高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測評12 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版選修4-5

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【課堂新坐標(biāo)】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第四講 數(shù)學(xué)歸納法證明不等式 學(xué)業(yè)分層測評12 數(shù)學(xué)歸納法 新人教A版選修4-5 (建議用時(shí)：45分鐘) [學(xué)業(yè)達(dá)標(biāo)] 一、選擇題 1．設(shè)f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋)，則f(n＋1)－f(n)等于(　　) A. B.＋ C.＋ D.＋＋ 【解析】　因?yàn)閒(n)＝1＋＋＋…＋，所以f(n＋1)＝1＋＋＋…＋＋＋＋，所以f(n＋1)－f(n)＝＋＋.故選D. 【答案】　D 2．在應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法證明凸n邊形的對角線為n(n－3)條時(shí)，第一步檢驗(yàn)第一個(gè)值n0等于(　　) A．1 B．2 C．3 D.0 【解析】　邊數(shù)最少的凸n邊形是三角形． 【答案】　C 3．已知a1＝，an＋1＝，猜想an等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750066】 A. B. C. D. 【解析】　a2＝＝， a3＝＝， a4＝＝＝， 猜想an＝. 【答案】　D 4．用數(shù)學(xué)歸納法證明：(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n13…(2n－1)時(shí)，從“k到k＋1”左邊需增乘的代數(shù)式是(　　) A．2k＋1 B. C．2(2k＋1) D. 【解析】　當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊＝(k＋1＋1)(k＋1＋2)…(k＋1＋k＋1)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)＝(k＋1)(k＋2)(k＋3)…(k＋k)2(2k＋1)． 【答案】　C 5．記凸k邊形的內(nèi)角和為f(k)，則凸k＋1邊形的內(nèi)角和f(k＋1)等于f(k)加上(　　) A. B．π C．2π D.π 【解析】　從n＝k到n＝k＋1時(shí)， 內(nèi)角和增加π. 【答案】　B 二、填空題 6．觀察式子1＝1,1－4＝－(1＋2)，1－4＋9＝1＋2＋3，…，猜想第n個(gè)式子應(yīng)為________． 【答案】　1－4＋9－16＋…＋(－1)n－1n2 ＝(－1)n＋1 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N＋)”的過程中，第二步假設(shè)n＝k時(shí)等式成立，則當(dāng)n＝k＋1時(shí)應(yīng)得到________． 【解析】　∵n＝k時(shí)，命題為“1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1”， ∴n＝k＋1時(shí)為使用歸納假設(shè)， 應(yīng)寫成1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k－1＋2k＝2k＋1－1. 【答案】　1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝2k＋1－1 8．用數(shù)學(xué)歸納法證明34n＋1＋52n＋1(n∈N＋)能被14整除，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，對于34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1應(yīng)變形為________． 【解析】　34(k＋1)＋1＋52(k＋1)＋1＝34k＋5＋52k＋3＝8134k＋1＋2552k＋1＝8134k＋1＋8152k＋1－5652k＋1＝81(34k＋1＋52k＋1)－5652k＋1. 【答案】　81(34k＋1＋52k＋1)－5652k＋1 三、解答題 9．用數(shù)學(xué)歸納法證明： …＝(n≥2，n∈N＋)． 【證明】　(1)當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1－＝，右邊＝＝. ∴等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，k∈N＋)時(shí)，等式成立， 即…＝(k≥2，k∈N＋)． 當(dāng)n＝k＋1時(shí)， … ＝＝ ＝＝， ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式成立． 根據(jù)(1)和(2)知，對n≥2，n∈N＋時(shí)，等式成立． 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于任意正整數(shù)n，整式an－bn都能被a－b整除． 【證明】　(1)當(dāng)n＝1時(shí)，an－bn＝a－b能被a－b整除． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)，ak－bk能被a－b整除，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1－bk＋1＝ak＋1－akb＋akb－bk＋1＝ak(a－b)＋b(ak－bk)．因?yàn)?a－b)和ak－bk都能被a－b整除，所以上面的和ak(a－b)＋b(ak－bk)也能被a－b整除．這也就是說當(dāng)n＝k＋1時(shí)，ak＋1－bk＋1能被a－b整除． 根據(jù)(1)(2)可知對一切正整數(shù)n，an－bn都能被a－b整除． [能力提升] 1．設(shè)f(n)＝＋＋＋…＋(n∈N＋)，那么f(n＋1)－f(n)等于(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：32750067】 A. B. C.＋ D.－ 【解析】　因?yàn)閒(n)＝＋＋…＋， 所以f(n＋1)＝＋＋…＋＋＋， 所以f(n＋1)－f(n)＝＋－＝－. 【答案】　D 2．某同學(xué)回答“用數(shù)學(xué)歸納法證明＜n＋1(n∈N＋)的過程如下： 證明：(1)當(dāng)n＝1時(shí)，顯然命題是正確的： (2)假設(shè)n＝k時(shí)有＜k＋1，那么當(dāng)n＝k＋1時(shí)，＝＜＝(k＋1)＋1，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題是正確的．由(1)(2)可知對于n∈N＋，命題都是正確的．以上證法是錯(cuò)誤的，錯(cuò)誤在于(　　) A．從k到k＋1的推理過程沒有使用歸納假設(shè) B．歸納假設(shè)的寫法不正確 C．從k到k＋1的推理不嚴(yán)密 D．當(dāng)n＝1時(shí)，驗(yàn)證過程不具體 【解析】　證明＜(k＋1)＋1時(shí)進(jìn)行了一般意義的放大．而沒有使用歸納假設(shè)＜k＋1. 【答案】　A 3．用數(shù)學(xué)歸納法證明22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，且n＞1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證n＝________，當(dāng)n＝k＋1時(shí)，左邊的式子為________． 【解析】　∵所證明的等式為 22＋32＋…＋n2＝－1(n∈N＋，n＞1)． 又∵第一步驗(yàn)證的值應(yīng)為第一個(gè)值(初始值)， ∴n應(yīng)為2. 又∵當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左邊的式子實(shí)際上是將左邊式子中所有的n換成k＋1， 即22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2. 【答案】　2　22＋32＋…＋k2＋(k＋1)2 4．是否存在常數(shù)a，b，c使等式(n2－12)＋2(n2－22)＋…＋n(n2－n2)＝an4＋bn2＋c對一切正整數(shù)n成立？證明你的結(jié)論． 【解】　存在．分別用n＝1,2,3代入，解方程組得 故原等式右邊＝－. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明． (1)當(dāng)n＝1時(shí)，由上式可知等式成立． (2)假設(shè)當(dāng)n＝k(k∈N＋，k≥1)時(shí)等式成立，即(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＝k4－k2. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， 左邊＝[(k＋1)2－12]＋2[(k＋1)2－22]＋…＋k[(k＋1)2－k2]＋(k＋1)[(k＋1)2－(k＋1)2]＝(k2－12)＋2(k2－22)＋…＋k(k2－k2)＋(2k＋1)＋2(2k＋1)＋…＋k(2k＋1)＝k4－k2＋(2k＋1)＝(k＋1)4－(k＋1)2，故n＝k＋1時(shí)，等式成立． 由(1)(2)得等式對一切n∈N＋均成立．