高考數(shù)學(xué)（精講+精練+精析）專題2_3 基本初等函數(shù)試題 理（含解析）

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專題2.3 基本初等函數(shù) 【三年高考】 1. 【2016高考新課標3理數(shù)】已知，，，則（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】因為，，所以，故選A． 2．【2016高考浙江理數(shù)】已知a>b>1.若logab+logba=，ab=ba，則a= ，b= . 【答案】 3．【2016高考上海理數(shù)】已知點在函數(shù)的圖像上，則. 【答案】 【解析】將點帶入函數(shù)的解析式得，所以，用表示得，所以. 4．【2016高考天津理數(shù)】已知函數(shù)f（x）=（a>0,且a≠1）在R上單調(diào)遞減，且關(guān)于x的方程恰好有兩個不相等的實數(shù)解，則a的取值范圍是（ ） （A）（0，] （B）[，] （C）[，]{}（D）[，）{} 【答案】C 5．【2016高考上海理數(shù)】已知，函數(shù). （1）當時，解不等式； （2）若關(guān)于的方程的解集中恰好有一個元素，求的取值范圍； （3）設(shè)，若對任意，函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值的差不超過1，求的取值范圍. 【解析】（1）由，得，解得． （2），，當時，，經(jīng)檢驗，滿足題意．當時，，經(jīng)檢驗，滿足題意．當且時，，，．是原方程的解當且僅當，即；是原方程的解當且僅當，即．于是滿足題意的．綜上，的取值范圍為． （3）當時，，，所以在上單調(diào)遞減．函數(shù)在區(qū)間上的最大值與最小值分別為，． 即，對任意成立．因為，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，時，有最小值，由，得．故的取值范圍為． 6.【2015高考四川，理8】設(shè)a，b都是不等于1的正數(shù)，則“”是“”的 （ ） （A） 充要條件 （B）充分不必要條件（C）必要不充分條件 （D）既不充分也不必要條件 【答案】B 7. 【2015高考北京，理7】如圖，函數(shù)的圖象為折線，則不等式的解集是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】如圖所示，把函數(shù)的圖象向左平移一個單位得到的圖象時兩圖象相交，不等式的解為，用集合表示解集選C 8. 【2015高考天津，理7】已知定義在 上的函數(shù) （為實數(shù)）為偶函數(shù)，記 ，則 的大小關(guān)系為( ) （A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以，即，所以，所以，故選C. 9.【2015高考浙江，理18】已知函數(shù)，記是在區(qū)間上的最大值. （1） 證明：當時，； （2）當，滿足，求的最大值. 10．【2014高考江蘇卷第10題】已知函數(shù)，若對于任意的都有，則實數(shù)的取值范圍為 . 【答案】 【解析】據(jù)題意解得． 11．【2014浙江高考理第7題】在同意直角坐標系中，函數(shù)的圖像可能是（ ） 【答案】Ｄ 【解析】函數(shù)，與，答案Ａ沒有冪函數(shù)圖像，答案Ｂ中，中，不符合，答案Ｃ中，中，不符合，答案Ｄ中，中，符合，故選Ｄ 12.【2014天津高考理第4題】函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是 （　　） （A） （B） （C） （D） 【答案】D． 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 對基本初等函數(shù)的考查，大部分是以基本初等函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運算推理解決問題，高考中一般以選擇題和填空的形式考查. 【2017年高考復(fù)習建議與高考命題預(yù)測】 由前三年的高考命題形式 , 冪函數(shù)新課標要求較低，只要求掌握冪函數(shù)的概念，圖像與簡單性質(zhì)，僅限于幾個特殊的冪函數(shù)，關(guān)于冪函數(shù)常以5種冪函數(shù)為載體，考查冪函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)，多以小題形式出現(xiàn)，屬容易題．二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)是近幾年高考的熱點；用三個“二次”間的聯(lián)系解決問題是重點，也是難點．題型以選擇題和填空題為主，若與其他知識點交匯，則以解答題的形式出現(xiàn).指數(shù)函數(shù)在歷年的高考題中占據(jù)著重要的地位.對指數(shù)函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運算推理，能運用它們的性質(zhì)解決具體問題.為此，我們要熟練掌握指數(shù)運算法則，明確算理，能對常見的指數(shù)型函數(shù)進行變形處理.高考題目形式多以指數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來考察函數(shù)的性質(zhì).同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大.對數(shù)函數(shù)在歷年的高考題中占據(jù)著重要的地位.從近幾年的高考形勢來看，對對數(shù)函數(shù)的考查，大多以基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運算推理，能運用它們的性質(zhì)解決具體問題.為此，我們要熟練掌握對數(shù)運算法則，明確算理，能對常見的對數(shù)型函數(shù)進行變形處理.高考題目形式多以對數(shù)函數(shù)為載體的復(fù)合函數(shù)來考察函數(shù)的性質(zhì).同時它們與其它知識點交匯命題，則難度會加大.基本初等函數(shù)是考察函數(shù)、方程、不等式很好的載體， 預(yù)測2017年高考繼續(xù)加強對基本初等函數(shù)圖象和性質(zhì)的考察.尤其注意以基本初等函數(shù)特別是指對函數(shù)為模型的抽象函數(shù)的考察，這種題型只給出定義域內(nèi)滿足某些運算性質(zhì)的法則，往往集定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性與一身，全面考察學(xué)生對函數(shù)概念和性質(zhì)的理解. 【2017年高考考點定位】 高考對基本初等函數(shù)的考查有三種主要形式：一是比較大小；二是基本初等函數(shù)的圖象和性質(zhì)；三是基本初等函數(shù)的綜合應(yīng)用，其中經(jīng)常以分段函數(shù)為載體考察函數(shù)、方程、不等式等知識的相聯(lián)系. 【考點1】指數(shù)值、對數(shù)值的比較大小 【備考知識梳理】 指數(shù)函數(shù)，當時，指數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增；當時，指數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞減. 對數(shù)函數(shù)，當時，對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞增；當時，對數(shù)函數(shù)在單調(diào)遞減. 冪函數(shù)圖象永遠過（1,1），且當時，在時，單調(diào)遞增；當時，在時，單調(diào)遞減. 【規(guī)律方法技巧】 指數(shù)值和對數(shù)值較大小，若指數(shù)值有底數(shù)相同或指數(shù)相同，可以考慮構(gòu)造指數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)，通過考慮單調(diào)性，進而比較函數(shù)值的大??；其次還可以借助函數(shù)圖象比較大小.若底數(shù)和指數(shù)不相同時，可考慮選取中間變量，指數(shù)值往往和1比較；對數(shù)值往往和0、1比較. 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【湖南省長沙市長郡中學(xué)2016屆高三下學(xué)期第六次月考】設(shè)，，，則( ) A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因為，所以. 2. 【2016屆海南省華僑中學(xué)高三考前模擬】設(shè)，，，則（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【考點2】指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【備考知識梳理】 y＝ax a>1 00時，y>1；x<0時，00時，01 過定點(0,1) 在(－∞，＋∞)上是增函數(shù) 在(－∞，＋∞)上是減函數(shù) 【規(guī)律方法技巧】 1、 研究指數(shù)函數(shù)性質(zhì)時，一定要首先考慮底數(shù)的范圍，分和兩種情況討論，因為兩種情況單調(diào)性不同，相應(yīng)地圖象也不同. 2、與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的圖像的研究，往往利用相應(yīng)指數(shù)函數(shù)的圖像，通過平移、對稱變換得到其圖像． 3、一些指數(shù)方程、不等式問題的求解，往往利用相應(yīng)的指數(shù)型函數(shù)圖像數(shù)形結(jié)合求解． 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【湖北2016年3月三校聯(lián)考】已知定義在上的函數(shù)()為偶函數(shù)．記 ，則的大小關(guān)系為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 2．【河北省衡水中學(xué)2016屆高三一調(diào)】已知，，則使成立的一個充分不必要條件是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】在上為增函數(shù)，故，則使成立的一個充分不必要條件是 【考點3】對數(shù)的運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【備考知識梳理】 1．對數(shù)的定義 如果，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)． 2．對數(shù)的性質(zhì)與運算及換底公式 (1)對數(shù)的性質(zhì)： ①；②；③ (2)對數(shù)的換底公式 基本公式 (a，c均大于0且不等于1，b>0)． (3)對數(shù)的運算法則： 如果，，那么 ①， ②， ③ ()． 3．對數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì) a>1 01時，y>0； 正負 當00 當x>1時，y<0； 【規(guī)律方法技巧】 1、 研究對數(shù)函數(shù)性質(zhì)時，一定要首先考慮底數(shù)的范圍，分和兩種情況討論，因為兩種情況單調(diào)性不同，相應(yīng)地圖象也不同，同時要注意定義域. 2、對一些可通過平移、對稱變換作出其圖像的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想． 3、一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的函數(shù)圖像問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解． 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆重慶市一中高三下學(xué)期模擬】函數(shù)的定義域和值域都是，（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】時，，，因此．又，則，． ．故選C． 2. 【2016屆福建省三明一中高三上第二次月考】函數(shù)的圖象大致是（ ） 【答案】A 【考點4】二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【備考知識梳理】 二次函數(shù)的圖象和性質(zhì) 解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0) 圖象 定義域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞) 值域 單調(diào)性 在x∈上單調(diào)遞減；在x∈上單調(diào)遞增 在x∈上單調(diào)遞減在x∈上單調(diào)遞增 對稱性 函數(shù)的圖象關(guān)于x＝－對稱 【規(guī)律方法技巧】 1、分析二次函數(shù)的圖象，主要有兩個要點：一個是看二次項系數(shù)的符號，它確定二次函數(shù)圖象的開口方向；二是看對稱軸和最值，它確定二次函數(shù)的具體位置．對于函數(shù)圖象判斷類似題要會根據(jù)圖象上的一些特殊點進行判斷，如函數(shù)圖象與正半軸的交點，函數(shù)圖象的最高點與最低點等． 2、拋物線的開口，對稱軸位置定義區(qū)間三者相互制約，常見的題型中這三者有兩定一不定，要注意分類討論. 【考點針對訓(xùn)練】 1．【2016屆湖北省襄陽五中高三5月高考模擬】已知函數(shù)是奇函數(shù)，當時，．若不等式（且）對任意的恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 2. 【2016屆安徽省淮北一中高三最后一卷】定義：如果函數(shù)在上存在滿足，，則稱函數(shù)是上的“雙中值函數(shù)”，已知函數(shù)是上“雙中值函數(shù)”，則實數(shù)的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【考點5】冪函數(shù)的圖象和性質(zhì) 【備考知識梳理】 (1)定義：形如y＝xα(α∈R)的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中x是自變量，α是常數(shù)． (2)冪函數(shù)的圖象比較 (3)冪函數(shù)的性質(zhì)比較 特征 函數(shù) 性質(zhì) y＝x y＝x2 y＝x3 定義域 R R R [0，＋∞) {x|x∈R且x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y∈R且y≠0} 奇偶性 奇函數(shù) 偶函數(shù) 奇函數(shù) 非奇非偶函數(shù) 奇函數(shù) 單調(diào)性 增 x∈[0，＋∞)時，增；x∈(－∞，0]時，減 增 增 x∈(0，＋∞) 時，減；x∈(－∞，0)時，減 【規(guī)律方法技巧】 1．冪函數(shù)，其中為常數(shù)，其本質(zhì)特征是以冪的底為自變量，指數(shù)為常數(shù)，這是判斷一個函數(shù)是否是冪函數(shù)的重要依據(jù)和唯一標準． 2．在上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越靠近x軸(簡記為“指大圖低”)，在(1，＋∞)上，冪函數(shù)中指數(shù)越大，函數(shù)圖象越遠離x軸．冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限內(nèi)，一定不會出現(xiàn)在第四象限內(nèi)，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限內(nèi)，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)的圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點． 【考點針對訓(xùn)練】 1. 【2016屆寧夏銀川二中高三三模擬】已知冪函數(shù)的圖象過點，則（ ） A． B． C． D．與大小無法判定 【答案】A 2. 【湖南省衡陽市第八中學(xué)2016屆高三第三次月考】函數(shù)滿足，那么函數(shù)的圖象大致為 【答案】C 【應(yīng)試技巧點撥】 1.指數(shù)運算的實質(zhì)是指數(shù)式的積、商、冪的運算，對于指數(shù)式的和、差應(yīng)充分運用恒等變形和乘法公式；對數(shù)運算的實質(zhì)是把積、商、冪的對數(shù)轉(zhuǎn)化為對數(shù)的和、差、倍． 2．指數(shù)函數(shù)且與對數(shù)函數(shù)且互為反函數(shù)，應(yīng)從概念、圖象和性質(zhì)三個方面理解它們之間的聯(lián)系與區(qū)別． 3．明確函數(shù)圖象的位置和形狀要通過研究函數(shù)的性質(zhì),要記憶函數(shù)的性質(zhì)可借助于函數(shù)的圖象．因此要掌握指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)首先要熟記指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖象． 4.求解與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的復(fù)合函數(shù)問題時，首先要熟知指數(shù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性等相關(guān)性質(zhì)，其次要明確復(fù)合函數(shù)的構(gòu)成，涉及值域、單調(diào)區(qū)間、最值等問題時，都要借助“同增異減”這一性質(zhì)分析判斷，最終將問題歸納為與內(nèi)層函數(shù)相關(guān)的問題加以解決． 5.指數(shù)函數(shù)且的圖象和性質(zhì)與的取值有關(guān)，要特別注意區(qū)分與來研究． 6．對可化為或形式的方程或不等式，常借助換元法解決,但應(yīng)注意換元后“新元”的范圍． 7．指數(shù)式且與對數(shù)式且的關(guān)系以及這兩種形式的互化是對數(shù)運算法則的關(guān)鍵． 8．在運算性質(zhì) 且時，要特別注意條件，在無的條件下應(yīng)為 (，且為偶數(shù))． 9.冪函數(shù)的圖象一定會出現(xiàn)在第一象限，一定不會出現(xiàn)在第四象限，至于是否出現(xiàn)在第二、三象限，要看函數(shù)的奇偶性；冪函數(shù)的圖象最多只能同時出現(xiàn)在兩個象限內(nèi)；如果冪函數(shù)圖象與坐標軸相交，則交點一定是原點． 二年模擬 1. 【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研】設(shè)，則（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因為，，，所以，所以，所以，故選C． 2. 【2016屆山東省濟寧市高三下學(xué)期3月模擬】定義在上的奇函數(shù)滿足，且在上，則（ ） A． B． C． D． 【答案】B 3. 【2016屆浙江省杭州市高三第二次質(zhì)檢】若直線與函數(shù)的圖象及軸分別交于三點，若，則（ ） A．或 B．或 C．或 D． 【答案】C 【解析】由題意可知，, 或， 或，或.故選C. 4. 【河北省冀州市中學(xué)2016屆高三一輪復(fù)習檢測一】若變量滿足，則關(guān)于的函數(shù)圖象大致是（ ） 【答案】. 5. 【2016屆山東省棗莊市高三12月】2若函數(shù)的圖象如右圖所示，則下列函數(shù)正確的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由函數(shù)的圖象可知，函數(shù)，則下圖中對于選項A，是減函數(shù)，所以A錯誤；對于選項B,的圖象是正確的,故選B． 6. 【2016屆遼寧省大連市八中高三月考】已知函數(shù)，若，則實數(shù)的取值范圍是 ． 【答案】 【解析】時，，，當時，，，綜上所述的取值范圍是 7. 【2016屆海南省海口一中高三高考模擬三】 已知，則不等式的解集為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 8. 【2016屆四川南充高中高三4月模擬三】已知函數(shù)，若不等式對任意實數(shù)恒成立，則實數(shù)的取值范圍是 . 【答案】 【解析】在分別為增函數(shù)、減函數(shù)，則為增函數(shù)；，在為奇函數(shù)；， ，，，在上恒成立，，，. 9. 【2016屆陜西西藏民族學(xué)院附中高三三?！恳阎渲?，若是遞增的等比數(shù)列，又為一完全平方數(shù)，則___________. 【答案】 【解析】，，所以.，因為為一完全平方數(shù)，所以. 10. 【2016屆山東省濟寧市高三下學(xué)期3月模擬】若函數(shù)圖象上不同兩點關(guān)于原點對稱，則稱點對是函數(shù)的一對“和諧點對”（點對與看作同一對“和諧點對”），已知函數(shù)，則此函數(shù)的“和諧點對”有（ ） A．3對 B．2對 C．1對 D．0對 【答案】 11. 【河南省信陽市2015屆高中畢業(yè)班第二次調(diào)研】已知，則的大小關(guān)系是（ ） (A). (B) (C) (D) 【答案】D 【解析】因為所以即，且所以，綜上，，所以答案為：D. 12.【2015屆甘肅省天水市一中高三第五次模擬】已知函數(shù)，若,則實數(shù)的取值范圍是( ) A．(-∞,-1)∪(2,+∞) B．(-∞,-2)∪(1,+∞) C．(-1,2) D．(-2,1) 【答案】D 【解析】根據(jù)函數(shù)的解析式可知，函數(shù)是定義域上的增函數(shù)，所以的等價條件是，解得，故選D． 13.【2015屆江西省臨川一中高三5月模擬試題】已知函數(shù)的值域為,則實數(shù)的取值范圍是 A． B． C． D． 【答案】B 14.【2015屆江西省鷹潭市高三第一次模擬考試】設(shè)函數(shù)，若對任意給定的，都存在唯一的，滿足，則正實數(shù)的最小值是 （ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】當時，，值域為（0,1]，所以；當時，，值域為，所以；當時，，值域為，則，故，當時，值域為,當時，值域為，因為，所以，對稱軸為，故在上是增函數(shù)，則在上的值域為，即），有題意知，，解得，故正實數(shù)a的最小值為. 15.【2015屆河南省南陽市一中高三下學(xué)期第三次模擬】函數(shù)，為奇函數(shù)，當時，，若 ，則a，b，c的大小順序為（ ） A．a(chǎn)＜b＜c B．c＞b＞a C．c＜a＜b D．c＞a＞b 【答案】D 拓展試題以及解析 1. 已知函數(shù)，若，則的值等于（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A. 【解析】由于，因此，當時由得；當時由得，所以的值等于或. 【入選理由】本題考查考查分段函數(shù),對數(shù)函數(shù),二次函數(shù),方程的根等基礎(chǔ)知識，意在考查運用轉(zhuǎn)化與化歸思想以及運算求解，邏輯思維和推理的能力.此題難度不大,考查基礎(chǔ)，故選此題. 2.設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的零點個數(shù)為（ ） A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】分段函數(shù)的圖象如右圖所示，由圖象可知，函數(shù)有3個零點.故選D. 【入選理由】本題主要考查一元一次函數(shù)、一元二次函數(shù)的圖象及函數(shù)的零點問題等，考查數(shù)形結(jié)合的思想.此題難度不大，即考查了初等函數(shù),又考查函數(shù)的零點，體現(xiàn)高考小題綜合化的特點，故選此題. 3.設(shè)，若，則_____. 【答案】4或-1 【入選理由】本題考查分段函數(shù)、指數(shù)式與對數(shù)式的求值等，結(jié)合分類討論思想和方程思想解決分段函數(shù)求值問題.此題難度不大，符合高考考試題型，故選此題. 4. 已知定義在上的函數(shù)滿足，當時，，設(shè)在上的最大值為，且的前項和為，則= ． 【答案】 【解析】因為定義在上的函數(shù)滿足恒成立，所以，所以，，……，．設(shè)，則．因為當時，，由指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)圖像與性質(zhì)知的最大值為2，故=2，所以在的最大值為，即，所以前項和為． 【入選理由】本題主要考查指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)、分段函數(shù)的最值、等比數(shù)列的前n項和公式，重點考查學(xué)生的分析和解決問題的能力.此題難度不大，綜合性較強，體現(xiàn)高考小題綜合化的特點，故選此題. 5. 若函數(shù)的圖像經(jīng)過定點，則函數(shù)的最大值等于————. 【答案】 【入選理由】本題考查對數(shù)函數(shù)的最值，指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查學(xué)生運用數(shù)形結(jié)合思想的能力和邏輯思維和推理的能力.本題綜合考查了對數(shù)函,指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，出題角度新，故選此題.