高中數(shù)學(xué) 第一章 常用邏輯用語 1_4_1 全稱量詞 1_4.2 存在量詞 1.4.3 含有一個(gè)量詞的命題的否定高效測評(píng) 新人教A版選修1-1

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第一章 常用邏輯用語 1.4.1 全稱量詞 1.4.2 存在量詞 1.4.3 含有一個(gè)量詞的命題的否定高效測評(píng) 新人教A版選修1-1 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．下列語句不是特稱命題的是(　　) A．有的無理數(shù)的平方是有理數(shù) B．有的無理數(shù)的平方不是有理數(shù) C．對(duì)于任意x∈Z,2x是偶數(shù) D．存在x∈R,2x＋1是奇數(shù) 解析：　A、B、D中含有存在量詞是特稱命題，C中含有全稱量詞是全稱命題． 答案：　C 2．將“x2＋y2≥2xy”改寫成全稱命題，下列說法正確的是(　　) A．?x，y∈R，都有x2＋y2≥2xy B．?x0，y0∈R，使x＋y≥2x0y0 C．?x>0，y>0，都有x2＋y2≥2xy D．?x0<0，y0<0，使x＋y≤2x0y0 解析：　這是一個(gè)全稱命題，且x，y∈R，故選A. 答案：　A 3．命題“所有能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是(　　) A．所有不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù) B．所有能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù) C．存在一個(gè)不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù) D．存在一個(gè)能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù) 解析：　原命題是全稱命題，其否定是：存在一個(gè)能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)． 答案：　D 4．已知命題p：?x∈R，ax2＋2x＋3＞0.如果命題p是真命題，那么a的范圍是(　　) A．a(chǎn)＜　　　　　　　　　 B．0＜a≤ C．a(chǎn)≤ D．a(chǎn)≥ 解析：　p為：?x∈R，使ax2＋2x＋3≤0. ①當(dāng)a≤0時(shí)，存在x∈R，使ax2＋2x＋3≤0成立； ②當(dāng)a＞0時(shí)，Δ＝4－12a≥0時(shí)p成立； ∴0＜a≤. 綜上a≤. 答案：　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．下列命題中的全稱命題是________；特稱命題的是______． ①正方形的四條邊相等； ②有些等腰三角形是正三角形； ③正數(shù)的平方根不等于0； ④至少有一個(gè)正整數(shù)是偶數(shù)． 解析：?、佗凼侨Q命題，②④是特稱命題． 答案：?、佗邸、冖? 6．給出下列四個(gè)命題： ①有理數(shù)是實(shí)數(shù)；②有些平行四邊形不是菱形；③對(duì)任意x∈R，x2－2x＞0；④有一個(gè)素?cái)?shù)含有三個(gè)正因數(shù)． 以上命題的否定為真命題的序號(hào)是____________． 解析：　寫出命題的否定，易知③④的否定為真命題，或者根據(jù)命題①、②是真命題，③、④為假命題，再根據(jù)命題與它的否定一真一假，可得③④的否定為真命題． 答案：?、邰? 三、解答題(每小題10分，共20分) 7．判斷下列語句是全稱命題，還是特稱命題： (1)凸多邊形的外角和等于360； (2)有的向量方向不定； (3)對(duì)任意角α，都有sin2α＋cos2α＝1； (4)有一個(gè)函數(shù)，既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)； (5)若一個(gè)四邊形是菱形，則這個(gè)四邊形的對(duì)角線互相垂直． 解析：　(1)可以改寫為“所有的凸多邊形的外角和等于360”，故為全稱命題． (2)含有存在量詞“有的”，故是特稱命題． (3)含有全稱量詞“任意”，故是全稱命題． (4)含有存在量詞“有一個(gè)”，故為特稱命題． (5)若一個(gè)四邊形是菱形，也就是所有的菱形，故為全稱命題． 8．判斷下列命題的真假，并寫出它們的否定： (1)?α，β∈R，sin(α＋β)≠sin α＋sin β； (2)?x0，y0∈Z,3x0－4y0＝20； (3)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，有些一元二次方程無解； (4)正數(shù)的絕對(duì)值是它本身． 解析：　(1)由于α＝β＝0時(shí)，sin(α＋β)＝sin α＋sin β，所以命題為假命題， 否定為：?α0，β0∈R，sin(α0＋β0)＝sin α0＋sin β0； (2)真命題，否定為：?x，y∈Z,3x－4y≠20； (3)真命題，否定為：在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，所有的一元二次方程都有解； (4)是全稱命題，省略了量詞“所有”，命題為真命題．否定為：有的正數(shù)的絕對(duì)值不是它本身． 9．(10分)已知命題“存在x0∈R，ax－2ax0－3>0”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍． 解析：　因?yàn)槊}“存在x0∈R，ax－2ax0－3>0”的否定為“對(duì)于任意x∈R，ax2－2ax－3≤0恒成立”，由“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可知該命題的否定是真命題． 事實(shí)上，當(dāng)a＝0時(shí)，對(duì)任意的x∈R，不等式－3≤0恒成立； 當(dāng)a≠0時(shí)，借助二次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，很容易知道不等式ax2－2ax－3≤0恒成立的等價(jià)條件是a<0且其判別式Δ＝4a2＋12a≤0，即－3≤a≤0； 綜上知，實(shí)數(shù)a的取值范圍是[－3,0]．