高中數(shù)學(xué) 2_5 離散型隨機(jī)變量的均值與方差同步練習(xí) 蘇教版選修2-31

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離散型隨機(jī)變量 1． 人忘記了電話號碼的最后一個數(shù)字，因而他隨意地?fù)芴?，假設(shè)撥過了的號碼不再重復(fù)，試求下列事件的概率： （1）第次撥號才接通電話；　　 （2）撥號不超過次而接通電話. 解：設(shè){第次撥號接通電話}， （1）第次才接通電話可表示為于是所求概率為 （2）撥號不超過次而接通電話可表示為：于是所求概率為 2． 出租車司機(jī)從飯店到火車站途中有六個交通崗，假設(shè)他在各交通崗到紅燈這一事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是 （1）求這位司機(jī)遇到紅燈前，已經(jīng)通過了兩個交通崗的概率； （2）求這位司機(jī)在途中遇到紅燈數(shù)ξ的期望和方差。 解：（1）因?yàn)檫@位司機(jī)第一、二個交通崗未遇到紅燈，在第三個交通崗遇到紅燈， 所以 （2）易知 ∴ 3． 獎器有個小球，其中個小球上標(biāo)有數(shù)字，個小球上標(biāo)有數(shù)字，現(xiàn)搖出個小球，規(guī)定所得獎金（元）為這個小球上記號之和，求此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)學(xué)期望 解：設(shè)此次搖獎的獎金數(shù)額為元， 當(dāng)搖出的個小球均標(biāo)有數(shù)字時(shí)，； 當(dāng)搖出的個小球中有個標(biāo)有數(shù)字，1個標(biāo)有數(shù)字時(shí)，； 當(dāng)搖出的個小球有個標(biāo)有數(shù)字，個標(biāo)有數(shù)字時(shí)，。 所以， 答：此次搖獎獲得獎金數(shù)額的數(shù)字期望是元 4．某學(xué)生語、數(shù)、英三科考試成績，在一次考試中排名全班第一的概率：語文為， 數(shù)學(xué)為，英語為，問一次考試中 　?。á瘢┤瞥煽兙传@得第一名的概率是多少？ （Ⅱ）恰有一科成績未獲得第一名的概率是多少 解：分別記該生語、數(shù)、英考試成績排名全班第一的事件為， 則 （Ⅰ） 答：三科成績均未獲得第一名的概率是 （Ⅱ）（） 答：恰有一科成績未獲得第一名的概率是 5．如圖，兩點(diǎn)之間有條網(wǎng)線并聯(lián)，它們能通過的最大信息量分別為.現(xiàn)從中任取三條網(wǎng)線且使每條網(wǎng)線通過最大的信息量. （I）設(shè)選取的三條網(wǎng)線由到可通過的信息總量為，當(dāng)時(shí)，則保證信息暢通.求線路信息暢通的概率； （II）求選取的三條網(wǎng)線可通過信息總量的數(shù)學(xué)期望. 解：（I） （II） ∴線路通過信息量的數(shù)學(xué)期望 答：（I）線路信息暢通的概率是. （II）線路通過信息量的數(shù)學(xué)期望是 6．三個元件正常工作的概率分別為將它們中某兩個元件并聯(lián)后再和第三元件串聯(lián)接入電路. （Ⅰ）在如圖的電路中，電路不發(fā)生故障的概率是多少？ （Ⅱ）三個元件連成怎樣的電路，才能使電路中不發(fā)生故障的概率最大？請畫出此時(shí)電路圖，并說明理由. 解：記“三個元件正常工作”分別為事件，則 （Ⅰ）不發(fā)生故障的事件為. ∴不發(fā)生故障的概率為 （Ⅱ）如圖，此時(shí)不發(fā)生故障的概率最大.證明如下： 圖1中發(fā)生故障事件為 ∴不發(fā)生故障概率為 圖2不發(fā)生故障事件為，同理不發(fā)生故障概率為 7．要制造一種機(jī)器零件，甲機(jī)床廢品率為，而乙機(jī)床廢品率為，而它們 的生產(chǎn)是獨(dú)立的，從它們制造的產(chǎn)品中，分別任意抽取一件，求： （1）其中至少有一件廢品的概率；（2）其中至多有一件廢品的概率. 解：設(shè)事件“從甲機(jī)床抽得的一件是廢品”；“從乙機(jī)床抽得的一件是廢品”. 則 （1）至少有一件廢品的概率 （2）至多有一件廢品的概率 8．甲乙兩人獨(dú)立解某一道數(shù)學(xué)題，已知該題被甲獨(dú)立解出的概率為，被甲或乙解出的概率為，（1）求該題被乙獨(dú)立解出的概率；（2）求解出該題的人數(shù)的數(shù)學(xué)期望和方差 解：（1）記甲、乙分別解出此題的事件記為. 設(shè)甲獨(dú)立解出此題的概率為，乙為. 則 9．某保險(xiǎn)公司新開設(shè)了一項(xiàng)保險(xiǎn)業(yè)務(wù)，若在一年內(nèi)事件發(fā)生，該公司要賠償元．設(shè)在一年內(nèi)發(fā)生的概率為，為使公司收益的期望值等于的百分之十，公司應(yīng)要求顧客交多少保險(xiǎn)金？ 解：設(shè)保險(xiǎn)公司要求顧客交元保險(xiǎn)金，若以 表示公司每年的收益額，則是一個隨機(jī)變量，其分布列為： 因此，公司每年收益的期望值為． 為使公司收益的期望值等于的百分之十，只需，即， 故可得． 即顧客交的保險(xiǎn)金為 時(shí)，可使公司期望獲益． 10．有一批食品出廠前要進(jìn)行五項(xiàng)指標(biāo)檢驗(yàn)，如果有兩項(xiàng)指標(biāo)不合格，則這批食品不能出廠．已知每項(xiàng)指標(biāo)抽檢是相互獨(dú)立的，且每項(xiàng)抽檢出現(xiàn)不合格的概率都是． （1）求這批產(chǎn)品不能出廠的概率(保留三位有效數(shù)字)； (2)求直至五項(xiàng)指標(biāo)全部驗(yàn)完畢，才能確定該批食品是否出廠的概率(保留三位有效數(shù)字)． 解：(1)這批食品不能出廠的概率是： ． (2)五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，這批食品可以出廠的概率是： 　　　　 五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，這批食品不能出廠的概率是： 　　　　 　　由互斥事件有一個發(fā)生的概率加法可知，五項(xiàng)指標(biāo)全部檢驗(yàn)完畢，才能確定這批產(chǎn)品是否出廠的概率是：． 11．高三（1）班、高三（2）班每班已選出3名學(xué)生組成代表隊(duì)，進(jìn)行乒乓球?qū)官? 比賽規(guī)則是：①按“單打、雙打、單打”順序進(jìn)行三盤比賽； ②代表隊(duì)中每名隊(duì)員至少參加一盤比賽，不得參加兩盤單打比賽. 已知每盤比賽雙方勝出的概率均為 （Ⅰ）根據(jù)比賽規(guī)則，高三（1）班代表隊(duì)共可排出多少種不同的出場陣容？ （Ⅱ）高三（1）班代表隊(duì)連勝兩盤的概率是多少？ 解：（I）參加單打的隊(duì)員有種方法. 參加雙打的隊(duì)員有種方法. 所以，高三（1）班出場陣容共有（種） （II）高三（1）班代表隊(duì)連勝兩盤，可分為第一盤、第二盤勝或第一盤負(fù)，其余兩盤勝， 所以，連勝兩盤的概率為 12．袋中有大小相同的個白球和個黑球，從中任意摸出個，求下列事件發(fā)生的概率. (1)摸出個或個白球 (2)至少摸出一個黑球. 解： （Ⅰ）設(shè)摸出的個球中有個白球、個白球分別為事件，則 ∵為兩個互斥事件 ∴ 即摸出的個球中有個或個白球的概率為 （Ⅱ）設(shè)摸出的個球中全是白球?yàn)槭录?，則 至少摸出一個黑球?yàn)槭录膶α⑹录? 其概率為 練習(xí)： 1． 拋擲顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和記為，那么表示的隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果為____________。 2． 設(shè)某項(xiàng)試驗(yàn)的成功概率是失敗概率的倍，用隨機(jī)變量描述次試驗(yàn)的成功次數(shù)， 則_______________。 3．若的分布列為： x 0 1 P p q 其中，則____________________，____________________，