高中數(shù)學(xué) 階段質(zhì)量檢測(cè)（二）新人教A版選修2-1

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階段質(zhì)量檢測(cè)（二） (A卷　學(xué)業(yè)水平達(dá)標(biāo)) (時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分) 一、選擇題(本題共10小題，每小題6分，共60分) 1．拋物線y＝4x2的準(zhǔn)線方程是(　　) A．x＝1　　　　　　　　 B．x＝－1 C．y＝ D．y＝－ 解析：選D　由拋物線方程x2＝y(tǒng)，可知拋物線的準(zhǔn)線方程是y＝－. 2．(新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅰ)已知雙曲線－＝1(a＞0)的離心率為2，則a＝(　　) A．2 B. C. D．1 解析：選D　因?yàn)殡p曲線的方程為－＝1，所以e2＝1＋＝4，因此a2＝1，a＝1. 3．θ是任意實(shí)數(shù)，則方程x2＋y2sin θ＝4的曲線不可能是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．圓 解析：選C　由于θ∈R，對(duì)sin θ的值舉例代入判斷： sin θ可以等于1，這時(shí)曲線表示圓；sin θ可以小于0，這時(shí)曲線表示雙曲線；sin θ可以大于0且小于1，這時(shí)曲線表示橢圓． 4．設(shè)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的虛軸長(zhǎng)為2，焦距為2，則雙曲線的漸近線方程為(　　) A．y＝x　　　　 B．y＝2x C．y＝x D．y＝x 解析：選C　由已知得到b＝1，c＝，a＝＝， 因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上， 故漸近線方程為y＝x＝x. 5．設(shè)圓錐曲線C的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，若曲線C上存在點(diǎn)P滿(mǎn)足|PF1|∶|F1F2|∶|PF2|＝4∶3∶2，則曲線C的離心率等于(　　) A.或 B.或2 C.或2 D.或 解析：選A　設(shè)|PF1|＝4k，|F1F2|＝3k，|PF2|＝2k.若曲線C為橢圓，則2a＝6k,2c＝3k，∴e＝；若曲線C為雙曲線，則2a＝2k,2c＝3k，∴e＝. 6．若點(diǎn)P到直線x＝－1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為(　　) A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析：選D　由題意得點(diǎn)P到直線x＝－2的距離與它到點(diǎn)(2,0)的距離相等，因此點(diǎn)P的軌跡是拋物線． 7．(山東高考)已知橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為.雙曲線x2－y2＝1的漸近線與橢圓C有四個(gè)交點(diǎn)，以這四個(gè)交點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形的面積為16，則橢圓C的方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：選D　因?yàn)闄E圓的離心率為，所以e＝＝，c2＝a2＝a2－b2，所以b2＝a2，即a2＝4b2.雙曲線的漸近線方程為y＝x，代入橢圓方程得＋＝1，即＋＝＝1，所以x2＝b2，x＝b，y2＝b2，y＝ b，則在第一象限雙曲線的漸近線與橢圓C的交點(diǎn)坐標(biāo)為，所以四邊形的面積為4 b b＝b2＝16，所以b2＝5，所以橢圓方程為＋＝1. 8．已知||＝3，點(diǎn)A，B分別在y軸和x軸上運(yùn)動(dòng)，O為原點(diǎn)，＝＋，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A.＋y2＝1 B．x2＋＝1 C.＋y2＝1 D．x2＋＝1 解析：選A　設(shè)P(x，y)，A(0，y0)，B(x0,0)，由已知得(x，y)＝(0，y0)＋(x0,0)，即x＝x0，y＝y(tǒng)0，所以x0＝x，y0＝3y.因?yàn)閨|＝3，所以x＋y＝9，即2＋(3y)2＝9，化簡(jiǎn)整理得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是＋y2＝1. 9．探照燈反射鏡的軸截面是拋物線的一部分，光源位于拋物線的焦點(diǎn)處，已知燈口的直徑為60 cm，燈深40 cm，則拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程可能是(　　) A．y2＝x B．y2＝x C．x2＝－y D．x2＝－y 解析：選C　如果設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)，則拋物線過(guò)點(diǎn)(40,30)，從而有302＝2p40，即2p＝， 所以所求拋物線方程為y2＝x. 雖然選項(xiàng)中沒(méi)有y2＝x，但C中的2p＝，符合題意． 10．已知直線y＝k(x＋2)(k＞0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，若|FA|＝2|FB|，則k＝(　　) A. B. C. D. 解析：選D　將y＝k(x＋2)代入y2＝8x，得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0.設(shè)A(x1，y1), B(x2，y2)，則x1＋x2＝，x1x2＝4.拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線方程為x＝－2，由|FA|＝2|FB|及拋物線定義得x1＋2＝2(x2＋2)，即x1＝2＋2x2，代入x1x2＝4，整理得x＋x2－2＝0，解得x2＝1或x2＝－2(舍去)．所以x1＝4，＝5，解得k2＝.又因?yàn)閗＞0，所以k＝. 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分) 11．以雙曲線－＝1的焦點(diǎn)為頂點(diǎn)，頂點(diǎn)為焦點(diǎn)的橢圓方程為_(kāi)_______． 解析：雙曲線焦點(diǎn)(4,0)，頂點(diǎn)(2,0)，故橢圓的焦點(diǎn)為(2,0)，頂點(diǎn)(4,0)． 答案：＋＝1 12．設(shè)F1，F(xiàn)2為曲線C1：＋＝1的焦點(diǎn)，P是曲線C2：－y2＝1與C1的一個(gè)交點(diǎn)，則△PF1F2的面積為_(kāi)_______． 解析：由題意知|F1F2|＝2＝4， 設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)． 由得 則S△PF1F2＝|F1F2||y|＝4＝. 答案： 13．已知點(diǎn)A(1,0)，直線l：y＝2x－4.點(diǎn)R是直線l上的一點(diǎn)．若＝，則點(diǎn)P的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析：設(shè)P(x，y)，R(a,2a－4)，則＝(1－a,4－2a)，＝(x－1，y)． ∵＝， ∴消去a得y＝2x. 答案：y＝2x 14．已知二次曲線＋＝1，當(dāng)m∈[－2，－1]時(shí)，該曲線的離心率的取值范圍是________． 解析：∵m∈[－2，－1]， ∴曲線方程化為－＝1，曲線為雙曲線， ∴e＝.∵m∈[－2，－1]，∴≤e≤. 答案：， 三、解答題(本題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿(mǎn)分10分)已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，它的準(zhǔn)線過(guò)雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的一個(gè)焦點(diǎn)，并且這條準(zhǔn)線與雙曲線的兩焦點(diǎn)的連線垂直，拋物線與雙曲線交于點(diǎn)P，求拋物線的方程和雙曲線的方程． 解：依題意，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p＞0)， ∵點(diǎn)P在拋物線上， ∴6＝2p，∴p＝2， ∴所求拋物線的方程為y2＝4x. ∵雙曲線的左焦點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x＝－1上， ∴c＝1，即a2＋b2＝1. 又∵點(diǎn)P在雙曲線上， ∴－＝1， 解方程組 得或(舍去)． ∴所求雙曲線的方程為4x2－y2＝1. 16．(本小題滿(mǎn)分12分)已知拋物線方程為y2＝2x，在y軸上截距為2的直線l與拋物線交于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若OM⊥ON，求直線l的方程． 解：設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2， 由消去x得ky2－2y＋4＝0. ∵直線l與拋物線相交于M，N兩點(diǎn)， ∴ 解得k＜且k≠0. 設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，則y1y2＝， 從而x1x2＝＝. ∵OM⊥ON， ∴x1x2＋y1y2＝0， 即＋＝0，解得k＝－1符合題意， ∴直線l的方程為y＝－x＋2. 17．(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓C的焦點(diǎn)F1(－，0)和F2(，0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4，設(shè)直線y＝x＋2交橢圓C于A、B兩個(gè)不同的點(diǎn)． (1)求橢圓C的方程； (2)求弦AB的長(zhǎng)． 解：(1)∵橢圓C的焦點(diǎn)為F1(－，0)和F2(，0)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4， ∴設(shè)所求橢圓的方程為 ＋＝1(a>b>0)， 則依題意有a＝2，c＝， ∴b2＝a2－c2＝2. ∴橢圓C的方程為：＋＝1. (2)聯(lián)立 消去y得3x2＋8x＋4＝0， 設(shè)直線與橢圓相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)， 則由根與系數(shù)的關(guān)系有 x1＋x2＝－，x1x2＝， 所以由弦長(zhǎng)公式： |AB|＝ ＝ ＝. 18．(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓＋＝1及直線l：y＝x＋m， (1)當(dāng)直線l與該橢圓有公共點(diǎn)時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍； (2)求直線l被此橢圓截得的弦長(zhǎng)的最大值． 解：(1)由消去y，并整理得 9x2＋6mx＋2m2－18＝0.① 上面方程的判別式 Δ＝36m2－36(2m2－18)＝－36(m2－18)． ∵直線l與橢圓有公共點(diǎn)， ∴Δ≥0，據(jù)此可解得－3 ≤m≤3 . 故所求實(shí)數(shù)m的取值范圍為[－3 ，3 ]． (2)設(shè)直線l與橢圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)， 由①得：x1＋x2＝－，x1x2＝， 故|AB|＝ ＝ ＝ ， 當(dāng)m＝0時(shí)，直線l被橢圓截得的弦長(zhǎng)的最大值為. 19．(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)有一顆彗星繞地球沿一拋物線型軌道運(yùn)行，地球恰好位于該拋物線軌道的焦點(diǎn)處，當(dāng)此彗星離地球?yàn)閐(萬(wàn)千米)時(shí)，經(jīng)過(guò)地球和彗星的直線與拋物線的軸的夾角為60，求這顆彗星與地球的最短距離． 解：設(shè)彗星的軌道方程為y2＝2px(p>0)， 焦點(diǎn)為F(，0)，彗星位于點(diǎn)P(x0，y0)處，直線PF的方程為y＝， 解方程組 消去y得12x2－20px＋3p2＝0. 得x＝p或x＝， 故x0＝或x0＝. 由拋物線定義得|PF|＝x0＋＝2p或|PF|＝p. 由|PF|＝d，得p＝或p＝d， 由于拋物線的頂點(diǎn)是拋物線上距離焦點(diǎn)最近的點(diǎn)，而焦點(diǎn)到拋物線頂點(diǎn)的距離為，所以彗星與地球的最短距離為d萬(wàn)千米或d萬(wàn)千米(p點(diǎn)在F點(diǎn)的左邊與右邊時(shí)，所求距離取不同的值)． 20．(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓＋＝1(a＞b＞0)的離心率e＝，過(guò)點(diǎn)A(0，－b)和B(a,0)的直線與原點(diǎn)的距離為. (1)求橢圓的方程． (2)已知定點(diǎn)E(－1,0)，若直線y＝kx＋2(k≠0)與橢圓交于C，D兩點(diǎn)，問(wèn)：是否存在k的值，使以CD為直徑的圓過(guò)E點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)直線AB方程為：bx－ay－ab＝0. 依題意 解得 ∴橢圓方程為＋y2＝1. (2)假若存在這樣的k值，由得 (1＋3k2)x2＋12kx＋9＝0. ∴Δ＝(12k)2－36(1＋3k2)＞0.① 設(shè)C(x1，y1)，D(x2，y2)， 則② 而y1y2＝(kx1＋2)(kx2＋2) ＝k2x1x2＋2k(x1＋x2)＋4. 要使以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E(－1,0)，當(dāng)且僅當(dāng)CE⊥DE時(shí)，則＝－1， 即y1y2＋(x1＋1)(x2＋1)＝0. ∴(k2＋1)x1x2＋(2k＋1)(x1＋x2)＋5＝0.③ 將②式代入③整理解得k＝.經(jīng)驗(yàn)證k＝使①成立． 綜上可知，存在k＝，使以CD為直徑的圓過(guò)點(diǎn)E. (B卷　能力素養(yǎng)提升) (時(shí)間120分鐘，滿(mǎn)分150分) 一、選擇題(本題共10小題，每小題6分，共60分) 1．焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，實(shí)軸長(zhǎng)6，焦距長(zhǎng)10，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　) A.－＝1　 　　　 B.－＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：選D　由題意得a＝3，c＝5，則b2＝c2－a2＝16，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1. 2．已知過(guò)拋物線y2＝6x焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12，則此弦所在直線的傾斜角是(　　) A.或 B.或 C.或 D. 解析：選B　由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式|AB|＝得＝12， ∴sin θ＝， ∴θ＝或. 3．平面內(nèi)點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)滿(mǎn)足方程 ＝，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是(　　) A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線 解析：選C　方程＝的幾何意義為動(dòng)點(diǎn)P(x，y)到定點(diǎn)(1,1)的距離與到定直線x＋y＋2＝0的距離相等，由拋物線的定義知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是拋物線． 4．已知點(diǎn)O(0,0)，A(1，－2)，動(dòng)點(diǎn)P滿(mǎn)足|PA|＝3|PO|，則點(diǎn)P的軌跡方程是(　　) A．8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0 B．8x2＋8y2－2x－4y－5＝0 C．8x2＋8y2＋2x＋4y－5＝0 D．8x2＋8y2－2x＋4y－5＝0 解析：選A　設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則＝3，整理得8x2＋8y2＋2x－4y－5＝0. 5．已知m是兩個(gè)正數(shù)2,8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2＋＝1的離心率是(　　) A.或 B. C. D.或 解析：選D　由題意知m2＝16，m＝4，當(dāng)m＝4時(shí)，x2＋＝1表示橢圓，其離心率為e＝＝＝＝；當(dāng)m＝－4時(shí)，x2－＝1表示雙曲線，其離心率為e＝＝＝＝. 6．方程mx＋ny2＝0與mx2＋ny2＝1(mn≠0)在同一坐標(biāo)系中的大致圖象可能是(　　) 　A　　　　　B　　　　　C　　　　　D 解析：選A　把兩個(gè)方程都化為標(biāo)準(zhǔn)形式得y2＝－x，＋＝1，由選項(xiàng)C、D知方程mx2＋ny2＝1表示橢圓，則m>0，n>0，則y2＝－x是焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向左的拋物線，故排除C和D；由選項(xiàng)A和B知，方程mx2＋ny2＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則n>0，m<0，則y2＝－x是焦點(diǎn)在x軸上，開(kāi)口向右的拋物線，排除B，選A. 7．若P是以F1，F(xiàn)2為焦點(diǎn)的橢圓＋＝1(a＞b＞0)上的一點(diǎn)，且＝0，tan∠PF1F2＝，則此橢圓的離心率為(　　) A. B. C. D. 解析：選A　在Rt△PF1F2中，設(shè)|PF2|＝1， 則|PF1|＝2，|F1F2|＝，∴e＝＝. 8．若雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的實(shí)軸長(zhǎng)是焦距的，則該雙曲線的漸近線方程是(　　) A．y＝x B．y＝x C．y＝x D．y＝2x 解析：選C　由題可知2a＝2c＝c，則4a2＝c2＝a2＋b2， 解得＝3，所以＝， 故該雙曲線的漸近線方程是y＝x，選C. 9．從拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為M，且|PM|＝5，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則△MPF的面積為(　　) A．5　　　　　　　　　 B．10 C．20 D. 解析：選B　由拋物線方程y2＝4x易得拋物線的準(zhǔn)線l的方程為x＝－1. 又由|PM|＝5可得點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為4，代入y2＝4x，可求得其縱坐標(biāo)為4，故S△MPF＝54＝10，選B. 10．已知P(x，y)為橢圓C：＋＝1上一點(diǎn)，F(xiàn)為橢圓C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)M滿(mǎn)足||＝1且＝0，則||的最小值為(　　) A. B．3 C. D．1 解析：選A　因?yàn)閨 |＝1且＝0，所以點(diǎn)M在以F(3，0)為圓心，1為半徑的圓上，PM為圓的切線，所以當(dāng)PF最小時(shí)，切線長(zhǎng)PM最小，由圖知，當(dāng)點(diǎn)P為右頂點(diǎn)(5,0)時(shí)，|PF|最小，最小值為5－3＝2，此時(shí)|PM|＝＝. 二、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分) 11．雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的兩條漸近線互相垂直，則雙曲線的離心率為_(kāi)_______． 解析：雙曲線兩漸近線垂直即為等軸雙曲線，∴e＝. 答案： 12．過(guò)拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)作直線交拋物線于P(x1，y1)、Q(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝3p，則|PQ|＝________. 解析：由拋物線定義知|PQ|＝x1＋x2＋p＝4p. 答案：4p 13．已知橢圓C：＋＝1，點(diǎn)M與C的焦點(diǎn)不重合．若M關(guān)于C的焦點(diǎn)的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)分別為A，B，線段MN的中點(diǎn)在C上，則|AN|＋|BN|＝________. 解析：設(shè)MN交橢圓于點(diǎn)P，連接F1P和F2P(其中F1、F2是橢圓C的左、右焦點(diǎn))，利用中位線定理可得|AN|＋|BN|＝2|F1P|＋2|F2P|＝22a＝4a＝12. 答案：12 14．方程為＋＝1(a＞b＞0)的橢圓的左頂點(diǎn)為A，左、右焦點(diǎn)分別為F1、F2，D是它短軸上的一個(gè)端點(diǎn)，若3＝＋2，則該橢圓的離心率為_(kāi)_______． 解析：設(shè)點(diǎn)D(0，b)，則＝(－c，－b)，＝(－a，－b)，＝(c，－b)，由3＝＋2 得－3c＝－a＋2c，即a＝5c，故e＝. 答案： 三、解答題(本題共6小題，共70分，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟) 15．(本小題滿(mǎn)分10分)已知雙曲線與橢圓＋＝1共焦點(diǎn)，且以y＝x為漸近線． (1)求雙曲線方程． (2)求過(guò)雙曲線右焦點(diǎn)且傾斜角為的直線方程． 解：(1)橢圓的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(5,0)， 設(shè)雙曲線方程為－＝1(a>0，b>0)， 則漸近線方程為＝0，即y＝x， 所以 解得 則雙曲線方程為－＝1. (2)∵直線的傾斜角為， ∴直線的斜率為， 故直線方程為y＝(x－5)， 即x－y－5＝0. 16．(本小題滿(mǎn)分12分)已知橢圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列且它們有一個(gè)公共的焦點(diǎn)(4,0)，其中雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，求三條曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程． 解：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)在x軸上， 故其方程可設(shè)為－＝1(a>0，b>0)， 又因?yàn)樗囊粭l漸近線方程為y＝x， 所以＝，即 ＝＝＝. 解得e＝2，因?yàn)閏＝4， 所以a＝2，b＝a＝2， 所以雙曲線方程為－＝1. 因?yàn)闄E圓、拋物線、雙曲線的離心率構(gòu)成一個(gè)等比數(shù)列，所以這個(gè)等比數(shù)列的中間項(xiàng)一定是拋物線的離心率1， 由等比數(shù)列性質(zhì)可得橢圓和雙曲線的離心率互為倒數(shù)， 因此，橢圓的離心率為， 設(shè)橢圓方程為＋＝1(a1>b1>0)， 則c＝4，a1＝8，b＝82－42＝48. 所以橢圓的方程為＋＝1. 易知拋物線的方程為y2＝16x. 17．(本小題滿(mǎn)分12分)頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸的正半軸的拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為2. (1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)若直線l：y＝2x＋1與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，求AB的長(zhǎng)度． 解：(1)由題意可知p＝2，∴拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝4y. (2)直線l：y＝2x＋1過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F(0,1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝y(tǒng)1＋y2＋2，聯(lián)立得x2－8x－4＝0， ∴x1＋x2＝8， ∴|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋2＝2x1＋1＋2x2＋1＋2＝2(x1＋x2)＋4＝20. 18．(本小題滿(mǎn)分12分)已知F1，F(xiàn)2是橢圓＋＝1(a＞b＞0)的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在橢圓上，且F1F2―→＝0，⊙O是以F1F2為直徑的圓，直線l：y＝kx＋m與⊙O相切，并且與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B. (1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)當(dāng)＝時(shí)，求k的值． 解：(1)依題意，可知PF1⊥F1F2， ∴c＝1，＋＝1，a2＝b2＋c2， 解得a2＝2，b2＝1，c2＝1， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋y2＝1. (2)直線l：y＝kx＋m與⊙O：x2＋y2＝1相切， 則＝1，即m2＝k2＋1. 由 得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0. ∵直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， ∴Δ＞0?k2＞0?k≠0， x1＋x2＝－，x1x2＝， y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝＝， ∴＝x1x2＋y1y2＝＝，∴k＝1. 19．(本小題滿(mǎn)分12分)設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓＋y2＝1的左、右焦點(diǎn)． (1)若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點(diǎn)，且＝－，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (2)設(shè)過(guò)定點(diǎn)M(0,2)的直線l與橢圓交于不同的兩點(diǎn)A，B，且∠AOB為銳角(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，求直線l的斜率k的取值范圍． 解：(1)設(shè)P(x，y)， 則 解得故P. (2)由題意知直線l的斜率存在，所以可設(shè)直線l的方程為y＝kx＋2，將其代入橢圓方程， 得(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＞0?k2＞. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－， x1x2＝. 由∠AOB為銳角可得，＞0?x1x2＋y1y2＞0?(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4＞0， 即(1＋k2)－2k＋4＞0，解得k2＜4，綜上，k的取值范圍為∪. 20．(本小題滿(mǎn)分12分)已知F1、F2為橢圓E的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P為其上一點(diǎn)，且有|PF1|＋|PF2|＝4. (1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程； (2)過(guò)F1的直線l1與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，過(guò)F2與l1平行的直線l2與橢圓E交于C、D兩點(diǎn)，求四邊形ABCD的面積S四邊形ABCD的最大值． 解：(1)設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)， 由已知|PF1|＋|PF2|＝4得2a＝4，∴a＝2， 又點(diǎn)P在橢圓上，∴＋＝1，∴b＝. 橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. (2)由題意可知，四邊形ABCD為平行四邊形， ∴S四邊形ABCD＝4S△OAB， 設(shè)直線AB的方程為x＝my－1，且A(x1，y1)、B(x2，y2)， 由得(3m2＋4)y2－6my－9＝0， ∴y1＋y2＝，y1y2＝－， S△OAB＝S△OF1A＋S△OF1B ＝|OF1||y1－y2|＝|y1－y2| ＝ ＝6 ， 令m2＋1＝t， 則t≥1，S△OAB＝6 ＝6 ， 又∵g(t)＝9t＋在[1，＋∞)上單調(diào)遞增， ∴g(t)≥g(1)＝10， ∴S△OAB的最大值為， 所以S四邊形ABCD的最大值為6.