高中數學 第1講 相似三角形的判定及有關性質 第4節(jié) 直角三角形的射影定理課后練習 新人教A版選修4-1

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2016-2017學年高中數學 第1講 相似三角形的判定及有關性質 第4節(jié) 直角三角形的射影定理課后練習 新人教A版選修4-1 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．在△ABC中，CD⊥AB于點D，下列不能判定△ABC為直角三角形的是(　　) A．AC＝2，AB＝2，CD＝ B．AC＝3，AD＝2，BD＝3 C．AC＝3，BC＝4，CD＝ D．AC＝7，BD＝4，CD＝2 解析：　根據勾股定理可知A、C正確，根據射影定理的逆定理知D正確． 答案：　B 2．在Rt△ABC中，∠BAC＝90，AD⊥BC，垂足為D．若BC＝m，∠B＝α，則AD長為(　　) A．msin2α　　　　　　　　　 B．mcos2 α C．msin αcos α D．msin αtan α 解析：　由射影定理，得 AB2＝BDBC，AC2＝CDBC， 即m2cos2α＝BDm， m2sin2α＝CDm， 即BD＝mcos2α，CD＝msin2α. 又∵AD2＝BDDC＝m2cos2αsin2α， ∴AD＝mcos αsin α，故選C． 答案：　C 3．如圖，在△ABC中，CD⊥AB于D，下列條件中，一定能確定△ABC為直角三角形的個數為(　　) ①∠1＝∠A ②＝； ③∠B＋∠2＝90； ④BC∶AC∶AB＝3∶4∶5. A．1 B．2 C．3 D．4 解析：?、倌埽摺?＋∠B＝90，若∠1＝∠A，則∠A＋∠B＝90，∴△ABC為直角三角形． ②能．若＝，則CD2＝ADBD， ∴AB2＝(AD＋BD)2＝AD2＋BD2＋2ADBD＝AD2＋BD2＋2CD2＝(AD2＋CD2)＋(BD2＋CD2)＝AC2＋BC2， ∴△ABC為直角三角形． ③不能．∠B＋∠2＝90，又∠B＋∠1＝90，則∠1＝∠2，并不能得到△ABC為直角三角形． ④能．設BC＝3x，AC＝4x，AB＝5x，則AB2＝BC2＋AC2，△ABC為直角三角形． 答案：　C 4．已知△ABC中，AD是高，且AD2＝BDDC，則∠BAC(　　) A．大于90 B．等于90 C．小于90 D．不能確定 答案：　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．CD是Rt△ACB斜邊AB上的高，則cos A用線段的比表示為________或________或________. 答案：　　　 6．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB于點D，AD＝4，sin∠ACD＝，則CD＝________. 解析：　在Rt△ADC中，AD＝4，sin∠ACD＝， 由sin∠ACD＝，得AC＝＝＝5， 又由射影定理AC2＝ADAB，得AB＝＝. ∴BD＝AB－AD＝－4＝， 由射影定理CD2＝ADBD＝4＝9， ∴CD＝3. 答案：　3 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．已知直角三角形周長為48 cm，一銳角平分線分對邊為3∶5兩部分． (1)求直角三角形的三邊長； (2)求兩直角邊在斜邊上的射影的長． 解析：　(1)如圖，設CD＝3x，BD＝5x， 由BC＝8x， 過D作DE⊥AB， 由題意可得， DE＝3x，BE＝4x， ∴AE＋AC＋12x＝48. 又AE＝AC， ∴AC＝24－6x，AB＝24－2x， ∴(24－6x)2＋(8x)2＝(24－2x)2， 解得：x1＝0(舍去)，x2＝2， ∴AB＝20，AC＝12，BC＝16， ∴三邊長分別為：20 cm,12 cm,16 cm. (2)作CF⊥AB于F， ∴AC2＝AFAB， ∴AF＝＝＝(cm)． 同理：BF＝＝＝(cm)． ∴兩直角邊在斜邊上的射影長分別為cm，cm. 8．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE平分∠ABC交AC于E，EF⊥BC于F，且BDCF2＝CDEF2. 求證：EF∶DF＝BC∶AC． 證明：　∵AD⊥BC，EF⊥BC，∴EF∥AD． ∴＝，∴＝. 又∵BDCF2＝CDEF2，∴＝. ∴＝，即AD2＝BDCD． ∴∠BAC＝90. ∴AC2＝BCCD． ∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC， ∴AE＝EF.又EF∥AD，∴＝. ∴＝＝＝，即EF∶DF＝BC∶AC． ☆☆☆ 9．(10分)在△ABC中，∠ACB＝90，CD⊥AB，AE平分∠BAC交BC于E，CE∶EB＝4∶5，CD＝24， 求AD∶DB及S△ABC． 解析：　∵∠ACB＝90，CD⊥AB， ∴AC2＝ADAB，BC2＝BDAB， ∴＝. 而AC2＋BC2＝AB2， ∴＝＝， 又AE平分∠BAC， ∴＝＝， ∴＝＝， 設AD＝16a，BD＝9a， ∴CD2＝BDAD，即242＝16a9a， 解得a＝2， ∴AB＝16a＋9a＝50. ∴S△ABC＝ABCD＝5024＝600.