高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 1 數(shù)學歸納法課后練習 新人教A版選修4-5
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2016-2017學年高中數(shù)學 第四講 數(shù)學歸納法證明不等式 1 數(shù)學歸納法課后練習 新人教A版選修4-5 一、選擇題 1.下列命題中能用數(shù)學歸納法證明的是( ) A.三角形的內角和為180 B.(1-n)(1+n+n2+…+n100)=1-n101(n∈R) C.++=(n>0) D.cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=(sinα≠0,n∈N+) 解析: 因為數(shù)學歸納法是證明關于正整數(shù)n的命題的一種方法,只有D符合要求. 答案: D 2.某個命題:(1)當n=1時,命題成立 (2)假設n=k(k≥1,k∈N+)時成立,可以推出n=k+2時也成立,則命題對________成立( ) A.正整數(shù) B.正奇數(shù) C.正偶數(shù) D.都不是 解析: 由題意知,k=1時,k+2=3;k=3時,k+2=5,依此類推知,命題對所有正奇數(shù)成立. 答案: B 3.用數(shù)學歸納法證明“當n為正奇數(shù)時,xn+yn能被x+y整除”的第二步是( ) A.假使n=2k+1時正確,再推n=2k+3正確 B.假使n=2k-1時正確,再推n=2k+1正確 C.假使n=k時正確,再推n=k+1正確 D.假使n≤k(k≥1)時正確,再推n=k+2時正確(以上k∈N*) 解析: 因為是奇數(shù),所以排除C、D,又當k∈N*時,A中2k+1取不到1,所以選B. 答案: B 4.空間中有n個平面,它們中任何兩個不平行,任何三個不共線,設k個這樣的平面把空間分成f(k)個區(qū)域,則k+1個平面把空間分成的區(qū)域數(shù)f(k+1)=f(k)+________.( ) A.k+1 B.k C.k-1 D.2k 解析: 空間中有個平面,它們中任何兩個不平行,任何三個不共線,則當n=k+1時,即增加一個平面,所以與k個平面都相交有k條交線,一條交線把平面分成兩部分,所以k條交線把平面分成2k部分;一部分平面又把空間分為兩部分,故新增加的空間區(qū)域為2k部分. 答案: D 二、填空題 5.用數(shù)學歸納法證明+cosα+cos3α+…+cos(2n-1)α=sinαcosα(α≠nπ,n∈N),在驗證n=1等式成立時,左邊計算所得的項是________. 解析: 由等式的特點知,當n=1時,左邊從第一項起,一直加到cos(2n-1)α. 答案: +cosα 6.用數(shù)學歸納法證明n+(n+1)+(n+2)+…+(3n-2)=(2n-1)2,從n=k到n=k+1一步時,等式左邊應增添的式子是________. 解析: 等式左邊從k到k+1需增加的代數(shù)式可以先寫出n=k時兩邊,再將式子中的n用k+1來代入,得出n=k+1時的等式,然后比較兩式,得出需增添的式子是(3k-1)+3k+(3k+1)-k. 答案: (3k-1)+3k+(3k+1)-k 三、解答題 7.求證:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n135…(2n-1)(n∈N+). 證明: (1)當n=1時,等式左邊=2,等式右邊=21=2, ∴等式成立. (2)假設n=k (k∈N+)時等式成立, 即(k+1)(k+2)…(k+k)=2k135…(2k-1)成立. 那么n=k+1時, (k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1)(2k+2) =2(k+1)(k+2)(k+3)…(k+k)(2k+1) =2k+1135…(2k-1)[2(k+1)-1]. 即n=k+1時等式成立. 由(1)(2)可知對任何n∈N+等式均成立. 8.用數(shù)學歸納法證明:34n+2+52n+1能被14整除(n∈N*). 證明: (1)當n=1時,341+2+521+1=36+53=854=6114,能被14整除. (2)假設當n=k時,命題成立,即34k+2+52k+1能被14整除, 則當n=k+1時, 34(k+1)+2+52(k+1)+1=34k+6+52k+3 =3434k+2+3452k+1-3452k+1+5252k+1 =34(34k+2+52k+1)-52k+1(34-52) =34(34k+2+52k+1)-5652k+1, 由此可知,34(k+1)+2+52(k+1)+1也能被14整除. 這就是說,當n=k+1時,命題也成立. 由(1)(2)可知,對任何n∈N*,34n+2+52n+1能被14整除. 9.有n個圓,其中每兩個圓都相交于兩點,并且每三個圓都不相交于同一點,求證:這n個圓把平面分成f(n)=n2-n+2個部分. 證明: (1)當n=1時,即一個圓把平面分成二個部分f(1)=2,又n=1時,n2-n+2=2,∴命題成立. (2)假設n=k(k≥1)時,命題成立,即k個圓把平面分成f(k)=k2-k+2個部分,那么設第k+1個圓為⊙O,由題意,它與k個圓中每個圓交于兩點,又無三圓交于同一點,于是它與其他k個圓相交于2k個點.把⊙O分成2k條弧而每條弧把原區(qū)域分成2塊,因此這平面的總區(qū)域增加2k塊,即f(k+1)=k2-k+2+2k=(k+1)2-(k+1)+2,即n=k+1時命題成立. 由(1)(2)可知對任何n∈N+命題均成立.- 配套講稿:
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