合問題試題 文（含解析）

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專題8.3 立體幾何綜合問題試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考新課標1文數(shù)】平面過正文體ABCD—A1B1C1D1的頂點A,,,則m,n所成角的正弦值為（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A ,則所成的角等于所成的角.延長,過作,連接,則為,同理為,而,則所成的角即為所成的角,即為,故所成角的正弦值為,故選A. 2. 【2016高考浙江文數(shù)】如圖，已知平面四邊形ABCD，AB=BC=3，CD=1，AD=，∠ADC=90．沿直線AC將△ACD翻折成△，直線AC與所成角的余弦的最大值是______． 【答案】 3. 【2016高考北京文數(shù)】如圖，在四棱錐中，平面， （I）求證：； （II）求證：； （III）設點E為AB的中點，在棱PB上是否存在點F，使得平面?說明理由. 【解析】（I）因為平面，所以．又因為，所以平面． （II）因為，，所以．因為平面，所以．所以平面．所以平面平面． （III）棱上存在點，使得平面．證明如下：取中點，連結，，．又因為為的中點，所以．又因為平面，所以平面． 4. 【2016高考天津文數(shù)】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60，G為BC的中點. (Ⅰ)求證：平面BED；(Ⅱ)求證：平面BED⊥平面AED；(Ⅲ)求直線EF與平面BED所成角的正弦值. 5. 【2016高考新課標1文數(shù)】如圖,在已知正三棱錐P-ABC的側面是直角三角形,PA=6,頂點P在平面ABC內(nèi)的正投影為點E,連接PE并延長交AB于點G. （I）證明G是AB的中點； （II）在答題卡第（18）題圖中作出點E在平面PAC內(nèi)的正投影F（說明作法及理由）,并求四面體PDEF的體積． 6. 【2015高考浙江，文7】如圖，斜線段與平面所成的角為，為斜足，平面上的動點滿足，則點的軌跡是（ ） A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線的一支 【答案】C 【解析】由題可知，當點運動時，在空間中，滿足條件的繞旋轉形成一個圓錐，用一個與圓錐高成角的平面截圓錐，所得圖形為橢圓.故選C. 7.【2015高考福建，文20】如圖，是圓的直徑，點是圓上異于的點，垂直于圓所在的平面，且． （Ⅰ）若為線段的中點，求證平面； （Ⅱ）求三棱錐體積的最大值； （Ⅲ）若，點在線段上，求的最小值． 解法二：（I）、（II）同解法一． 8.【2015高考四川，文18】一個正方體的平面展開圖及該正方體的直觀圖的示意圖如圖所示. (Ⅰ)請按字母F，G，H標記在正方體相應地頂點處(不需要說明理由) (Ⅱ)判斷平面BEG與平面ACH的位置關系.并說明你的結論. (Ⅲ)證明：直線DF平面BEG A B F H E D C G C D E A B 【解析】(Ⅰ)點F，G，H的位置如圖所示 H G O E F B A D C 9.【2015高考重慶，文20】如題（20）圖，三棱錐P-ABC中，平面PAC平面ABC，ABC=，點D、E在線段AC上，且AD=DE=EC=2，PD=PC=4，點F在線段AB上，且EF//BC. (Ⅰ)證明：AB平面PFE. (Ⅱ)若四棱錐P-DFBC的體積為7，求線段BC的長. 【解析】如題(20)圖.由知，為等腰中邊的中點，故， 又平面平面，平面 平面，平面，，所以平面，從而.因. 從而與平面內(nèi)兩條相交直線，都垂直，所以平面. (2)解：設,則在直角中，.從而 由，知，得,故，即. 由,,從而四邊形DFBC的面積為 ，由(1)知，PE 平面，所以PE為四棱錐P-DFBC的高.在直角中，,體積,故得，解得，由于，可得.所以或. 10. 【2014高考重慶文第20題】如題（20）圖，四棱錐中，底面是以為中心的菱形，底面，，為上一點，且. （Ⅰ）證明：平面； （Ⅱ）若，求四棱錐的體積. 11. 【2014高考全國1文第19題】如圖，三棱柱中，側面為菱形，的中點為，且平面. （1） 證明： （2） 若,求三棱柱的高. 12.【2014高考江西文第19題】如圖，三棱柱中，. （1）求證：； （2）若，問為何值時，三棱柱體積最大，并求此最大值. 【解析】（1）證明：由知,又,故平面即,又，所以（2）設在中同理在中, ，所以從而三棱柱的體積為因故當時，即時，體積取到最大值 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 高考對立體幾何的考查，主要考查學生的化歸與轉化能力、空間想象能力以及基本運算能力.線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、線面角等是高考的熱點，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題不僅考查以上內(nèi)容，同時還考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力．而直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定高考大題沒涉及，而在小題中考查，直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定是高考的熱點. 【2017年高考復習建議與高考命題預測】 由前三年的高考命題形式可以看出，線線垂直的判定、線面垂直的判定、面面垂直的判定與性質(zhì)、幾何體的體積，表面積，幾何體的高等是高考的熱點，客觀題主要考查線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)，考查線面角的概念及求法；而主觀題以直線與平面平行的判定，以及平面與平面平行的判定是高考的熱點，故預測2017年高考，可能以錐體為幾何背景，第一問以線面垂直，面面垂直為主要考查點，第二問仍以求體積或表面積為主，突出考查空間想象能力和邏輯推理能力，以及分析問題、解決問題的能力． 復習建議：空間圖形中的角與距離，先根據(jù)定義找出或作出所求的角與距離，然后通過解三角形等方法求值，注意“作、證、算”的有機統(tǒng)一.解題時注意各種角的范圍.異面直線所成角的范圍是0＜θ≤90，其方法是平移法和補形法；直線與平面所成角的范圍是0≤θ≤90，其解法是作垂線、找射影；二面角0≤θ≤180.平面圖形的翻折與空間圖形的展開問題，要對照翻折（或展開）前后兩個圖形，分清哪些元素的位置（或數(shù)量）關系改變了，哪些沒有改變. 【2017年高考考點定位】 對立體幾何中的角與距離，主要以選擇題的方式進行考查，而綜合性問題，主要在解答題中考查，一般第一問證明平行與垂直，第二問求體積，面積，或涉及一些探索性命題，難度不算太大，重點考查學生的空間想象能力、邏輯推理能力以及分析問題、解決問題的能力． 【考點1】空間角，距離的求法 【備考知識梳理】 1．空間的角 (1)異面直線所成的角：如圖，已知兩條異面直線，經(jīng)過空間任一點作直線.則把與所成的銳角(或直角)叫做異面直線與所成的角(或夾角)．異面直線所成的角的范圍是. (2)平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和這個平面所成的角． ①直線垂直于平面，則它們所成的角是直角；②直線和平面平行，或在平面內(nèi)，則它們所成的角是的角．直線與平面所成角的范圍是. (3)二面角的平面角：如圖在二面角的棱上任取一點，以點為垂足，在半平面和內(nèi)分別作垂直于棱的射線和，則叫做二面角的平面角．二面角的范圍是. (4)等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，并且方向相同，那么這兩個角相等. 推論：如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角（或直角）相等. 3.空間距離: （1）兩條異面直線的距離：兩條異面直線的公垂線在這兩條異面直線間的線段的長度，叫做兩條異面直線的距離；常有求法①先證線段為異面直線的公垂線段，然后求出的長即可．②找或作出過且與平行的平面，則直線到平面的距離就是異面直線間的距離．③找或作出分別過且與，分別平行的平面，則這兩平面間的距離就是異面直線間的距離．④根據(jù)異面直線間的距離公式EF ＝（“”符號由實際情況選定）求距離. a b E F （2）點到平面的距離：點Ｐ到直線的距離為點Ｐ到直線的垂線段的長，常先找或作直線所在平面的垂線，得垂足為Ａ，過Ａ作的垂線，垂足為Ｂ連ＰＢ，則由三垂線定理可得線段ＰＢ即為點Ｐ到直線的距離.在直角三角形ＰＡＢ中求出ＰＢ的長即可.常用求法①作出點Ｐ到平面的垂線后求出垂線段的長；②轉移法，如果平面的斜線上兩點Ａ，Ｂ到斜足Ｃ的距離ＡＢ，ＡＣ的比為，則點Ａ，Ｂ到平面的距離之比也為．特別地，ＡＢ＝ＡＣ時，點Ａ，Ｂ到平面的距離相等；③體積法 （3）直線與平面的距離：一條直線和一個平面平行，這條直線上任意一點到平面的距離，叫做這條直線和平面的距離； （4）平行平面間的距離：兩個平行平面的公垂線段的長度，叫做兩個平行平面的距離. 【規(guī)律方法技巧】 1．空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角. （1）異面直線所成的角的范圍是.求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動直線，把異面問題轉化為共面問題來解決 具體步驟如下：①利用定義構造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時平移到某個特殊的位置，頂點選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用三角形來求角; ④補形法：將空間圖形補成熟悉的、完整的幾何體，這樣有利于找到兩條異面直線所成的角θ. （2）直線與平面所成的角的范圍是.求線面角方法: ①利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. ②利用三棱錐的等體積，省去垂足, 在構成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時可以利用求點面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因為垂線段的長度實際就是點面距h,利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進行求解. ③妙用公式，直接得到線面角 課本習題出現(xiàn)過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴. D B A C （3）確定點的射影位置有以下幾種方法： ①斜線上任意一點在平面上的射影必在斜線在平面的射影上； ②如果一個角所在的平面外一點到角的兩邊距離相等，那么這一點在平面上的射影在這個角的平分線上；如果一條直線與一個角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個角的平分線上； ③兩個平面相互垂直，一個平面上的點在另一個平面上的射影一定落在這兩個平面的交線上； ④利用某些特殊三棱錐的有關性質(zhì)，確定頂點在底面上的射影的位置： a.如果側棱相等或側棱與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的外心； b. 如果頂點到底面各邊距離相等或側面與底面所成的角相等，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)； c. 如果側棱兩兩垂直或各組對棱互相垂直，那么頂點落在底面上的射影是底面三角形的垂心； （4）二面角的范圍，解題時要注意圖形的位置和題目的要求.求二面角的方法: ①直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角,自二面角的一個面上一點向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點（即垂足），斜足與面上一點連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角, 自空間一點作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角；③利用定義確定平面角, 在棱上任取一點，過這點在兩個平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角； ②射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 2. 求距離的關鍵是化歸.即空間距離向平面距離化歸，具體方法如下： （1）求空間中兩點間的距離，一般轉化為解直角三角形或斜三角形. （2）求點到直線的距離和點到平面的距離，一般轉化為求直角三角形斜邊上的高；或利用三棱錐的底面與頂點的輪換性轉化為三棱錐的高，即用體積法. （3）求距離的一般方法和步驟：應用各種距離之間的轉化關系和“平行移動”的思想方法，把所求的距離轉化為點點距、點線距或點面距求之，其一般步驟是：①找出或作出表示有關距離的線段；②證明它符合定義；③歸到解某個三角形．若表示距離的線段不容易找出或作出，可用體積等積法計算求之.異面直線上兩點間距離公式，如果兩條異面直線a 、b 所成的角為q ，它們的公垂線AA′的長度為d ，在a 上有線段A′E ＝m ，b 上有線段AF ＝n ，那么EF ＝（“”符號由實際情況選定） 3.求空間中線面的夾角或距離需注意以下幾點： ①注意根據(jù)定義找出或作出所求的成角或距離，一般情況下，力求明確所求角或距離的位置. ②作線面角的方法除平移外，補形也是常用的方法之一；求線面角的關鍵是尋找兩“足”（斜足與垂足），而垂足的尋找通常用到面面垂直的性質(zhì)定理. ③求二面角高考中每年必考，復習時必須高度重視.二面角的平角的常用作法有三種： 根據(jù)定義或圖形特征作；根據(jù)三垂線定理（或其逆定理）作，難點在于找到面的垂線.解決辦法，先找面面垂直，利用面面垂直的性質(zhì)定理即可找到面的垂線；作棱的垂面.作二面角的平面角應把握先找后作的原則.此外在解答題中一般不用公式“＝ ”求二面角否則要適當扣分. ④求點到平面的距離常用方法是直接法與間接法，利用直接法求距離需找到點在面內(nèi)的射影，此時?？紤]面面垂直的性質(zhì)定理與幾何圖形的特殊性質(zhì).而間接法中常用的是等積法及轉移法. ⑤求角與距離的關鍵是將空間的角與距離靈活轉化為平面上的角與距離，然后將所求量置于一個三角形中，通過解三角形最終求得所需的角與距離. 【考點針對訓練】 1. .【2016高考浙江文數(shù)】如圖，在三棱臺ABC-DEF中，平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3. （I）求證：BF⊥平面ACFD； （II）求直線BD與平面ACFD所成角的余弦值. 2. 【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研】如圖，垂直圓所在的平面，是圓上的點，是的中點，為的重心，是圓的直徑，且． （1）求證：平面； （2）求到平面的距離． 【考點2】立體幾何綜合問題 【備考知識梳理】 空間線、面的平行與垂直的綜合考查一直是高考必考熱點.歸納起來常見的命題角度有： 1)以多面體為載體綜合考查平行與垂直的證明. 2)探索性問題中的平行與垂直問題. 3)折疊問題中的平行與垂直問題. 【規(guī)律方法技巧】 1. 證線面平行，一般都考慮采用以下兩種方法：第一，用線面平行的判定定理，第二用面面平行的性質(zhì)定理；2、證面面垂直，關鍵是考慮證哪條線垂直哪個面.這必須結合條件中各種垂直關系充分發(fā)揮空間想象綜合考慮；3、條件中告訴我們某種位置關系，就要聯(lián)系到相應的性質(zhì)定理.比如本題中已知兩平面互相垂直，我們就要兩平面互相垂直的性質(zhì)定理；4、在立體幾何的平行關系問題中，“中點”是經(jīng)常使用的一個特殊點，無論是試題本身的已知條件，還是在具體的解題中，通過找“中點”，連“中點”，即可出現(xiàn)平行線；若是給出了一些比例關系，則通過比例關系證明線線平行.線線平行是平行關系的根本.5、在垂直關系的證明中，線線垂直是問題的核心，可以根據(jù)已知的平面圖形通過計算的方式證明線線垂直，也可以根據(jù)已知的垂直關系證明線線垂直，其中要特別重視兩個平面垂直的性質(zhì)定理，這個定理已知的是兩個平面垂直，結論是線面垂直． 2. 探索性問題 探求某些點的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個方法：一是先假設存在，再去推理，下結論；二是運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出結論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算.探索性問題一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點． 3．折疊問題中的平行與垂直關系的處理關鍵是結合圖形弄清折疊前后變與不變的數(shù)量關系，弄清哪些角度和長度變了，哪些沒有變；哪些線共面，哪些線不共面，翻折后的線與原來的線有什么聯(lián)系，尤其要注意找出互相平行或垂直的直線. 尤其是隱含著的垂直關系． 4．把空間問題轉化為平面問題，從解決平面問題而使空間問題得以解決.求角的三個基本步驟：“作”、“證”、“算”. （1）常用等角定理或平行移動直線及平面的方法轉化所求角的位置； （2）常用平行線間、平行線面間或平行平面間距離相等為依據(jù)轉化所求距離的位置； （3）常用割補法或等積（等面積或等體積）變換解決有關距離及體積問題.] 【考點針對訓練】 1. 【2016屆寧夏高三三輪沖刺】如圖，在三棱錐中，平面平面，，．設分別為中點． （1）求證：平面； （2）求證：平面； （3）試問在線段上是否存在點，使得過三點，的平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行？ 若存在，指出點的位置并證明；若不存在，請說明理由． 又因為平面，平面，所以．又因為，所以平面平面，所以平面內(nèi)的任一條直線都與平面平行． 2. 【2016屆四川南充高中高三4月模擬三】如圖，在正方形中，點分別是的中點，將分別沿、折起， 使兩點重合于. (Ⅰ)求證：平面⊥平面； (Ⅱ)求四棱錐的體積. 【應試技巧點撥】 1．如何求線面角 （1）利用面面垂直性質(zhì)定理，巧定垂足：由面面垂直的性質(zhì)定理，可以得到線面垂直，這就為線面角中的垂足的確定提供了捷徑. （2）利用三棱錐的等體積，省去垂足 在構成線面角的直角三角形中，其中垂線段尤為關鍵.確定垂足，是常規(guī)方法.可是如果垂足位置不好確定，此時可以利用求點面距常用方法---等體積法.從而不用確定垂足的位置，照樣可以求出線面角.因為垂線段的長度實際就是點面距h！利用三棱錐的等體積，只需求出h，然后利用進行求解. （3）妙用公式，直接得到線面角 課本習題出現(xiàn)過這個公式：，如圖所示：.其中為直線AB與平面所成的線面角.這個公式在求解一些選擇填空題時，可直接應用.但是一定要注意三個角的位置，不能張冠李戴. 2.如何求二面角 （1）直接法.直接法求二面角大小的步驟是：一作（找）、二證、三計算.即先作(找)出表示二面角大小的平面角,并證明這個角就是所求二面角的平面角,然后再計算這個角的大小. 用直接法求二面角的大小,其關鍵是確定表示二面角大小的平面角.而確定其平面角,可從以下幾個方面著手:①利用三垂線定理(或三垂線定理的逆定理)確定平面角；②利用與二面角的棱垂直的平面確定平面角；③利用定義確定平面角； （2）射影面積法.利用射影面積公式＝ ；此方法常用于無棱二面角大小的計算；對于無棱二面角問題還有一條途徑是設法作出它的棱，作法有“平移法”“延伸平面法”等. 3.探索性問題 探求某些點的具體位置，使得線面滿足平行或垂直關系，是一類逆向思維的題目.一般可采用兩個方法：一是先假設存在，再去推理，下結論；二是運用推理證明計算得出結論，或先利用條件特例得出結論，然后再根據(jù)條件給出證明或計算. 4．在推證線面平行時，一定要強調(diào)直線不在平面內(nèi)，否則，會出現(xiàn)錯誤． 5．在解決直線與平面垂直的問題過程中，要注意直線與平面垂直定義，判定定理和性質(zhì)定理的聯(lián)合交替使用，即注意線線垂直和線面垂直的互相轉化． 6．面面垂直的性質(zhì)定理是作輔助線的一個重要依據(jù)．我們要作一個平面的一條垂線，通常是先找這個平面的一個垂面，在這個垂面中，作交線的垂線即可． 二年模擬 1. 【2016屆吉林四平一中高三五模】如圖，在棱長均為2的正四棱錐中，點為中點，則下列命題正確的是（ ） A．平面，且直線到平面的距離為 B．平面，且直線到平面的距離為 C．不平行于平面，且到平面所成角大于 D．不平行于平面，且到平面所成角小于 【答案】D 2. 【2016屆黑龍江省哈爾濱六中高三下四?！咳鐖D，四棱錐中，，，和都是等邊三角形，則異面直線和所成角的大小為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】：設，則，過作，則，過作，則即為為所求，如圖所示，過作，連接，則四邊形是梯形，其中，，過作，則，在中，，則，所以，故選A. 3. 【2016屆湖南省長沙市長郡中學高考模擬一】在菱形中，，，將折起到的位置，若三棱錐的外接球的體積為，則二面角的正弦值為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 4. 【2016屆上海市七寶中學高三模擬】在直三棱柱中，，，且異面直線與所成的角等于，設. （1）求的值； （2）求直線到平面的距離. 5. 【2016屆天津市和平區(qū)高三三模】如圖所示的幾何體中,是正三角形, 且平面, 平面,是的中點. （1）求證：； （2）若,求與平面所成角的正切值； （3）在（2）的條件下, 求點到平面的距離. 6.【2016屆湖北襄陽五中高三5月二?！咳鐖D，長方體中，，，點是棱上的一點，． （1）當時，求證：平面； （2）當直線與平面所成角的正切值為時，求的值． 7. 【2016屆云南省師大附中高三適應性月考八】如圖，在底面為菱形的四棱錐中，平面，為的中點，，. （1）求證：平面； （2）若三棱錐的體積為1，求點到平面的距離. 8. 【2016屆海南師大附中高三第九次月考】如圖，平面，矩形的邊長，為的中點. （1）證明：； （2）如果異面直線與所成的角的大小為，求的長及點到平面的距離. 【解析】（1）連 接，由，得，同 理 得 ，，，由勾股定理得，平面，.又平面. （2）取的中點的中點，連,的大小等于異面直線與所成的角或其補角的大小，即或(或者由觀察可知，，不需分類討論)，設，則，若，由 9.【2016屆湖南省長沙市長郡中學高考模擬一】如圖甲，圓的直徑，圓上兩點在直徑的兩側，使，，沿直徑折起，使兩個半圓所在的平面互相垂直（如圖乙），為的中點，根據(jù)圖乙解答下列各題： （1）求點到平面的距離； （2）如圖：若的平分線交弧于一點，試判斷是否與平面平行？并說明理由. 【解析】（1）點到面的距離為. （2）面，理由如下：連結，則中，分別為的中點，∴，又∵面，面，∴面，∵是的平分線，且，令交于，則是的中點，連結，則，又∵面，面，∴面，且，面，∴面面.又面，∴面. 10. 【2016屆河南省新鄉(xiāng)衛(wèi)輝一中高考押題一】已知中，，將沿折起，使 變到，使平面平面． （1）試在線段上確定一點，使平面； （2）試求三棱錐的外接球的半徑與三棱錐的表面積． （2）由（1）可知，，設三棱錐的外接球半徑為，可知，，∴．三棱錐的表面積為． 11. 【浙江省效實中學2015屆高三上學期期中考試】異面直線所成的角為，過空間中定點，與都成角的直線有四條，則的取值范圍是 ． 【答案】 12.【河南省開封市2015屆高三上學期定位考試模擬】三棱柱側棱與底面垂直，體積為，高為，底面是正三角形，若是中心，則與平面所成的角大小是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意可設底面三角形的邊長為，則由棱柱體積公式得，解得，過點作平面的垂線，垂足為，則點為底面的中心，所以，而，所以，又，所以.故正確答案為B. 13. 【江蘇省啟東中學2015屆高三下學期期初調(diào)研】如圖1所示，在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝3，∠ABC＝90，CD為∠ACB的平分線，點E在線段AC上，CE＝4.如圖2所示，將△BCD沿CD折起，使得平面BCD⊥平面ACD，連結AB，設點F是AB的中點． (1)求證：DE⊥平面BCD； (2)在圖2中，若EF∥平面BDG，其中G為直線AC與平面BDG的交點，求三棱錐BDEG的體積． 14. 【2015屆江蘇省揚州市高三第四次調(diào)研】如圖，三棱錐中，側面是等邊三角形，是的中心． （1）若，求證； （2）若上存在點，使平面，求的值． 15. 【2015屆北京市西城區(qū)高三二模】如圖，在四棱錐中，，平面，平面，，，． （1）求棱錐的體積； （2）求證：平面平面； （3）在線段上是否存在一點,使平面？若存在,求出的值；若不存在，說明理由． 【解析】（1）在中，，∵平面，∴棱錐的體積為； 拓展試題以及解析 1.已知平面，平面，為等邊三角形，，為的中點. （Ⅰ）求證：； （Ⅱ）求. 【解析】（Ⅰ）平面，平面，又等邊三角形中, ，平面，平面，， 取CE 的中點M，連接BM,MF，則MF為△CDE 的中位線，故,所以四邊形ABMF為平行四邊形，即MB//AF, 平面，平面，， . （Ⅱ）因為平面，平面，所以//DE，故//平面DCE，h等于d，由體積相等得, ,，解得. 【入選理由】本題考查線面平行、面面垂直的證明，點到平面距離等基礎知識，意在考查空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力，本題比較傳統(tǒng),是高考考試的方向，有一定的綜合性，難度適中，故選此題． 2．如圖，直三棱柱中，底面是等腰直角三角形，且，且AA1=3，為的中點，在線段上,設（），設． （Ⅰ）當取何值時，平面； （Ⅱ）在（Ⅰ）的條件下，求四面體的體積． （Ⅱ）由已知得，因為，，故，由（Ⅰ）得平面，故，故的體積為． 【入選理由】本題考查直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理、錐體的體積公式，探索性命題等基礎知識，意在考查空間想象能力，推理論證能力,運算求解能力，數(shù)形結合思想,化歸與轉化思想．本題通過建立方程，求出參數(shù)值,是探索性命題中比較簡單，這符合高考在立體幾何中考查方向，故選此題． 3.如圖，三棱錐中，平面，，點，分別為的中點． （I）求證：平面； （Ⅱ）是線段上的點，且平面. ①確定點的位置； ②求直線與平面所成角的正切值． ②作于，則，∴平面，∴是直線與平面所成的角.∵， ∴，又，∴，即直線與平面所成角的正切值為. 【入選理由】本題主要考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)，線面平行的性質(zhì)定理以及線面角的求解，探索性命題等基礎知識，意在考查學生的空間想象能力,推理論證能力,運算求解能力，數(shù)形結合思想,化歸與轉化思想．本題探索點位置,這是立體幾何?？碱}型,且難度適中，故選此題． 4.如圖，在直角三角形ABC中，∠BAC=60，點F在斜邊AB上，且AB=4AF，D，E是平面ABC同一側的兩點，AD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC，AD=3，AC=BE=4. (Ⅰ)求證：CD⊥EF； (Ⅱ)若點M是線段BC的中點，求點M到平面EFC的距離. 【入選理由】本題主要考查空間線線垂直、線面垂直、面面垂直的判定與性質(zhì)及線面角的計算等基礎知識，意在考查空間想象能力、邏輯推理能力、運算求解能力，本題是一個常規(guī)題，今年全國卷加大對空間角的考查，難度適中，故選此題． 5. 如圖所示，在邊長為12的正方形 中，點在線段上，且,作 ，分別交于點， .作，分別交于點，.將該正方形沿折疊，使得與重合，構成如圖的三棱柱. （1）求證：平面； （2）求四棱錐的體積. 【入選理由】本題考查直線和平面垂直,折疊問題,幾何體體積等基礎知識，意在考查學生空間想象能力、推理論證能力和基本的運算能力．折疊問題是高考常考問題,每過幾年都要涉及，故選此題．