高中數(shù)學(xué) 2_1 隨機(jī)變量及其概率分布教案 蘇教版選修2-31

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2.1隨機(jī)變量及其概率分布教案 教學(xué)目標(biāo) （1）在對具體問題的分析中，了解隨機(jī)變量、離散型隨機(jī)變量的意義，理解取有限值的離散型隨機(jī)變量及其概率分布的概念； （2）會求出某些簡單的離散型隨機(jī)變量的概率分布，認(rèn)識概率分布對于刻畫隨機(jī)現(xiàn)象的重要性； （3）感受社會生活中大量隨機(jī)現(xiàn)象都存在著數(shù)量規(guī)律，培養(yǎng)辨證唯物主義世界觀． 教學(xué)重點，難點 （1）理解取有限值的隨機(jī)變量及其分布列的概念； （2）初步掌握求解簡單隨機(jī)變量的概率分布． 教學(xué)過程 一．問題情境 在一塊地里種下10棵樹苗，成活的樹苗棵數(shù)是 0，1，…，10中的某個數(shù)；拋擲一顆骰子，向上的點數(shù)是1，2，3，4，5，6中的某一個數(shù)；新生嬰兒的性別，抽查的結(jié)果可能是男，也可能是女．如果將男嬰用0表示，女嬰用1表示，那么抽查的結(jié)果是0和1中的某個數(shù)；…… 上述現(xiàn)象有哪些共同特點？ 二．學(xué)生活動 上述現(xiàn)象中的，，，實際上是把每個隨機(jī)試驗的基本事件都對應(yīng)一個確定的實數(shù)，即在試驗結(jié)果（樣本點）與實數(shù)之間建立了一個映射． 例如，上面的植樹問題中成活的樹苗棵數(shù)：，表示成活0棵；，表示成活1棵；…… 三．建構(gòu)數(shù)學(xué) 1．隨機(jī)變量： 一般地，如果隨機(jī)試驗的結(jié)果，可以用一個變量來表示，那么這樣的變量叫做隨機(jī)變量．通常用大寫拉丁字母，，（或小寫希臘字母，，）等表示，而用小寫拉丁字母，，（加上適當(dāng)下標(biāo)）等表示隨機(jī)變量取的可能值． 如：上面新生嬰兒的性別是一個隨機(jī)變量，，表示新生嬰兒是男嬰；，表示新生嬰兒是女嬰． 例1．（1）擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣一次，用表示擲得正面的次數(shù)，則隨機(jī)變量的可能取值有哪些？ （2）一實驗箱中裝有標(biāo)號為1，2，3，3，4的五只白鼠，從中任取一只，記取到的白鼠的標(biāo)號為，則隨機(jī)變量的可能取值有哪些？ 解 （1）拋擲硬幣是隨機(jī)試驗，結(jié)果有兩種可能，一種是正面向上，另一種是反面向上，所以變量的取值可能是1（正面向上），也可能是0（反面向上），故隨機(jī)變量的取值構(gòu)成集合{0，1}． （2）根據(jù)條件可知，隨機(jī)變量的可能值有4種，它的取值集合是{1，2，3，4}． 說明：(1)引入了隨機(jī)變量后，隨機(jī)事件就可以用隨機(jī)變量來表示． (2) 在例1（1）中，隨機(jī)事件“擲一枚硬幣，正面向上”可以用隨機(jī)變量表示為，隨機(jī)事件“擲一枚硬幣，反面向上”可以用隨機(jī)變量表示為． (3) 在例1（2）中，也可用，，，分別表示取到1號、2號、3號和4號白鼠這4個隨機(jī)事件．另一方面，在例1（2）中，可以用這樣的記號表示“取到1號、2號或3號白鼠”這件事情，也就是說，復(fù)雜的事件也可以用隨機(jī)變量的取值來表示． 這樣，我們就可以用隨機(jī)事件發(fā)生的概率來表示隨機(jī)變量取值的概率了．如例1（1）中的概率可以表示為 ，其中常簡記為．同理，．這一結(jié)果可用表2-1-1來描述． 0 1 例1（2）中隨機(jī)變量所表示的隨機(jī)事件發(fā)生的概率也可用表2-1-2來描述． 1 2 3 4 上面的兩個表格分別給出了隨機(jī)變量，表示的隨機(jī)事件的概率，描述了隨機(jī)變量的分布規(guī)律． 2．隨機(jī)變量的概率分布： 一般地，假定隨機(jī)變量有個不同的取值，它們分別是，，…，，且，，① 則稱①為隨機(jī)變量的概率分布列，簡稱為的分布列．也可以將①用表2-1-3的形式來表示． … … 我們將表2-1-3稱為隨機(jī)變量的概率分布表．它和①都叫做隨機(jī)變量的概率分布． 3．隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)： （1）； （2）． 四．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例2．從裝有6只白球和4只紅球的口袋中任取一只球，用表示“取到的白球個數(shù)”，即 求隨機(jī)變量的概率分布． 解 由題意知，，故隨機(jī)變量的概率分布列為，，概率分布表如下． 0 1 說明：1．本題中，隨機(jī)變量只取兩個可能值0和1．像這樣的例子還有很多，如在射擊中，只考慮“命中”與“不命中”；對產(chǎn)品進(jìn)行檢驗時，只關(guān)心“合格”與“不合格”等．我們把這一類概率分布稱為0-1分布或兩點分布，并記為~0-1分布或~兩點分布．此處“~”表示“服從”． 2．求隨機(jī)變量的分布列的步驟： （1）確定的可能取值；（2）求出相應(yīng)的概率；（3）列成表格的形式。 例3 若隨機(jī)變量的分布列為：試求出常數(shù)． 解：由隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)可知： ，解得。 變式：設(shè)隨機(jī)變量的分布列為，求實數(shù)的值。（） 例4　某班有學(xué)生45人，其中型血的有10人，型血的有12人，型血的有8人， 型血的有15人，現(xiàn)抽1人，其血型為隨機(jī)變量，求的分布列。 解：設(shè)、、、四種血型分別編號為1，2，3，4，則的可能取值為1，2，3，4。 則，， ，。 故其分布表為 1 2 3 4 2．練習(xí)：課本第48頁 練習(xí)第1，2題 五．回顧小結(jié)： 1．隨機(jī)變量的概念及0-1分布，隨機(jī)變量性質(zhì)的應(yīng)用； 2．求隨機(jī)變量的分布列的步驟． 六．課外作業(yè)：課本第52頁 習(xí)題2．2 第1，3題 七．板書設(shè)計 課題： 一、定義、公式 二、注意…… 三、小結(jié) 三、例題： 例1 例2 例3 例4 四、課堂練習(xí)： 1、 2、 八．教后感 第2課時 隨機(jī)變量及其概率分布（2） 教學(xué)目標(biāo) （1）正確理解隨機(jī)變量及其概率分布列的意義； （2）掌握某些較復(fù)雜的概率分布列． 教學(xué)重點，難點 求解隨機(jī)變量的概率分布 教學(xué)過程 一．問題情境 1．復(fù)習(xí)回顧：（1）隨機(jī)變量及其概率分布的概念；（2）求概率分布的一般步驟． 2．練習(xí)： （1）寫出下列隨機(jī)變量可能取的值，并說明隨機(jī)變量所取的值表示的隨機(jī)試驗的結(jié)果． ①一袋中裝有5只同樣大小的白球，編號為1，2，3，4，5．現(xiàn)從該袋內(nèi)隨機(jī)取出3只球，被取出的球的最大號碼數(shù)為； ②盒中有6支白粉筆和8支紅粉筆，從中任意取3支，其中所含白粉筆的支數(shù)； ③從4張已編號（1號～4號）的卡片中任意取出2張，被取出的卡片編號數(shù)之和． 解：①可取3，4，5．＝3，表示取出的3個球的編號為1，2，3；＝4，表示取出的3個球的編號為1，2，4或1，3，4或2，3，4；＝5，表示取出的3個球的編號為1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5． ②可取0，1，2，3，＝表示取出支白粉筆，支紅粉筆，其中0，1，2，3． ③可取3，4，5，6，7．＝3表示取出分別標(biāo)有1，2的兩張卡片； ＝4表示取出分別標(biāo)有1，3的兩張卡片；＝5表示取出分別標(biāo)有1，4或2，3的兩張卡片；＝6表示取出分別標(biāo)有2，4的兩張卡片；＝7表示取出分別標(biāo)有3，4的兩張卡片． （2）袋內(nèi)有5個白球，6個紅球，從中摸出兩球，記．求的分布列． 解：顯然服從兩點分布，，則．所以的分布列是: 0 1 二．?dāng)?shù)學(xué)運(yùn)用 1．例題： 例1 同時擲兩顆質(zhì)地均勻的骰子，觀察朝上一面出現(xiàn)的點數(shù)．求兩顆骰子中出現(xiàn)的最大點數(shù)的概率分布，并求大于2小于5的概率． 解 依題意易知，擲兩顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)有36種等可能的情況：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，1），…，（6，5），（6，6）．因而的可能取值為1，2，3，4，5，6，詳見下表． 的值 出現(xiàn)的點 情況數(shù) 1 （1，1） 1 2 （2，2），（2，1），（1，2） 3 3 （3，3），（3，2），（3，1），（2，3），（1，3） 5 4 （4，4），（4，3），（4，2），（4，1），（3，4），（2，4），（1，4） 7 5 （5，5），（5，4），（5，3），（5，2），（5，1），（4，5），（3，5）， （2，5），（1，5） 9 6 （6，6），（6，5），（6，4），（6，3），（6，2），（6，1），（5，6）， （4，6），（3，6），（2，6），（1，6） 11 由古典概型可知的概率分布如表2-1-6所示． 1 2 3 4 5 6 從而． 思考：在例3中，求兩顆骰子出現(xiàn)最小點數(shù)的概率分布． 分析 類似與例1，通過列表可知：，，，，，． 例2 從裝有6個白球、4個黑球和2個黃球的箱中隨機(jī)地取出兩個球，規(guī)定每取出一個黑球贏2元，而每取出一個白球輸1元，取出黃球無輸贏，以表示贏得的錢數(shù)，隨機(jī)變量可以取哪些值呢？求的分布列． 解析：從箱中取出兩個球的情形有以下六種：{2白}，{1白1黃}，{1白1黑}，{2黃}，{1黑1黃}，{2黑}． 當(dāng)取到2白時，結(jié)果輸2元，隨機(jī)變量＝－2； 當(dāng)取到1白1黃時，輸1元，隨機(jī)變量＝－1； 當(dāng)取到1白1黑時，隨機(jī)變量＝1；當(dāng)取到2黃時，＝0； 當(dāng)取到1黑1黃時，＝2；當(dāng)取到2黑時，＝4． 則的可能取值為－2，－1，0，1，2，4． ?。弧　?； ?。弧?；，． 從而得到的分布列如下： －2 －1 0 1 2 4 例3 袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為，現(xiàn)在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到兩人中有一人取到白球時即止，每個球在每一次被取出的機(jī)會是等可能的，用表示取球終止時所需要的取球次數(shù)．（1）求袋中原有白球的個數(shù)；（2）求隨機(jī)變量的概率分布；（3）求甲取到白球的概率． 解：（1）設(shè)袋中原有個白球，由題意知：，所以，解得（舍去），即袋中原有3個白球． （2）由題意，的可能取值為1，2，3，4，5． ；；； ，． 所以，取球次數(shù)的分布列為： 1 2 3 4 5 （3）因為甲先取，所以甲只有可能在第1次，第3次和第5次取球，記“甲取到白球”的事件為，則（，或，或）．因為事件、、兩兩互斥， 所以． 2．練習(xí)：課本第48頁 練習(xí)第3題 五．回顧小結(jié)： 1．隨機(jī)變量及其分布列的意義； 2．隨機(jī)變量概率分布的求解． 六．課外作業(yè)：課本第52頁 習(xí)題2．2 第2，5題 七．板書設(shè)計 課題： 一、 定義、公式 二、注意點…… 五、小結(jié) 三、例題： 例1 例2 例3 四、課堂練習(xí)： 1、 八．教后感