高中數學 4_3 平面坐標系中幾種常見變換 8 平面直角坐標系中的伸縮變換學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4

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【課堂新坐標】2016-2017學年高中數學 4.3 平面坐標系中幾種常見變換 8 平面直角坐標系中的伸縮變換學業(yè)分層測評 蘇教版選修4-4 (建議用時：45分鐘) 學業(yè)達標] 1．在平面直角坐標系中，求下列方程經過伸縮變換后的方程． (1)2x＋3y＝0；(2)x2＋y2＝1. 【解】　由伸縮變換得到① (1)將①代入2x＋3y＝0，得到經過伸縮變換后的方程為x′＋y′＝0， 所以，經過伸縮變換后，直線2x＋3y＝0變成直線x＋y＝0. (2)將①代入x2＋y2＝1，得＋＝1.所以，經過伸縮變換后，方程x2＋y2＝1變成＋＝1. 2．伸縮變換的坐標表達式為曲線C在此變換下變?yōu)闄E圓x′2＋＝1.求曲線C的方程． 【解】　把代入x′2＋＝1， 得x2＋y2＝1， 即曲線C的方程為x2＋y2＝1. 3．設F：(x－1)2＋(y－1)2＝1在的伸縮變換下變?yōu)閳D形F′，求F′的方程． 【解】　由得所以(x－1)2＋(y－1)2＝1變換為(x′－1)2＋(y′－1)2＝1，即＋(y′－1)2＝1，所以F′的方程是＋(y－1)2＝1. 4．雙曲線－＝1經過伸縮變換能化為等軸雙曲線x2－y2＝1嗎？ 【解】　雙曲線方程－＝1可以化為()2－()2＝1.令則x′2－y′2＝1.所以雙曲線－＝1可以通過伸縮變換化為等軸雙曲線x2－y2＝1，具體步驟是：按伸縮系數向著y軸進行伸縮變換，再將曲線按伸縮系數向著x軸進行伸縮變換． 5．已知G是△ABC的重心，經過伸縮系數k向著x軸(或y軸)的伸縮變換后，得到G′和△A′B′C′.試判斷G′是否為△A′B′C′的重心． 【解】　設△ABC的三個頂點的坐標分別為A(x1，y1)、B(x2，y2)、C(x3，y3)，則G(，)．經過伸縮系數k向著x軸的伸縮變換后，得到△A′B′C′的三個頂點及點G′的坐標分別為A′(x1，ky1)、B′(x2，ky2)，C′(x3，ky3)，G′(，k)．由于△A′B′C′的重心坐標為(，)，所以G′仍然是△A′B′C′的重心．同理可證，若伸縮變換向著y軸方向，G′同樣也是△A′B′C′的重心． 6．已知：△ABC經過伸縮變換(k≠0，且k≠1)后，得到△A′B′C′.求證：△A′B′C′和△ABC相似，且面積比為k2. 【證明】　設A(x1，y1)、B(x2，y2)，則 A′(kx1，ky1)、B′(kx2，ky2)． 所以A′B′＝ ＝|k|＝|k|AB. 同理可得A′C′＝|k|AC，B′C′＝|k|BC， 所以△A′B′C′∽△ABC，所以∠A＝∠A′， S△A′B′C′＝(|k|AB)(|k|AC)sin A′ ＝k2(ABAC)sin A]＝k2S△ABC. 7．設P1、P2是直線l上的兩點，點P是l上不同于P1、P2的任意一點，則存在一個實數λ，使＝λPP2，稱λ為點P分有向線段P1P2所成比．設P1(x1，y1)、P2(x2，y2)，點P分有向線段P1P2所成比為λ，經過伸縮變換后，點P1、P2和P分別變?yōu)镻1′、P2′和P′.求證：P1′、P2′和P′三點依然共線，且P′分有向線段P1′P2′所成比等于λ. 【導學號：98990023】 【證明】　設P(x0，y0)，由＝λ，得(x0－x1，y0－y1)＝λ(x2－x0，y2－y0)， 所以 設給定伸縮變換為則有 P1′(k1x1，k2y1)、P2′(k1x2，k2y2)、 P′(k1，k2)． ＝(k1－k1x1，k2－k2y1)＝λ(，)， ＝(k1x2－k1，k2y2－k2)＝(，)， 所以＝λ. 所以P1′、P2′和P′三點依然共線，且P′分有向線段P1′P2′所成比等于λ. 能力提升] 8．在下列平面直角坐標系中，分別作出雙曲線－＝1的圖形： (1)x軸與y軸具有相同的單位長度； (2)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的2倍； (3)x軸上的單位長度為y軸上單位長度的倍． 【解】　(1)建立平面直角坐標系，使x軸與y軸具有相同的單位長度，雙曲線－＝1的圖形如下： (2)如果x軸上的單位長度保持不變，y軸上的單位長度縮小為原來的，雙曲線－＝1的圖形如下： (3)如果y軸上的單位長度保持不變，x軸上的單位長度縮小為原來的，雙曲線－＝1的圖形如下：