高中數(shù)學 4_2 曲線的極坐標方程 6 圓錐曲線的極坐標方程及應用學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4
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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數(shù)學 4.2 曲線的極坐標方程 6 圓錐曲線的極坐標方程及應用學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時:45分鐘)學業(yè)達標1過橢圓1的左焦點引一條直線與橢圓自上而下交于A、B兩點,若FA2FB,求直線l的斜率【解】橢圓1中,a5,b3,c4,所以e,p.取橢圓的左焦點為極點,x軸正方向為極軸正方向,建立極坐標系,則橢圓的極坐標方程為.設A(1,)、B(2,)由題設得122.于是2,解得cos ,所以tan ,即直線l的斜率為.2已知橢圓方程為,過左焦點引弦AB,已知AB8,求AOB的面積【解】如圖,設A(1,)、B(2,)所以12.因為AB8,所以8,所以cos2,sin .由橢圓方程知e,則c3.SAOBSAOFSBOFOF1sin OF2sin 8.3如圖424,過拋物線y22px(p0)的焦點F的弦AB與x軸斜交,M為AB的中點,MNAB,并交對稱軸于N.圖424求證:MN2AFBF.【證明】取F為極點,F(xiàn)x為極軸建立極坐標系,則拋物線的極坐標方程為.設A(1,)、B(2,),則AFBF.不妨設0,則MF(12)().所以MNMFtan tan .所以MN2AFBF.4如圖425,已知圓F:x2y24x0,拋物線G的頂點是坐標系的原點,焦點是已知圓的圓心F,過圓心且傾斜角為的直線l與拋物線G、圓F從上至下順次交于A、B、C、D四點圖425(1)當直線的斜率為2時,求ABCD;(2)當為何值時,ABCD有最小值?并求這個最小值【解】圓F:x2y24x0的圓心坐標為(2,0),半徑為2,所以拋物線的焦點到準線的距離為4.以圓心F為極點,F(xiàn)x為極軸建立極坐標系則圓F的坐標方程為2,拋物線G的極坐標方程為.設A(1,)、D(2,),所以ABAF2,CDFD2,即ABCDAFFD41244444.(1)由題意,得tan 2,所以sin2.所以ABCD46.(2)ABCD4,當sin21,即時ABF2的面積取到最小值4.5已知拋物線,過焦點作互相垂直的極徑FA、FB,求FAB的面積的最小值【解】設A(1,)、B,則1,2.FAB的面積為S12.設tsin cos ,則sin cos .所以1cos sin sin cos 1t(t1)2.又tsin cos sin,所以當t,即時,F(xiàn)AB的面積S有最小值.6已知橢圓C的中心在原點,焦點F1、F2在x軸上,點P為橢圓短軸的一個頂點,且F1PF290.(1)求橢圓C的離心率;(2)若直線l過左焦點F1與橢圓交于A、B兩點,且ABF2的面積的最大值為12,求橢圓C的方程【導學號:98990017】【解】(1)因為F1PF290,所以PFPFF1F,即a2a24c2.所以e.(2)以橢圓的左焦點F1為極點,F(xiàn)x為極軸建立極坐標系,設橢圓的方程為.設A(1,)、B(2,),則ABAFFB12.因為F1F22c,所以ABF2的邊AB上的高h為2c|sin |,ABF2的面積SABh.因為|sin |2,所以當|sin |1,即或時S取到最大值所以當l過左焦點且垂直于極軸時,ABF2的面積取到最大值pc,所以pc12,即b26.故a2c26.又,所以a212,c26.所求橢圓的方程為1.7已知橢圓1,直線l:1,P是l上一點,射線OP交橢圓于R,又點Q在OP上,且滿足|OQ|OP|OR|2,當點P在l上移動時,求點Q的軌跡方程,并說明軌跡是什么曲線【解】如圖,以O為極點,Ox為極軸,建立極坐標系,則:橢圓的極坐標方程為2,直線l的極坐標方程.由于點Q、R、P在同一射線上,可設點Q、R、P的極坐標分別為(,)、(1,)、(2,),依題意,得,2.由|OQ|OP|OR|2得2(0)將代入,得,則(0)這就是點Q的軌跡的極坐標方程,化為直角坐標方程,得2x23y24x6y,即1(x、y不同時為0)點Q的軌跡為以(1,1)為中心,長軸平行于x軸,長、短半軸長分別為,的橢圓(去掉坐標原點)能力提升8建立極坐標系證明:已知半圓直徑|AB|2r(r0),半圓外一條直線l與AB所在直線垂直相交于點T,并且|AT|2a(2a)若半圓上相異兩點M,N到l的距離|MP|、|NQ|滿足|MP|:|MA|NQ|:|NA|1,則|MA|NA|AB|.【證明】法一以A為極點,射線AB為極軸建立直角坐標系,則半圓的極坐標方程為2rcos ,設M(1,1),N(2,2),則12rcos 1,22rcos 2,又|MP|2a1cos 12a2rcos21,|NQ|2a2cos 22a2rcos22,|MP|2a2rcos212rcos1,|NQ|2a2rcos222rcos 2,cos 1,cos 2是方程rcos2rcos a0的兩個根,由韋達定理:cos 1cos 21,|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.法二以A為極點,射線AB為極軸建立直角坐標系,則半圓的極坐標方程為2rcos ,設M(1,1),N(2,2),又由題意知,M(1,1),N(2,2)在拋物線上,2rcos ,rcos2rcos a0,cos 1,cos 2是方程rcos2rcos a0的兩個根,由韋達定理:cos 1cos 21,得|MA|NA|2rcos 12rcos 22r|AB|.- 配套講稿:
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