高考數(shù)學(xué)(精講+精練+精析)專題10_4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題 文(含解析)
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專題10.4 圓錐曲線的綜合應(yīng)用試題 文 【三年高考】 1. 【2016高考四川文科】在平面直角坐標(biāo)系中,當(dāng)P(x,y)不是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為;當(dāng)P是原點(diǎn)時(shí),定義P的“伴隨點(diǎn)”為它自身,現(xiàn)有下列命題: ?若點(diǎn)A的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn),則點(diǎn)的“伴隨點(diǎn)”是點(diǎn)A. ?單元圓上的“伴隨點(diǎn)”還在單位圓上. ?若兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,則他們的“伴隨點(diǎn)”關(guān)于y軸對(duì)稱 ④若三點(diǎn)在同一條直線上,則他們的“伴隨點(diǎn)”一定共線. 其中的真命題是 . 【答案】②③ 線分別為與的圖象關(guān)于軸對(duì)稱,所以②正確;③令單位圓上點(diǎn)的坐標(biāo)為其伴隨點(diǎn)為仍在單位圓上,故③正確;對(duì)于④,直線上取點(diǎn)后得其伴隨點(diǎn)消參后軌跡是圓,故④錯(cuò)誤.所以正確的為序號(hào)為②③. 2.【2016高考山東文數(shù)】已知橢圓C:(a>b>0)的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4,焦距為2. (I)求橢圓C的方程; (Ⅱ)過動(dòng)點(diǎn)M(0,m)(m>0)的直線交x軸與點(diǎn)N,交C于點(diǎn)A,P(P在第一象限),且M是線段PN的中點(diǎn).過點(diǎn)P作x軸的垂線交C于另一點(diǎn)Q,延長(zhǎng)線QM交C于點(diǎn)B. (i)設(shè)直線PM、QM的斜率分別為k、k,證明為定值. (ii)求直線AB的斜率的最小值. (Ⅱ)(i)設(shè),由,可得 所以 直線PM的斜率 ,直線QM的斜率.此時(shí),所以為定值. (ii)設(shè),直線PA的方程為,直線QB的方程為.聯(lián)立 ,整理得.由可得 ,所以,同理.所以, ,所以 由,可知,所以 ,等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得.此時(shí),即,符號(hào)題意.所以直線AB 的斜率的最小值為 . 3.【2016高考四川文科】已知橢圓E:的一個(gè)焦點(diǎn)與短軸的兩個(gè)端點(diǎn)是正三角形的三個(gè)頂點(diǎn),點(diǎn)在橢圓E上. (Ⅰ)求橢圓E的方程; (Ⅱ)設(shè)不過原點(diǎn)O且斜率為的直線l與橢圓E交于不同的兩點(diǎn)A,B,線段AB的中點(diǎn)為M,直線OM與橢圓E交于C,D,證明:. (II)設(shè)直線l的方程為, ,由方程組 得,① 方程①的判別式為,由,即,解得.由①得.所以M點(diǎn)坐標(biāo)為,直線OM方程為,由方程組得.所以.又.所以. 4.【2016高考上海文科】有一塊正方形菜地,所在直線是一條小河,收貨的蔬菜可送到點(diǎn)或河邊運(yùn)走。于是,菜地分為兩個(gè)區(qū)域和,其中中的蔬菜運(yùn)到河邊較近,中的蔬菜運(yùn)到點(diǎn)較近,而菜地內(nèi)和的分界線上的點(diǎn)到河邊與到點(diǎn)的距離相等,現(xiàn)建立平面直角坐標(biāo)系,其中原點(diǎn)為的中點(diǎn),點(diǎn)的坐標(biāo)為(1,0),如圖 (1) 求菜地內(nèi)的分界線的方程 (2) 菜農(nóng)從蔬菜運(yùn)量估計(jì)出面積是面積的兩倍,由此得到面積的“經(jīng)驗(yàn)值”為。設(shè)是上縱坐標(biāo)為1的點(diǎn),請(qǐng)計(jì)算以為一邊、另一邊過點(diǎn)的矩形的面積,及五邊形的面積,并判斷哪一個(gè)更接近于面積的經(jīng)驗(yàn)值 5.【2015高考新課標(biāo)1,文5】已知橢圓E的中心為坐標(biāo)原點(diǎn),離心率為,E的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn),則 ( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】B 6. 【2015高考山東,文21】平面直角坐標(biāo)系中,已知橢圓:的離心率為,且點(diǎn)(,)在橢圓上. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)設(shè)橢圓:,為橢圓上任意一點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn),射線交橢圓于點(diǎn). (i)求的值; (ii)求面積的最大值. 【解析】(I)由題意知又,解得,所以橢圓的方程為 (II)由(I)知橢圓的方程為. (i)設(shè)由題意知.因?yàn)橛?,即所以,? 7. 【2015高考陜西,文20】如圖,橢圓經(jīng)過點(diǎn),且離心率為. (I)求橢圓的方程; (II)經(jīng)過點(diǎn),且斜率為的直線與橢圓交于不同兩點(diǎn)(均異于點(diǎn)),證明:直線與的斜率之和為2. 【解析】 (I)由題意知,綜合,解得,所以,橢圓的方程為. (II)由題設(shè)知,直線的方程為,代入,得 ,由已知,設(shè),,則,從而直線與的斜率之和 . 8. 【2015高考重慶,文21】如題(21)圖,橢圓(>>0)的左右焦點(diǎn)分別為,,且過的直線交橢圓于P,Q兩點(diǎn),且PQ. (Ⅰ)若||=2+,||=2-,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程. (Ⅱ)若|PQ|=||,且,試確定橢圓離心率的取值范圍. (2)如題(21)圖,由,得,由橢圓的定義,,進(jìn)而,于是. 解得,故.由勾股定理得,從而,兩邊除以,得,若記,則上式變成.由,并注意到關(guān)于的單調(diào)性,得,即,進(jìn)而,即. 9. 【2015高考四川,文20】如圖,橢圓E:(a>b>0)的離心率是,點(diǎn)P(0,1)在短軸CD上,且=-1 (Ⅰ)求橢圓E的方程; (Ⅱ)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),過點(diǎn)P的動(dòng)直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn).是否存在常數(shù)λ,使得為定值?若存在,求λ的值;若不存在,請(qǐng)說明理由. A D B C O x y P (Ⅱ)當(dāng)直線AB斜率存在時(shí),設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,A,B的坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),聯(lián)立,得(2k2+1)x2+4kx-2=0,其判別式△=(4k)2+8(2k2+1)>0,所以,從而=x1x2+y1y2+λ[x1x2+(y1-1)(y2-1)] =(1+λ)(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1==-,所以,當(dāng)λ=1時(shí),-=-3,此時(shí),=-3為定值,當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí),直線AB即為直線CD,此時(shí)=-2-1=-3,故存在常數(shù)λ=-1,使得為定值-3. 10.【2014山東,文15】 已知雙曲線的焦距為,右頂點(diǎn)為A,拋物線的焦點(diǎn)為F,若雙曲線截拋物線的準(zhǔn)線所得線段長(zhǎng)為,且,則雙曲線的漸近線方程為 . 【答案】 11.【2014廣東,文20】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為,離心率為. (1) 求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2) 若動(dòng)點(diǎn)為橢圓C外一點(diǎn),且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直,求點(diǎn)P的軌跡方程. 【解析】(1)由題意得,,所以,所以,所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 12.【2014湖南,文20】如圖,為坐標(biāo)原點(diǎn),雙曲線和橢圓均過點(diǎn),且以的兩個(gè)頂點(diǎn)和的兩個(gè)焦點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是面積為2的正方形. (1)求的方程; (2)是否存在直線,使得與交于兩點(diǎn),與只有一個(gè)公共點(diǎn),且?證明你的結(jié)論. 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 由定義法求曲線的方程、由已知條件直接求曲線的方程、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等是高考的熱點(diǎn),題型大多為解答題,難度為中檔題或難題,主要考查求曲線軌跡方程的方法,圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用,各圓錐曲線間的聯(lián)系,直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等,其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),考查的知識(shí)點(diǎn)多,能力要求高,尤其是運(yùn)算變形能力,分析問題與解決綜合問題的能力,是高考中區(qū)分度較大的題目. 【2017年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式,橢圓、雙曲線、拋物線的性質(zhì)綜合問題是高考考試的重點(diǎn),每年必考,一般是兩小一大的布局,試題難度往往是有一道基礎(chǔ)題,另一道是提高題,難度中等以上,有時(shí)作為把關(guān)題.考查方面離心率是重點(diǎn),其它利用性質(zhì)求圓錐曲線方程,求焦點(diǎn)三角形的周長(zhǎng)與面積,求弦長(zhǎng),求圓錐曲線中的最值或范圍問題,過定點(diǎn)問題,定值問題等.從近三年的高考試題來看,小題中雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)是高考的熱點(diǎn),題型大多為選擇題、填空題,難度為中等偏低,主要考查雙曲線的定義及幾何性質(zhì),考查基本運(yùn)算能力及等價(jià)轉(zhuǎn)化思想,而橢圓、拋物線的性質(zhì)一般,一道小題,一道解答題,難度中等,有時(shí)作為把關(guān)題存在,而且三大曲線幾乎年年都考,故預(yù)測(cè)2017求曲線的方程和研究曲線的性質(zhì)、直線與圓錐曲線、圓錐曲線間的綜合等仍是高考的熱點(diǎn),題型大多為解答題,難度為仍中檔題或難題,仍主要考查求曲線軌跡方程的方法,圓錐曲線的定義與性質(zhì)應(yīng)用,各圓錐曲線間的聯(lián)系,直線與圓錐曲線間的位置關(guān)系及弦長(zhǎng)問題、最值問題、定點(diǎn)定值的探索問題等,其中直線與橢圓的位置關(guān)系、直線與拋物線的位置關(guān)系仍是考查的重點(diǎn)和熱點(diǎn),考查的知識(shí)點(diǎn)仍然較多,能力要求高,尤其是運(yùn)算變形能力,分析問題與解決綜合問題的能力,仍是高考中區(qū)分度較大的題目,在備考時(shí),熟練掌握求曲線方程的常用方法,掌握直線與圓錐曲線問題的常見題型與解法,加大練習(xí)力度,提高運(yùn)算能力和綜合運(yùn)用知識(shí)分析解決問題能力,要特別關(guān)注與向量、導(dǎo)數(shù)等知識(shí)的結(jié)合,關(guān)注函數(shù)思想、數(shù)形結(jié)合思想及分類討論思想等數(shù)學(xué)思想在解題中的應(yīng)用. 【2017年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)圓錐曲線綜合問題的考查有三種主要形式:一是考查求曲線方程;二是考查圓錐曲線間的知識(shí)運(yùn)用;三是直線與圓錐曲線的位置關(guān)系,這是高考中考查的重點(diǎn)和難點(diǎn),主要涉及的題型為中點(diǎn)弦問題、最值與取值范圍問題、定點(diǎn)與定值問題、探索性問題,從涉及的知識(shí)上講,常與平面向量、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、方程、不等式等知識(shí)相聯(lián)系,考查知識(shí)點(diǎn)多,運(yùn)算量大,能力要求高,難度大是這種題型的一大特征. 【考點(diǎn)1】求軌跡方程 【備考知識(shí)梳理】 1.曲線與方程 在平面直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C(看作滿足某種條件的點(diǎn)的集合或軌跡)上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下的關(guān)系: (1)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解; (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在曲線上.那么,這個(gè)方程叫做這條曲線的方程;這條曲線叫做這個(gè)方程的曲線. 2.直接法求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程的一般步驟 (1)建系——建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系. (2)設(shè)點(diǎn)——設(shè)軌跡上的任一點(diǎn)P(x,y). (3)列式——列出動(dòng)點(diǎn)P所滿足的關(guān)系式. (4)代換——依條件式的特點(diǎn),選用距離公式、斜率公式等將其轉(zhuǎn)化為x,y的方程式,并化簡(jiǎn). (5)證明——證明所求方程即為符合條件的動(dòng)點(diǎn)軌跡方程. 【規(guī)律方法技巧】 1. 求軌跡方程的常用方法一般分為兩大類,一類是已知所求曲線的類型,求曲線方程——先根據(jù)條件設(shè)出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù)——待定系數(shù)法;另一類是不知曲線類型常用的方法有: (1)直接法:直接利用條件建立x,y之間的關(guān)系F(x,y)=0; (2)定義法:先根據(jù)條件得出動(dòng)點(diǎn)的軌跡是某種已知曲線,再由曲線的定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程; (3)代入法(相關(guān)點(diǎn)法):動(dòng)點(diǎn)P(x,y)依賴于另一動(dòng)點(diǎn)Q(x0,y0)的變化而變化,并且Q(x0,y0)又在某已知曲線上,則可先用x,y的代數(shù)式表示x0,y0,再將x0,y0代入已知曲線得要求的軌跡方程; (4)參數(shù)法:當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到,也沒有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí),可考慮將x,y均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程. 2. 求點(diǎn)的軌跡與求軌跡方程是不同的要求,求軌跡時(shí),應(yīng)先求軌跡方程,然后根據(jù)方程說明軌跡的形狀、位置、大小等 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016江省衢州市高三4月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)】設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),其坐標(biāo)均滿足,則取值范圍為( ) A. B. C. D. 【答案】D 2. 【2016江西省高安中學(xué)高三命題中心押題】在平面直角坐標(biāo)系中,兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、,動(dòng)點(diǎn)滿足:直線與直線的斜率之積為. (1)求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程; (2)設(shè)為動(dòng)點(diǎn)的軌跡的左右頂點(diǎn),為直線上的一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)不在x軸上),連[交的軌跡于點(diǎn),連并延長(zhǎng)交的軌跡于點(diǎn),試問直線是否過定點(diǎn)?若成立,請(qǐng)求出該定點(diǎn)坐標(biāo),若不成立,請(qǐng)說明理由. 【解析】(1)已知,設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),所以直線的斜率,直線的斜率(),又,所以,即. (2)設(shè),又,則,故直線的方程為:,代入橢圓方程并整理得:。由韋達(dá)定理:即,,同理可解得: 故直線的方程為,即,故直線恒過定點(diǎn). 【考點(diǎn)2】圓錐曲線間的綜合 【備考知識(shí)梳理】 1.要熟記橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 2.要熟練掌握雙曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 3.要熟練掌握拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì). 【規(guī)律方法技巧】 1. 解圓錐曲線間的綜合問題時(shí),要結(jié)合圖像進(jìn)行分析,理清所涉及到圓錐曲線間基本量之間的關(guān)系,實(shí)現(xiàn)不同曲線間基本量的轉(zhuǎn)化. 2.熟練掌握橢圓、雙曲線、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2016江西省高安中學(xué)高三命題中心模擬】已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一焦點(diǎn)重合,則該雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】A. 2. 【2016屆寧夏六盤山高中高三四模】橢圓的右焦點(diǎn)為,雙曲線的一條漸近線與橢圓交于兩點(diǎn),且,則橢圓的離心率為 _____. 【答案】 【考點(diǎn)3】直線與圓錐曲線位置關(guān)系的綜合問題 【備考知識(shí)梳理】 1.將直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)立,消去y得到關(guān)于x的方程. (1) 若≠0,當(dāng)△>0時(shí),直線與圓錐曲線有兩個(gè)交點(diǎn). 當(dāng)△=0時(shí),直線與圓錐曲線有且只有一個(gè)公共點(diǎn),此時(shí)直線與雙曲線相切. 當(dāng)△<0時(shí),直線與圓錐曲線無公共點(diǎn). (2)當(dāng)=0時(shí),若圓錐曲線為雙曲線,則直線與雙曲線只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線與雙曲線的漸近線平行;若圓錐曲線為拋物線,則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行. (3)設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)A(,),B(,),則,. 2. 直線y=kx+b(k≠0)與橢圓相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),則弦長(zhǎng)|AB|= |x1-x2|= =|y1-y2|=. 【規(guī)律方法技巧】 1.在處理直線與圓錐曲線的位置關(guān)系問題時(shí),常用設(shè)而不求法,即常將圓錐曲線與直線聯(lián)立,消去(或)化為關(guān)于(或)的一元二次方程,設(shè)出直線與圓錐曲線的交點(diǎn)坐標(biāo),則交點(diǎn)的橫(縱)坐標(biāo)即為上述一元二次方程的解,利用根與系數(shù)關(guān)系,將,表示出來,注意判別式大于零不能丟,然后根據(jù)問題,再通過配湊將其化為關(guān)于與的式子,將,代入再用有關(guān)方法取處理,注意用向量法處理共線問題、垂直問題及平行問題. 2.再處理直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題時(shí),首先確定直線的斜率,若不能確定,則需要分成直線斜率存在與不存在兩種情況討論,也可以將直線方程設(shè)為,避免分類討論. 3.定點(diǎn)與定值問題處理方法有兩種: (1)從特殊入手,求出定點(diǎn)(定值),再證明這個(gè)定點(diǎn)(定值)與變量無關(guān). (2)直接推理、計(jì)算,并在計(jì)算過程中消去變量,從而得到定點(diǎn)(定值). 4.最值問題常見解法有兩種: (1)幾何法:若題中的條件與結(jié)論有明顯的幾何特征和意義,則考慮利用圖形的幾何性質(zhì)來解決,如三角不等式、圓錐曲線的定義等. (2)代數(shù)法:利用相關(guān)知識(shí)和方法結(jié)合題中的條件,建立目標(biāo)函數(shù),利用函數(shù)的性質(zhì)、不等式或?qū)?shù)知識(shí)求出這個(gè)函數(shù)的最值. 5.參數(shù)范圍問題常見解法有兩種: (1)不等式法:利用題意結(jié)合圖形列出所討論參數(shù)滿足的不等式(組),通過解不等式(組)解出參數(shù)的范圍,注意判別式大于0不能遺漏. (2)函數(shù)最值法:利用題中條件和相關(guān)知識(shí),將所討論參數(shù)表示為某個(gè)變量的函數(shù),通過討論這個(gè)函數(shù)的值域求出該參數(shù)的范圍. 6.對(duì)探索性問題,先假設(shè)存在,依此為基礎(chǔ)推理,若推出矛盾,則不存在,求出值,則存在. 7. 直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的中點(diǎn)弦問題常用點(diǎn)差法和參數(shù)法. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1.【2016屆邯鄲市一中高三十研】已知橢圓過點(diǎn),離心率為,點(diǎn)分別為其左右焦點(diǎn). (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)若上存在兩個(gè)點(diǎn),橢圓上有兩個(gè)點(diǎn)滿足三點(diǎn)共線,三點(diǎn)共線,且,求四邊形面積的最小值. (2)當(dāng)直線斜率不存在時(shí),直線的斜率為0,易得. 當(dāng)直線2.【2016年江西省九江市三?!咳鐖D所示,已知橢圓,⊙,點(diǎn)是橢圓的左頂點(diǎn) 直線與⊙相切于點(diǎn). (1)求橢圓的方程; (2)若⊙的切線與橢圓相交于兩點(diǎn),求面積的取值范圍. 【解析】(1)∵在⊙上,∴.又是⊙的切線,∴,即,解得.∴橢圓的方程為. 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1.求圓錐曲線方程的方法 求曲線方程的常見方法: (1)直接法:直接法是將動(dòng)點(diǎn)滿足的幾何條件或者等量關(guān)系,直接坐標(biāo)化,列出等式化簡(jiǎn)即得動(dòng)點(diǎn)軌跡方程 (2)定義法:若動(dòng)點(diǎn)軌跡的條件符合某一基本軌跡的定義(如橢圓、雙曲線、拋物線、圓等),可用定義直接探求 (3)相關(guān)點(diǎn)法:即利用動(dòng)點(diǎn)是定曲線上的動(dòng)點(diǎn),另一動(dòng)點(diǎn)依賴于它,那么可尋求它們坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后代入定曲線的方程進(jìn)行求解根據(jù)相關(guān)點(diǎn)所滿足的方程,通過轉(zhuǎn)換而求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 (4)參數(shù)法:若動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)()中的分別隨另一變量的變化而變化,我們可以以這個(gè)變量為參數(shù),建立軌跡的參數(shù)方程.根據(jù)題中給定的軌跡條件,用一個(gè)參數(shù)來分別動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo),間接地把坐標(biāo)聯(lián)系起來,得到用參數(shù)表示的方程.如果消去參數(shù),就可以得到軌跡的普通方程. 注意:(1)求曲線的軌跡與求曲線的軌跡方程的區(qū)別:求曲線的軌跡是在求出曲線軌跡方程后,再進(jìn)一步說明軌跡是什么樣的曲線.(2)求軌跡方程,一定要注意軌跡的純粹性和完備性.要注意區(qū)別“軌跡”與“軌跡方程”是兩個(gè)不同的概念. (5)待定系數(shù)法:①頂點(diǎn)在原點(diǎn),對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸的拋物線,可設(shè)為或(),避開對(duì)焦點(diǎn)在哪個(gè)半軸上的分類討論,此時(shí)不具有的幾何意義. ②中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上,橢圓方程可設(shè)為 (),雙曲線方程可設(shè)為 ().這樣可以避免繁瑣的計(jì)算. 利用以上設(shè)法,根據(jù)所給圓錐曲線的性質(zhì)求出參數(shù),即得方程. 2.最值或范圍問題的解決方法 解析幾何中的最值問題涉及的知識(shí)面較廣,解法靈活多樣,但最常用的方法有以下幾種: (1)利用函數(shù),尤其是二次函數(shù)求最值; (2)利用三角函數(shù),尤其是正、余弦函數(shù)的有界性求最值; (3)利用不等式,尤其是基本不等式求最值; (4)利用判別式求最值; (5)利用數(shù)形結(jié)合,尤其是切線的性質(zhì)求最值. 3.求定值問題的方法 定值問題是解析幾何中的一種常見問題,基本的求解方法是:先用變量表示所需證明的不變量,然后通過推導(dǎo)和已知條件,消去變量,得到定值,即解決定值問題首先是求解非定值問題,即變量問題,最后才是定值問題. 4. 有關(guān)弦的問題 (1)有關(guān)弦長(zhǎng)問題,應(yīng)注意運(yùn)用弦長(zhǎng)公式及根與系數(shù)的關(guān)系,“設(shè)而不求”;有關(guān)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)問題,要重視圓錐曲線定義的運(yùn)用,以簡(jiǎn)化運(yùn)算. ①斜率為的直線與圓錐曲線交于兩點(diǎn),,則所得弦長(zhǎng)或,其中求與時(shí)通常使用根與系數(shù)的關(guān)系,即作如下變形: ,. ②當(dāng)斜率不存在時(shí),可求出交點(diǎn)坐標(biāo),直接運(yùn)算(利用兩點(diǎn)間距離公式). (2)弦的中點(diǎn)問題 有關(guān)弦的中點(diǎn)問題,應(yīng)靈活運(yùn)用“點(diǎn)差法”,“設(shè)而不求法”來簡(jiǎn)化運(yùn)算. 5.圓錐曲線的定義反映了它們的基本特征,理解定義是掌握其性質(zhì)的基礎(chǔ).因此,對(duì)于圓錐曲線的定義不僅要熟記,還要深入理解細(xì)節(jié)部分:比如橢圓的定義中要求,雙曲線的定義中要求. 6.解決直線與圓錐曲線位置關(guān)系問題的步驟: (1)設(shè)方程及點(diǎn)的坐標(biāo); (2)聯(lián)立直線方程與曲線方程得方程組,消元得方程(注意二次項(xiàng)系數(shù)是否為零); (3)應(yīng)用根與系數(shù)的關(guān)系及判別式; (4)結(jié)合已知條件、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式及弦長(zhǎng)公式求解 7.解析幾何解題的基本方法 解決圓錐曲線綜合題,關(guān)鍵是熟練掌握每一種圓錐曲線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程、圖形與幾何性質(zhì),注意挖掘知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系及其規(guī)律,通過對(duì)知識(shí)的重新組合,以達(dá)到鞏固知識(shí)、提高能力的目的.綜合題中常常離不開直線與圓錐曲線的位置,因此,要樹立將直線與圓錐曲線方程聯(lián)立,應(yīng)用判別式、韋達(dá)定理的意識(shí).解析幾何應(yīng)用問題的解題關(guān)鍵是建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,合理建立曲線模型,然后轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的代數(shù)問題作出定量或定性的分析與判斷.常用的方法:數(shù)形結(jié)合法,以形助數(shù),用數(shù)定形. 在與圓錐曲線相關(guān)的綜合題中,常借助于“平面幾何性質(zhì)”數(shù)形結(jié)合(如角平分線的雙重身份――對(duì)稱性、利用到角公式)、“方程與函數(shù)性質(zhì)”化解析幾何問題為代數(shù)問題、“分類討論思想”化整為零分化處理、“求值構(gòu)造等式、求變量范圍構(gòu)造不等關(guān)系”等等. 8.避免繁復(fù)運(yùn)算的基本方法 可以概括為:回避,選擇,尋求.所謂回避,就是根據(jù)題設(shè)的幾何特征,靈活運(yùn)用曲線的有關(guān)定義、性質(zhì)等,從而避免化簡(jiǎn)方程、求交點(diǎn)、解方程等繁復(fù)的運(yùn)算.所謂選擇,就是選擇合適的公式,合適的參變量,合適的坐標(biāo)系等,一般以直接性和間接性為基本原則.因?yàn)閷?duì)普通方程運(yùn)算復(fù)雜的問題,用參數(shù)方程可能會(huì)簡(jiǎn)單;在某一直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題,通過移軸可能會(huì)簡(jiǎn)單;在直角坐標(biāo)系下運(yùn)算復(fù)雜的問題,在極坐標(biāo)系下可能會(huì)簡(jiǎn)單“所謂尋求”. 9. 解析幾何與向量綜合時(shí)可能出現(xiàn)的向量?jī)?nèi)容: (1)給出直線的方向向量或; (2)給出與相交,等于已知過的中點(diǎn); (3)給出,等于已知是的中點(diǎn); (4)給出,等于已知與的中點(diǎn)三點(diǎn)共線; (5) 給出以下情形之一:①;②存在實(shí)數(shù);③若存在實(shí)數(shù),等于已知三點(diǎn)共線; (6) 給出,等于已知是的定比分點(diǎn),為定比,即; (7) 給出,等于已知,即是直角,給出,等于已知是鈍角, 給出,等于已知是銳角; (8)給出,等于已知是的平分線; (9)在平行四邊形中,給出,等于已知是菱形; (10)在平行四邊形中,給出,等于已知是矩形; (11)在中,給出,等于已知是的外心(三角形外接圓的圓心,三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)); (12)在中,給出,等于已知是的重心(三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)); (13)在中,給出,等于已知是的垂心(三角形的垂心是三角形三條高的交點(diǎn)); (14)在中,給出等于已知通過的內(nèi)心; (15)在中,給出等于已知是的內(nèi)心(三角形內(nèi)切圓的圓心,三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)); (16)在中,給出,等于已知是中邊的中線. 10.定點(diǎn)、定值問題必然是在變化中所表現(xiàn)出來的不變的量,那么就可以用變化的量表示問題的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系不受變化的量所影響的一個(gè)點(diǎn)、一個(gè)值,就是要求的定點(diǎn)、定值.化解這類問題難點(diǎn)的關(guān)鍵就是引進(jìn)變的參數(shù)表示直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等,根據(jù)等式的恒成立、數(shù)式變換等尋找不受參數(shù)影響的量. 11.解決圓錐曲線中最值、范圍問題的基本思想是建立目標(biāo)函數(shù)和建立不等關(guān)系,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)和不等式求最值、范圍,因此這類問題的難點(diǎn),就是如何建立目標(biāo)函數(shù)和不等關(guān)系.建立目標(biāo)函數(shù)或不等關(guān)系的關(guān)鍵是選用一個(gè)合適變量,其原則是這個(gè)變量能夠表達(dá)要解決的問題,這個(gè)變量可以是直線的斜率、直線的截距、點(diǎn)的坐標(biāo)等,要根據(jù)問題的實(shí)際情況靈活處理. 二年模擬 1. 【山西省榆林市高三第二次模擬】已知拋物線的準(zhǔn)線與雙曲線交于、兩點(diǎn),點(diǎn)為拋物線的焦點(diǎn),若為直角三角形,則雙曲線離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意得:而,選C. 2. 【2016年山西四校高三第三次聯(lián)考】已知雙曲線的左、右兩個(gè)焦點(diǎn)分別為為其左、右頂點(diǎn),以線段為直徑的圓與雙曲線的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為,且,則雙曲線的離心率 為( ) A. B. C. D. 【答案】B 3. 【2016年山西省四校高三聯(lián)考】已知雙曲線的兩頂點(diǎn)為,虛軸兩端點(diǎn)為,兩焦點(diǎn)為,. 若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形,則雙曲線的離心率為( ) A. B. C. D. 【答案】C 4. 【2016屆湖北省武漢市武昌區(qū)高三5月調(diào)研考試】已知橢圓的離心率為,過右焦點(diǎn)且斜率為的直線與相交于兩點(diǎn),若,則( ) A.1 B. C. D.2 【答案】B 【解析】因?yàn)?,所以,所以,,則橢圓方程=1變?yōu)椋O(shè),又=3,所以,所以,即.因?yàn)樵跈E圓上,所以 ①, ②. 由①-9②,得,所以,所以,所以,,從而,,所以,,故,故選B. 5. 【2016屆安徽六安一中高三下學(xué)期第三次模擬】如圖所示,橢圓的左,右頂點(diǎn)分別為,線段是垂直于橢圓長(zhǎng)軸的弦,連接相交于點(diǎn),則點(diǎn)的軌跡方程為____________. 【答案】 6.【2016屆天津市和平區(qū)高三第四次模擬】已知雙曲線的漸近線上的一點(diǎn)到其右焦點(diǎn)的距離等于2,拋物線過點(diǎn),則該拋物線的方程為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】,右焦點(diǎn)點(diǎn)A在軸右側(cè),雙曲線的漸近線方程為,設(shè),,解得,有在拋物線上,則,得,該拋物線的方程為.選B. 7. 【2016屆湖北省黃岡中學(xué)高三5月一?!恳阎c(diǎn)是拋物線與圓在第一象限的公共點(diǎn),且點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離等于,若拋物線上一動(dòng)點(diǎn)到其準(zhǔn)線與到點(diǎn)的距離之和的最小值為,為坐標(biāo)原點(diǎn),則直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為( ) A.2 B. C. D. 【答案】C 8.【2016年安慶市高三二?!恳阎獔A的圓心是橢圓()的右焦點(diǎn),過橢圓的左焦點(diǎn)和上頂點(diǎn)的直線與圓相切. (I)求橢圓的方程; (II)橢圓上有兩點(diǎn)、,、斜率之積為,求的值. 9. 【2016屆浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)高三5月模擬】已知拋物線,過點(diǎn) 的動(dòng)直線 與相交于 兩點(diǎn),拋物線在點(diǎn) 和點(diǎn) 處的切線相交于點(diǎn) ,直線 與 軸分別相交于點(diǎn) . (1)寫出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程; (2)求證:點(diǎn) 在直線上; (3)判斷是否存在點(diǎn),使得四邊形為矩形?若存在,求出點(diǎn) 的坐標(biāo);若不存在,說明理由. 10. 【2016年江西師大附中高三上學(xué)期期末】已知橢圓C:,其右焦點(diǎn),離心率為. (Ⅰ)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)已知直線與橢圓C交于不同的兩點(diǎn),且線段的中點(diǎn)不在圓內(nèi), 求的取值范圍. 11.【2015屆陜西省西安市第一中學(xué)高三下學(xué)期自主命題二】已知拋物線y2=8x的焦點(diǎn)F到雙曲線C:漸近線的距離為,點(diǎn)P是拋物線y2 =8x上的一動(dòng)點(diǎn),P到雙曲線C的上焦點(diǎn)F1(0,c)的距離與到直線x=-2 的距離之和的最小值為3,則該雙曲線的方程為 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由題意可知,拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,雙曲線C的漸近線方程為,即,所以,即,又點(diǎn)到直線的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離,設(shè)點(diǎn)到直線的距離為,則,所以,所以,即雙曲線方程為,故選C. 12.【2015屆吉林省吉林市高三第三次模擬考試】已知直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn),點(diǎn)P為直線l上一動(dòng)點(diǎn),M,N是拋物線C上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),若,, 則△PMN的面積的最大值為 . 【答案】 13.【2015屆吉林省東北師大附中高三第四次模擬】我們把焦點(diǎn)相同,且離心率互為倒數(shù)的橢圓和雙曲線稱為一對(duì)“相關(guān)曲線”.已知是一對(duì)相關(guān)曲線的焦點(diǎn),是橢圓和雙曲線在第一象限的交點(diǎn),當(dāng)時(shí),這一對(duì)相關(guān)曲線中橢圓的離心率為( ) (A) (B) (C) (D) 【答案】A 【解析】設(shè)由余弦定理得:,所以,即,選A. 14.【2015屆浙江省桐鄉(xiāng)一中高三下學(xué)期聯(lián)盟學(xué)校高考仿真測(cè)試】已知橢圓 的右焦點(diǎn)為,離心率為.設(shè)A,B為橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn),的中點(diǎn)為M,的中點(diǎn)為N,原點(diǎn)在以線段為直徑的圓上.設(shè)直線AB的斜率為k,若,則的取值范圍為 . 【答案】 15.【2015屆福建省龍巖市一中高三下學(xué)期考前模擬】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,離心率為的橢圓的左頂點(diǎn)為,過原點(diǎn)的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓交于兩點(diǎn),直線分別與軸交于兩點(diǎn).若直線斜率為時(shí),. (Ⅰ)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)試問以為直徑的圓是否經(jīng)過定點(diǎn)(與直線的斜率無關(guān))?請(qǐng)證明你的結(jié)論. 拓展試題以及解析 1. 已知橢圓的離心率,半焦距為,拋物線的準(zhǔn)線方程為,則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為( ) A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 ∵拋物線的準(zhǔn)線方程為,∴,即,∵,∴,∴.∴,∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為,選B. 【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力,轉(zhuǎn)化與化歸能力,本題是橢圓與 拋物線結(jié)合,體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題. 2.已知雙曲線一焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)F相同,若拋物線的焦點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為1,P為雙曲線左支上一動(dòng)點(diǎn),Q(1,3),則|PF|+|PQ|的最小值為 ( ) A. B. C.4 D. 【答案】D 【入選理由】本題主要考查雙曲線的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力,轉(zhuǎn)化與化歸能力,數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想,本題是雙曲線與拋物線結(jié)合,體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題. 3.已知拋物線C的頂點(diǎn)為原點(diǎn),對(duì)稱軸為x軸,與橢圓交于M,N兩點(diǎn),M,N兩點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱,其中M(1,2),過拋物線C焦點(diǎn)的直線與交于在軸上方)兩點(diǎn),且.則的面積為( ) A. B. C. D.3 【答案】A 【入選理由】本題主要考查橢圓的方程及幾何性質(zhì), 拋物線的方程及幾何性質(zhì),三角形面積,解直角三角形等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力,轉(zhuǎn)化與化歸能力,本題是橢圓與拋物線結(jié)合,體現(xiàn)學(xué)科內(nèi)綜合,故選此題. 4.已知橢圓C的一焦點(diǎn)與的焦點(diǎn)重合,點(diǎn)在橢圓C上.直線過點(diǎn),且與橢圓C交于,兩點(diǎn). (1)求橢圓C的方程; (2)點(diǎn)滿足,點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),延長(zhǎng)線段與橢圓C交于點(diǎn),四邊形能否為平行四邊形?若能,求出此時(shí)直線的方程,若不能,說明理由. 【解析】(1)拋物線的焦點(diǎn)為,故得,解得. 所以橢圓的方程為 法二:(1)當(dāng)直線與軸垂直時(shí),直線的方程為滿足題意;(2)當(dāng)直線與軸不垂直時(shí),設(shè)直線,顯然,,,.將代入得,故,.四邊形為平行四邊形當(dāng)且僅當(dāng)線段與線段互相平分,即,則. 由直線,過點(diǎn),得.則,即解得解得滿足所以直線的方程為時(shí),四邊形為平行四邊形.綜上所述:直線的方程為或 . 【入選理由】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),拋物線的方程及幾何性質(zhì),直線方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,探索性命題等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力,轉(zhuǎn)化與化歸能力,本題是綜合性較強(qiáng),體現(xiàn)壓柱題作用,故選此題. 5.已知雙曲線:的漸近線方程為,拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),焦 點(diǎn)在軸上,點(diǎn)為雙曲線與拋物線的一個(gè)公共點(diǎn). (Ⅰ)求雙曲線與拋物線的方程; (Ⅱ) 過拋物線的焦點(diǎn)作兩條相互垂直的直線,,與拋物線分別交于點(diǎn)、,、. (ⅰ)若直線與直線的傾斜角互補(bǔ)(點(diǎn),不同于點(diǎn)),求直線的斜率; (ⅱ)是否存在常數(shù),使得?若存在,試求出的值;若不存在,請(qǐng)說明 理由. (Ⅱ)(?。┰O(shè)直線的斜率為,顯然,則其方程為.聯(lián)立方程得,消得,,設(shè)、,則由根與系數(shù)的關(guān)系得:,. 由直線與直線的傾斜角互補(bǔ)可得,即,又,, 故, 故,即,整理得,即,整理得,解得. 6.已知拋物線的焦點(diǎn)為,直線與軸的交點(diǎn)為,與拋物線的交點(diǎn)為,且.已知橢圓的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且離心率為. (Ⅰ)求拋物線和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (Ⅱ)若橢圓的長(zhǎng)軸的兩端點(diǎn)為,,點(diǎn)為橢圓上異于,的動(dòng)點(diǎn),定直線與直線,分別交于,兩點(diǎn).請(qǐng)問以為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn),若存在,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不存在,請(qǐng)說明理由. 【解析】(Ⅰ)設(shè),代入,得,∴.又,即,∴. ∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.在橢圓中,,,∴,.∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【入選理由】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),拋物線的方程及幾何性質(zhì),直線方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,圓的方程等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力,轉(zhuǎn)化與化歸能力,本題是綜合性較強(qiáng),體現(xiàn)壓柱題作用,故選此題. 7.已知是橢圓左右焦點(diǎn),過的直線交橢圓于兩點(diǎn),△的周長(zhǎng)為8,橢圓的離心率為. (Ⅰ)求橢圓的方程; (Ⅱ)若直線與橢圓交于且,求證原點(diǎn)到直線的距離為定值. 【解析】(Ⅰ)由橢圓的定義知=8,所以=2,由橢圓的離心率為知,,∴, ∴=3, ∴橢圓的方程為; (Ⅱ)當(dāng)存在時(shí),設(shè), 【入選理由】本題主要考查橢圓的定義,標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì),直線方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,向量垂直的充要條件等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力,轉(zhuǎn)化與化歸能力,本題是綜合性較強(qiáng),體現(xiàn)壓柱題作用,故選此題. 8.已知橢圓:的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)相同,為橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),面積的最大值為1. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程; (2)設(shè)不過原點(diǎn)的直線:與橢圓交于兩點(diǎn) ①若直線與的斜率分別為,且,求證:直線過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo); ②若直線的斜率是直線斜率的等比中項(xiàng),求面積的取值范圍. 【解析】(1)由拋物線的方程為得其焦點(diǎn)坐標(biāo)為,所以可得橢圓中, 當(dāng)點(diǎn)位于橢圓的短軸端點(diǎn)時(shí)的面積最大,此時(shí),所以,又由得,所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為. 【入選理由】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,拋物線的方程,直線方程,直線與橢圓的位置關(guān)系,三角形面積,等比中項(xiàng)等基礎(chǔ)知識(shí),意在考查學(xué)生分析問題、解決問題的能力、基本運(yùn)算能力及推理能力,轉(zhuǎn)化與化歸能力,本題是綜合性較強(qiáng),體現(xiàn)壓柱題作用,故選此題.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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