高中數(shù)學 4_1 坐標系 1 直角坐標系學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 4.1 坐標系 1 直角坐標系學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘) 學業(yè)達標] 1．已知點Q(1,2)，求Q點關于M(3,4)的對稱點． 【解】　設點P的坐標為(x，y)， 由題意知，M是PQ的中點， 因此∴∴點P的坐標為(5,6)． 2．設△ABC的三個頂點坐標分別為A(3，－1)，B(8,2)，C(4,6)，求△ABC的面積． 【解】　如圖，作直線l：y＝－1，過點B、C向l引垂線，垂足分別為B1、C1，則△ABC的面積為 S＝S△AC1C＋S梯形C C1B1B－S△AB1B＝17＋(7＋3)4－53＝16. 3．已知點P(0,4)，求P點關于直線l：3x－y－1＝0的對稱點． 【解】　設P點關于l的對稱點Q的坐標為(a，b)，由題意得 即 解之得 ∴P點關于直線l的對稱點坐標為(3,3)． 4．已知一條長為6的線段兩端點A，B分別在x，y軸上滑動，點M在線段AB上，且AM∶MB＝1∶2，求動點M的軌跡方程． 【導學號：98990002】 【解】　如圖，設A(xA,0)，B(0，yB)，M(x，y)，∵AB＝6， ∴＝6，即x＋y＝36，① 又∵AM∶MB＝1∶2， ∴x＝，y＝， 即 代入①得x2＋9y2＝36， 即x2＋4y2＝16. 得動點M的軌跡方程為x2＋4y2＝16. 5．設點P是矩形ABCD所在平面上任意一點，試用解析法證明：PA2＋PC2＝PB2＋PD2. 【證明】　如圖，以(矩形的)頂點A為坐標原點，邊AB、AD所在直線分別為x軸與y軸建立平面直角坐標系，并設B(b,0)、D(0，d)，則點C的坐標為(b，d)．又設P(x，y)， 則PA2＋PC2＝x2＋y2＋(x－b)2＋(y－d)2， PB2＋PD2＝(x－b)2＋y2＋x2＋(y－d)2. 比較兩式，可知PA2＋PC2＝PB2＋PD2. 6．有相距1 400 m的A、B兩個觀察站，在A站聽到爆炸聲的時間比在B站聽到時間早4 s．已知當時聲音速度為340 m/s，試求爆炸點所在的曲線． 【解】　由題知：爆炸點P到B的距離比到A的距離多3404＝1 360米． 即PB－PA＝1 360＜1 400，PB＞PA. 故P在以A、B為焦點的雙曲線上，且離A近的一支． 以A、B兩點所在直線為x軸，AB的垂直平分線為y軸，建立直角坐標系，由題意得，2a＝1 360,2c＝1 400，故a＝680，c＝700，b2＝7002－6802＝27 600，故爆炸點所在曲線為－＝1(x＜0)． 7．在黃巖島海域執(zhí)行漁政執(zhí)法的漁政310船發(fā)現(xiàn)一艘不明船只從離小島O正東方向80海里的B處，沿東西方向向O島駛來．指揮部立即命令在島嶼O正北方向40海里的A處的我船沿直線前往攔截，以東西方向為x軸，南北方向為y軸，島嶼O為原點，建立平面直角坐標系并標出A，B兩點，若兩船行駛的速度相同，在上述坐標系中標出我船最快攔住不明船只的位置，并求出該點的坐標． 【解】　A，B兩點如圖所示，A(0,40)，B(80,0)， ∴OA＝40(海里)，OB＝80(海里)． 我船直行到點C與不明船只相遇， 設C(x,0)， ∴OC＝x，BC＝OB－OC＝80－x. ∵兩船速度相同， ∴AC＝BC＝80－x. 在Rt△AOC中，OA2＋OC2＝AC2，即402＋x2＝(80－x)2，解得x＝30. ∴點C的坐標為(30,0)． 能力提升] 8．學校科技小組在計算機上模擬航天器變軌返回試驗．設計方案如圖412，航天器運行(按順時針方向)的軌跡方程為＋＝1，變軌(即航天器運行軌跡由橢圓變?yōu)閽佄锞€)后返回的軌跡是以y軸為對稱軸，M(0，)為頂點的拋物線的實線部分，降落點為D(8,0)．觀測點A(4,0)，B(6,0)． 圖412 (1)求航天器變軌后的運行軌跡所在的曲線方程； (2)試問：當航天器在x軸上方時，航天器離觀測點A、B分別為多遠時，應向航天器發(fā)出變軌指令？ 【解】　(1)設曲線方程為y＝ax2＋， ∵ 點D(8,0)在拋物線上，∴a＝－， ∴曲線方程為y＝－x2＋. (2)設變軌點為C(x，y)，根據(jù)題意可知 得4y2－7y－36＝0. y＝4或y＝－(舍去)，∴y＝4. 得x＝6或x＝－6(舍去)． ∴C點的坐標為(6,4)，AC＝2，BC＝4. 所以當航天器離觀測點A、B的距離分別為2、4時，應向航天器發(fā)出變軌指令．