高中數(shù)學(xué) 2_5 隨機(jī)變量的均值和方差（第1課時(shí)）教案 蘇教版選修2-31

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2．5.1　離散型隨機(jī)變量的均值 課時(shí)目標(biāo)1.通過實(shí)例，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)的概念和意義.2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值(數(shù)學(xué)期望)，并能解決一些實(shí)際問題． 1．離散型隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望 若離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X＝xi)＝pi，則稱________________________為離散型隨機(jī)變量X的均值(或數(shù)學(xué)期望)，記為E(X)或μ. 2．特殊分布的數(shù)學(xué)期望 (1)若隨機(jī)變量X～0－1分布，則E(X)＝________； (2)若隨機(jī)變量X～H(n，M，N)，則E(X)＝； (3)若隨機(jī)變量X～B(n，p)，則E(X)＝________. 一、填空題 1．設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為P(X＝k)＝，k＝1,2,3,4，則E(X)的值為________． 2．已知隨機(jī)變量X的概率分布表是： X 4 a 9 10 P 0.3 0.1 b 0.2 ，E(X)＝7.5，則a＝________. 3．已知隨機(jī)變量ξ的概率分布表為 ξ 0 1 2 P 則η＝2ξ＋3，則E(η)＝________. 4．兩封信隨機(jī)投入A、B、C三個(gè)空郵箱，則A郵箱的信件數(shù)ξ的數(shù)學(xué)期望是________． 5．從4名男生和2名女生中任選3人參加演講比賽，設(shè)隨機(jī)變量ξ表示所選3人中女生的人數(shù)，則ξ的數(shù)學(xué)期望為______． 6．隨機(jī)變量ξ的概率分布由下表給出： ξ 7 8 9 10 P 0.3 0.35 0.2 0.15 則隨機(jī)變量ξ的均值是________． 7．某射手射擊所得環(huán)數(shù)ξ的概率分布表如下： ξ 7 8 9 10 P x 0.1 0.3 y 已知ξ的期望E(ξ)＝8.9，則y的值為________． 8．某漁業(yè)公司要對(duì)下月是否出海做出決策，若出海后遇到好天氣，則可得收益60 000元，若出海后天氣變壞，則將損失80 000元，若不出海，則無論天氣好壞都將損失10 000元，據(jù)氣象部門的預(yù)測(cè)，下月好天氣的概率為60%，壞天氣的概率為40%，該公司應(yīng)做出決策_(dá)_______(填“出?！被颉安怀龊！?． 二、解答題 9．某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)用X表示，據(jù)統(tǒng)計(jì)，隨機(jī)變量X的概率分布如下表： X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 2a a (1)求a的值和X的數(shù)學(xué)期望； (2)假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)者投訴的次數(shù)互不影響，求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率． 10．袋中有4只紅球，3只黑球，今從袋中隨機(jī)地取出4只球．設(shè)取到1只紅球得2分，取到1只黑球得1分，試求得分X的分布列和均值． 能力提升 11．某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現(xiàn)播種了1 000粒，對(duì)于沒有發(fā)芽的種子，每粒需要再補(bǔ)種2粒，補(bǔ)種的種子數(shù)記為X，則X的數(shù)學(xué)期望為________． 12．設(shè)S是不等式x2－x－6≤0的解集，整數(shù)m，n∈S. (1)記“使得m＋n＝0成立的有序數(shù)組(m，n)”為事件A，試列舉A包含的基本事件； (2)設(shè)ξ＝m2，求ξ的概率分布表及其數(shù)學(xué)期望E(ξ)． 1．求均值的關(guān)鍵是求出分布列，只要求出隨機(jī)變量的分布列，就可以套用均值的公式求解，對(duì)于aX＋b型隨機(jī)變量的均值，可以利用均值的性質(zhì)求解． 2．三種特殊分布的數(shù)學(xué)期望可直接結(jié)合公式計(jì)算． 2．5　隨機(jī)變量的均值和方差 2．5.1　離散型隨機(jī)變量的均值 答案 知識(shí)梳理 1．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn 2．(1)p　(3)np 作業(yè)設(shè)計(jì) 1．2.5 解析　E(X)＝1＋2＋3＋4 ＝10＝2.5. 2．7 解析　∵E(X)＝40.3＋0.1a＋9b＋2＝7.5， 0．3＋0.1＋b＋0.2＝1， ∴a＝7，b＝0.4. 3. 解析　E(ξ)＝0＋1＋2＝＝， 又∵η＝2ξ＋3， ∴E(η)＝2E(ξ)＋3＝2＋3＝. 4. 解析　由題意知ξ～B(2，)，∴E(ξ)＝2＝. 5．1 解析　方法一　ξ可能取的值為0,1,2，P(ξ＝k)＝，k＝0,1,2，所以ξ的概率分布為 ξ 0 1 2 P 故E(ξ)＝0＋1＋2＝1. 方法二　ξ～H(3,2,6)，E(ξ)＝＝1. 6．8.2 解析　E(ξ)＝70.3＋80.35＋90.2＋100.15＝8.2. 7．0.4 解析　∵E(ξ)＝7x＋80.1＋90.3＋10y＝7(0.6－y)＋10y＋3.5＝7.7＋3y，∴7.7＋3y＝8.9，∴y＝0.4. 8．出海 解析　設(shè)ξ為公司出海的獲利，則ξ的分布列為 ξ 60 000 －80 000 P 0.6 0.4 所以獲利期望E(ξ)＝36 000－32 000＝4 000>－10 000，所以應(yīng)出海． 9．解　(1)由概率分布的性質(zhì)有0.1＋0.3＋2a＋a＝1，解得a＝0.2. ∴X的概率分布表為 X 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.4 0.2 ∴E(X)＝00.1＋10.3＋20.4＋30.2＝1.7. (2)設(shè)事件A表示“兩個(gè)月內(nèi)共被投訴2次”；事件A1表示“兩個(gè)月內(nèi)有一個(gè)月被投訴2次，另一個(gè)月被投訴0次”；事件A2表示“兩個(gè)月內(nèi)每個(gè)月均被投訴1次”． 則由事件的獨(dú)立性得 P(A1)＝CP(X＝2)P(X＝0)＝20.40.1＝0.08， P(A2)＝[P(X＝1)]2＝0.32＝0.09. ∴P(A)＝P(A1)＋P(A2)＝0.08＋0.09＝0.17. 故該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率為0.17. 10．解　直接考慮得分的話，情況較復(fù)雜，可以考慮取出的4只球顏色分布情況：4紅得8分，3紅1黑得7分，2紅2黑得6分，1紅3黑得5分． 故P(X＝5)＝＝； P(X＝6)＝＝； P(X＝7)＝＝； P(X＝8)＝＝. 所以均值E(X)＝5＋6＋7＋8＝. 11．200 解析　種子發(fā)芽率為0.9，不發(fā)芽率為0.1，每粒種子發(fā)芽與否相互獨(dú)立，故設(shè)沒有發(fā)芽的種子數(shù)為ξ，則ξ～B(1 000，0.1)，∴E(ξ)＝1 0000.1＝100，故需補(bǔ)種的期望為 E(X)＝2E(ξ)＝200. 12．解　(1)由x2－x－6≤0，得－2≤x≤3， 即S＝{x|－2≤x≤3}． 由于m，n∈Z，m，n∈S且m＋n＝0，所以A包含的基本事件為(－2,2)，(2，－2)， (－1,1)，(1，－1)，(0,0)． (2)由于m的所有不同取值為－2，－1,0,1,2,3， 所以ξ＝m2的所有不同取值為0,1,4,9， 且有P(ξ＝0)＝， P(ξ＝1)＝＝， P(ξ＝4)＝＝， P(ξ＝9)＝. 故ξ的概率分布表為 ξ 0 1 4 9 P 所以E(ξ)＝0＋1＋4＋9＝. 5