高中數(shù)學 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 1_3 相似三角形的判定及性質(zhì) 第1課時 相似三角形的判定練習 新人教A版選修4-1

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1.3 相似三角形的判定及性質(zhì) 第1課時 相似三角形的判定 A級　基礎(chǔ)鞏固 一、選擇題 1.如圖所示，在正三角形ABC中，D，E分別在AC，AB上，且＝，AE＝BE，則有(　　) A．△ADE∽△BED B．△AED∽△CBD C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD 解析：在△AED和△CBD中， AE∶BC＝AD∶CD＝1∶2， ∠EAD＝∠BCD，所以△AED∽△CBD. 答案：B 2．三角形的一條高分這個三角形為兩個相似三角形，則這個三角形是(　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 解析：因為等腰三角形底邊上的高分這個三角形為兩個全等的三角形，全等三角形一定相似，所以這個三角形可以是等腰三角形；又因為直角三角形斜邊上的高分這個三角形為兩個相似三角形，所以這個三角形也可以是直角三角形． 答案：D 3．如圖所示，小正方形的邊長均為1，則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是(　　) 解析：首先求得△ABC三邊的長，然后分別求得A、B、C、D選項中各三角形的三邊的長，然后根據(jù)三組對邊的比相等的兩個三角形相似，即可求得答案． 答案：A 4.如圖所示，在△ABC中，點M在BC上，點N在AM上，CM＝CN，且＝.下列結(jié)論正確的是(　　) A．△ABM∽△ACB　 B．△ANC∽△AMB C．△ANC∽△ACM D．△CMN∽△BCA 解析：CM＝CN，即∠AMC＝∠MNC， 即∠AMB＝∠ANC. 又＝，即△AMB∽△ANC. 答案：B 5.如圖所示，△ABC∽△AED∽△AFG，DE是△ABC的中位線，△ABC與△AFG的相似比是3∶2，則△ADE與△AFG的相似比是(　　) A．3∶4 B．4∶3 C．8∶9 D．9∶8 解析：因為△ABC與△AFG的相似比是3∶2，所以AB∶AF＝3∶2， 又因為△ABC與△AED的相似比是2∶1， 即AB∶AE＝2∶1. 所以△AED與△AFG的相似比 k＝＝＝＝. 答案：A 二、填空題 6.如圖所示，∠C＝90，∠A＝30，E是AB的中點，DE⊥AB于E，則△ADE與△ABC的相似比是________． 解析：因為E為AB的中點， 所以＝，即AE＝AB. 在Rt△ABC中，∠A＝30，AC＝AB， 又因為Rt△AED∽Rt△ACB， 所以相似比為＝. 故△ADE與△ABC的相似比為1∶. 答案：1∶ 7．如圖所示，已知在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36，BD是∠ABC的角平分線，若DCAC＝19，則AD＝________． 解析：因為∠A＝36，AB＝AC， 所以∠ABC＝∠C＝72. 又因為BD平分∠ABC， 所以∠ABD＝∠CBD＝36. 所以∠BDC＝72＝∠C， 所以AD＝BD＝BC，且△ABC∽△BCD， 所以＝. 所以BC2＝ABCD. 所以AD2＝ACCD. 所以AD2＝19，所以AD＝. 答案： 8．△ABC的三邊長分別是3 cm，4 cm，5 cm，與其相似的 △A′B′C′的最大邊長是15 cm，那么S△A′B′C′＝________． 解析：由題意知：△ABC與△A′B′C′的相似比是1∶3，又因為△ABC的三邊長分別為3 cm，4 cm，5 cm，所以△A′B′C′的三邊長分別為9 cm，12 cm，15 cm.又因為92＋122＝152，所以△A′B′C′為直角三角形，所以S△A′B′C′＝912＝54(cm2)． 答案：54 cm2 三、解答題 9.如圖所示，CD平分∠ACB，EF是CD的中垂線交AB的延長線于E，求證：△ECB∽△EAC. 證明：連接EC，因為EF是CD的中垂線， 所以EC＝ED，且∠EDC＝∠ECD. 又因為∠EDC＝∠A＋∠ACD， 且∠ECD＝∠DCB＋∠ECB， 又因為CD為∠ACB的平分線， 則∠ACD＝∠DCB， 所以∠A＝∠ECB.又∠CEA為公共角， 所以△ECB∽△EAC. 10.如圖所示，在△ABC(AB>AC)的邊AB上取一點D，在邊AC上取一點E，使AD＝AE，直線DE和BC的延長線交于點P，求證：＝. 證明：過點C作CM∥AB， 交DP于點M. 因為AD＝AE，所以∠ADE＝∠AED. 又AD∥CM，∠ADE＝∠CME， ∠AED＝∠CEM， 所以∠CEM＝∠CME，所以CE＝CM. 因為CM∥BD，所以△CPM∽△BPD， 所以＝，即＝. B級　能力提升 1．若△ABC與△DEF相似，∠A＝60，∠B＝40，∠D＝80，則∠E的度數(shù)可以是(　　) A．60 B．40 C．80 D．40或60 解析：根據(jù)判定定理，可知∠E的度數(shù)可以是40或60. 答案：D 2．如圖所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥AD，對角線BD⊥DC，則△ABD∽________，BD2＝________． 解析：因為AD∥BC， 所以∠ADB＝∠DBC. 又因為∠A＝∠BDC＝90， 所以△ABD∽△DCB. 所以＝.所以BD2＝ADBC. 答案：△DCB　ADBC 3．如圖所示，點C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形． (1)當AC，CD，DB滿足怎樣的關(guān)系時， △ACP∽△PDB? (2)當△ACP∽△PDB時，求∠APB的度數(shù)． 解：(1)因為△PCD是等邊三角形， 所以∠PCD＝∠PDC＝60， PD＝PC＝CD. 從而∠ACP＝∠PDB＝120. 所以，當＝時，△ACP∽△PDB， 即當CD2＝ACBD時， △ACP∽△PDB. (2)當△ACP∽△PDB時， ∠APC＝∠PBD. 所以∠APB＝∠APC＋∠CPD＋∠DPB＝∠PBD＋60＋∠DPB＝60＋60＝120.