《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問題 文》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué) 考前3個(gè)月知識(shí)方法專題訓(xùn)練 第一部分 知識(shí)方法篇 專題7 解析幾何 第32練 圓錐曲線中的探索性問題 文(14頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
第32練 圓錐曲線中的探索性問題
[題型分析高考展望] 本部分主要以解答題形式考查,往往是試卷的壓軸題之一,一般以橢圓或拋物線為背景,考查弦長、定點(diǎn)、定值、最值范圍問題或探索性問題,試題難度較大.
體驗(yàn)高考
1.(2016課標(biāo)全國乙)在直角坐標(biāo)系xOy中,直線l:y=t(t≠0)交y軸于點(diǎn)M,交拋物線C:y2=2px(p>0)于點(diǎn)P,M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn)為N,連接ON并延長交C于點(diǎn)H.
(1)求;
(2)除H以外,直線MH與C是否有其他公共點(diǎn)?說明理由.
解 (1)由已知得M(0,t),P,
又N為M關(guān)于點(diǎn)P的對(duì)稱點(diǎn),故N,ON的方程為y=x,代入y2=2px整理得px2-2t2x=0,解得x1=0,x2=,因此H.
所以N為OH的中點(diǎn),即=2.
(2)直線MH與C除H以外沒有其他公共點(diǎn),理由如下:
直線MH的方程為y-t=x,即x=(y-t).
代入y2=2px得y2-4ty+4t2=0,解得y1=y(tǒng)2=2t,即直線MH與C只有一個(gè)公共點(diǎn),所以除H以外,直線MH與C沒有其他公共點(diǎn).
2.(2016四川)已知橢圓E:+=1(a>b>0)的兩個(gè)焦點(diǎn)與短軸的一個(gè)端點(diǎn)是直角三角形的三個(gè)頂點(diǎn),直線l:y=-x+3與橢圓E有且只有一個(gè)公共點(diǎn)T.
(1)求橢圓E的方程及點(diǎn)T的坐標(biāo);
(2)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線l′平行于OT,與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A、B,且與直線l交于點(diǎn)P.證明:存在常數(shù)λ,使得|PT|2=λ|PA||PB|,并求λ的值.
解 (1)由已知,得a=b,
則橢圓E的方程為+=1.
由方程組得3x2-12x+(18-2b2)=0.①
方程①的判別式為Δ=24(b2-3),由Δ=0,得b2=3,
此時(shí)方程①的解為x=2,
所以橢圓E的方程為+=1.點(diǎn)T的坐標(biāo)為(2,1).
(2)由已知可設(shè)直線l′的方程為y=x+m(m≠0),
由方程組可得
所以P點(diǎn)坐標(biāo)為,|PT|2=m2.
設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程組可得3x2+4mx+(4m2-12)=0.②
方程②的判別式為Δ=16(9-2m2),
由Δ>0,解得-
b>0)經(jīng)過點(diǎn)(0,),離心率為,直線l經(jīng)過橢圓C的右焦點(diǎn)F交橢圓于A、B兩點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程;
(2)若直線l交y軸于點(diǎn)M,且=λ,=μ,當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),探求λ+μ的值是否為定值?若是,求出λ+μ的值;否則,請(qǐng)說明理由.
解 (1)依題意得b=,e==,a2=b2+c2,
∴a=2,c=1,∴橢圓C的方程為+=1.
(2)∵直線l與y軸相交于點(diǎn)M,故斜率存在,
又F坐標(biāo)為(1,0),設(shè)直線l方程為
y=k(x-1),求得l與y軸交于M(0,-k),
設(shè)l交橢圓A(x1,y1),B(x2,y2),
由
消去y得(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,
∴x1+x2=,x1x2=,
又由=λ,∴(x1,y1+k)=λ(1-x1,-y1),
∴λ=,同理μ=,
∴λ+μ=+=
==-.
∴當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí),λ+μ的值為定值-.
點(diǎn)評(píng) (1)定點(diǎn)問題的求解策略
把直線或曲線方程中的變量x,y當(dāng)作常數(shù)看待,把方程一端化為零,既然直線或曲線過定點(diǎn),那么這個(gè)方程就要對(duì)任意參數(shù)都成立,這時(shí)參數(shù)的系數(shù)就要全部等于零,這樣就得到一個(gè)關(guān)于x,y的方程組,這個(gè)方程組的解所確定的點(diǎn)就是直線或曲線所過的定點(diǎn).
(2)定值問題的求解策略
在解析幾何中,有些幾何量與參數(shù)無關(guān),這就是“定值”問題,解決這類問題常通過取特殊值,先確定“定值”是多少,再進(jìn)行證明,或者將問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)式,再證明該式是與變量無關(guān)的常數(shù)或者由該等式與變量無關(guān),令其系數(shù)等于零即可得到定值.
變式訓(xùn)練1 已知拋物線y2=2px(p>0),過點(diǎn)M(5,-2)的動(dòng)直線l交拋物線于A,B兩點(diǎn),當(dāng)直線l的斜率為-1時(shí),點(diǎn)M恰為AB的中點(diǎn).
(1)求拋物線的方程;
(2)拋物線上是否存在一個(gè)定點(diǎn)P,使得以弦AB為直徑的圓恒過點(diǎn)P,若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo),若不存在,請(qǐng)說明理由.
解 (1)當(dāng)直線l的斜率為-1時(shí),
直線l的方程為x+y-3=0,即x=3-y,
代入y2=2px(p>0)得y2+2py-6p=0,
=-p=-2,p=2,
所以拋物線的方程為y2=4x.
(2)設(shè)直線l的方程為x=m(y+2)+5,
代入y2=4x得y2-4my-8m-20=0,
設(shè)點(diǎn)A(,y1),B(,y2),
則y1+y2=4m,y1y2=-8m-20,
假設(shè)存在點(diǎn)P(,y0)總是在以弦AB為直徑的圓上,
則=(-)(-)
+(y1-y0)(y2-y0)=0,
當(dāng)y1=y(tǒng)0或y2=y(tǒng)0時(shí),
等式顯然成立;
當(dāng)y1≠y0或y2≠y0時(shí),
則有(y1+y0)(y2+y0)=-16,
即4my0+y-8m-20=-16,
(4m+y0+2)(y0-2)=0,
解得y0=2,x0=1,
所以存在點(diǎn)P(1,2)滿足題意.
題型二 定直線問題
例2 在平面直角坐標(biāo)系xOy中,過定點(diǎn)C(0,p)作直線與拋物線x2=2py(p>0)相交于A,B兩點(diǎn).
(1)若點(diǎn)N是點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn),求△ANB面積的最小值;
(2)是否存在垂直于y軸的直線l,使得l被以AC為直徑的圓截得的弦長恒為定值?若存在,求出l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解 方法一 (1)依題意,點(diǎn)N的坐標(biāo)為(0,-p),
可設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
直線AB的方程為y=kx+p,
與x2=2py聯(lián)立得
消去y得x2-2pkx-2p2=0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得x1+x2=2pk,x1x2=-2p2.
于是S△ABN=S△BCN+S△ACN=2p|x1-x2|
=p|x1-x2|=p
=p=2p2,
∴當(dāng)k=0時(shí),(S△ABN)min=2p2.
(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,
AC的中點(diǎn)為O′,l與以AC為直徑的圓相交于點(diǎn)P,Q,PQ的中點(diǎn)為H,
則O′H⊥PQ,O′點(diǎn)的坐標(biāo)為(,).
∵|O′P|=|AC|==,
|O′H|==|2a-y1-p|,
∴|PH|2=|O′P|2-|O′H|2
=(y+p2)-(2a-y1-p)2
=(a-)y1+a(p-a),
∴|PQ|2=(2|PH|)2
=4[(a-)y1+a(p-a)].
令a-=0,得a=,
此時(shí)|PQ|=p為定值,故滿足條件的直線l存在,
其方程為y=,即拋物線的通徑所在的直線.
方法二 (1)前同方法一,再由弦長公式得
|AB|=|x1-x2|
=
=
=2p,
又由點(diǎn)到直線的距離公式得d=.
從而S△ABN=d|AB|
=2p
=2p2.
∴當(dāng)k=0時(shí),(S△ABN)min=2p2.
(2)假設(shè)滿足條件的直線l存在,其方程為y=a,
則以AC為直徑的圓的方程為
(x-0)(x-x1)+(y-p)(y-y1)=0,
將直線方程y=a代入得x2-x1x+(a-p)(a-y1)=0,
則Δ=x-4(a-p)(a-y1)
=4[(a-)y1+a(p-a)].
設(shè)直線l與以AC為直徑的圓的交點(diǎn)為
P(x3,y3),Q(x4,y4),
則有|PQ|=|x3-x4|
=
=2 .
令a-=0,得a=,
此時(shí)|PQ|=p為定值,
故滿足條件的直線l存在,
其方程為y=,即拋物線的通徑所在的直線.
點(diǎn)評(píng) (1)定直線由斜率、截距、定點(diǎn)等因素確定.
(2)定直線一般為特殊直線x=x0,y=y(tǒng)0等.
變式訓(xùn)練2 橢圓C的方程為+=1(a>b>0),F(xiàn)1、F2分別是它的左、右焦點(diǎn),已知橢圓C過點(diǎn)(0,1),且離心率e=.
(1)求橢圓C的方程;
(2)如圖,設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為A、B,直線l的方程為x=4,P是橢圓上異于A、B的任意一點(diǎn),直線PA、PB分別交直線l于D、E兩點(diǎn),求的值;
(3)過點(diǎn)Q(1,0)任意作直線m(與x軸不垂直)與橢圓C交于M、N兩點(diǎn),與l交于R點(diǎn),=x,=y(tǒng),求證:4x+4y+5=0.
(1)解 由題意可得b=1,=,
∴a=3,橢圓C的方程為+y2=1.
(2)解 設(shè)P(x0,y0),則直線PA、PB的方程分別為
y=(x+3),y=(x-3),
將x=4分別代入可求得D,E兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為
D(4,),E(4,).
由(1)知,F(xiàn)1(-2,0),F(xiàn)2(2,0),
∴=(4+2,)(4-2,)
=8+,
又∵點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓C上,
∴+y=1?=-,
∴=.
(3)證明 設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),R(4,t),
由=x得(x1-4,y1-t)=x(1-x1,-y1),
∴(x≠-1),
代入橢圓方程得(4+x)2+9t2=9(1+x)2, ①
同理由=y(tǒng)得(4+y)2+9t2=9(1+y)2, ②
①-②消去t,得x+y=-,
∴4x+4y+5=0.
題型三 存在性問題
例3 (1)已知直線y=a交拋物線y=x2于A,B兩點(diǎn).若該拋物線上存在點(diǎn)C,使得∠ACB為直角,則a的取值范圍為________.
答案 [1,+∞)
解析 以AB為直徑的圓的方程為x2+(y-a)2=a,
由得y2+(1-2a)y+a2-a=0.
即(y-a)[y-(a-1)]=0,
由已知解得a≥1.
(2)如圖,已知橢圓C:+=1(a>b>0)的離心率為,以橢圓的左頂點(diǎn)T為圓心作圓T:(x+2)2+y2=r2 (r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點(diǎn)M,N.
①求橢圓C的方程;
②求的最小值,并求此時(shí)圓T的方程;
③設(shè)點(diǎn)P是橢圓C上異于M,N的任意一點(diǎn),且直線MP,NP分別與x軸交于點(diǎn)R,S,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
試問:是否存在使S△POSS△POR最大的點(diǎn)P?若存在,求出點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由.
解?、儆深}意知解之,得a=2,c=,
由c2=a2-b2,得b=1,
故橢圓C的方程為+y2=1.
②點(diǎn)M與點(diǎn)N關(guān)于x軸對(duì)稱,
設(shè)M(x1,y1),N(x1,-y1),
不妨設(shè)y1>0,由于點(diǎn)M在橢圓C上,∴y=1-.
由已知T(-2,0),
則=(x1+2,y1),=(x1+2,-y1),
∴=(x1+2,y1)(x1+2,-y1)
=(x1+2)2-y=(x1+2)2-
=2-.
由于-2b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),且點(diǎn)P(1,)在橢圓C上,O為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)過定點(diǎn)T(0,2)的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)A,B,且∠AOB為銳角,求直線l的斜率k的取值范圍;
(3)過橢圓C1:+=1上異于其頂點(diǎn)的任一點(diǎn)P,作圓O:x2+y2=的兩條切線,切點(diǎn)分別為M,N(M,N不在坐標(biāo)軸上),若直線MN在x軸,y軸上的截距分別為m,n,證明:+為定值.
(1)解 由題意得c=1,所以a2=b2+1,
又因?yàn)辄c(diǎn)P(1,)在橢圓C上,
所以+=1,可解得a2=4,b2=3,
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1.
(2)解 設(shè)直線l方程為y=kx+2,
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),
由得(4k2+3)x2+16kx+4=0,
因?yàn)棣ぃ?2k2-3>0,所以k2>,
又x1+x2=,x1x2=,因?yàn)椤螦OB為銳角,所以>0,即x1x2+y1y2>0,
所以x1x2+(kx1+2)(kx2+2)>0,
所以(1+k2)x1x2+2k(x1+x2)+4>0,
所以(1+k2)+2k+4>0,
即>0,所以k2<,所以b>0)的右焦點(diǎn)為F(1,0),短軸的一個(gè)端點(diǎn)B到F的距離等于焦距.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C交于不同的兩點(diǎn)M,N,是否存在直線l,使得△BFM與△BFN的面積比值為2?若存在,求出直線l的方程;若不存在,請(qǐng)說明理由.
解 (1)由已知得c=1,a=2c=2,b2=a2-c2=3,
所以橢圓C的方程為+=1.
(2)=2等價(jià)于=2,
當(dāng)直線l斜率不存在時(shí),=1,
不符合題意,舍去;
當(dāng)直線l斜率存在時(shí),設(shè)直線l的方程為y=k(x-1),
由消去x并整理得,
(3+4k2)y2+6ky-9k2=0,設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2),
則y1+y2=-, ①
y1y2=-, ②
由=2得y1=-2y2, ③
由①②③解得k=,因此存在直線l:y=(x-1)使得△BFM與△BFN的面積比值為2.
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