高二數(shù)學(xué)寒假作業(yè) 第8天 空間向量（二）理

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第8天 空間向量（2） 【課標(biāo)導(dǎo)航】應(yīng)用空間向量解決立體幾何中的問(wèn)題 一、選擇題 1. 設(shè)分別是直線的方向向量，分別是平面的法向量，有下列四個(gè)命題 ①若,，則∥； ②若,，則⊥； ③若,，則⊥； ④若,，則∥ 其中真命題的個(gè)數(shù)是 ( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 2. 已知平面的一個(gè)法向量,直線的一個(gè)方向向量,則與所成角的余弦值為 ( ) A. B. C. D. 3. 若二面角的兩個(gè)面的法向量分別為和,則這個(gè)二面角的余弦值為 ( ) A. B. C. D. 以上都不對(duì) 4. 已知平面的一個(gè)法向量,點(diǎn)在內(nèi),則到的距離為( ) A. 10 B. C. D. 3 5. 正三棱柱的各棱長(zhǎng)都為2, 分別為的中點(diǎn),則的長(zhǎng)為 ( ) A. 2 B. C. D. 6. 正四面體ABCD中，點(diǎn)E為BC中點(diǎn)，點(diǎn)F為AD中點(diǎn)，則異面直線AE與CF所成角的余弦值(　 　) A. B. C. D. 7. 已知正四面體中, 則直線與所成角的余弦值為 ( ) A. B. C. D. 8． 在直三棱柱中，，. 已知Ｇ與Ｅ分別為 和的中點(diǎn)，Ｄ與Ｆ分別為線段和上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn)）. 若，則線段的長(zhǎng)度的取值范圍為 （ ） A. B. C. D. 二、填空題 9．已知正四面體的棱長(zhǎng)為1，為底面的中心，則＝________ 10. 已知向量和直線垂直,點(diǎn)在直線上,則點(diǎn)到直線的距離為 . 11.四面體中,兩兩互相垂直,,為中點(diǎn),,則四面體的體積為 . 12.是半徑為的球面上的四個(gè)不同點(diǎn)，且滿足，，，用分別表示△、△、△的面積，則的最大值是 . 三、解答題 13. 如圖，正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝4，點(diǎn)E在C1C上，且C1E＝3EC. (Ⅰ)證明A1C⊥平面BED； (Ⅱ)求二面角A1－DE－B的余弦值． 14．直三棱柱ABC—A1B1C1，底面△ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90，棱AA1=2，M、N分別是A1B1， 　　A1A的中點(diǎn)； （Ⅰ）求 （Ⅱ）求 （Ⅲ） 15．如圖，在底面為正方形的四棱錐P－ABCD中，側(cè)棱PD⊥底面ABCD，PD＝DC，點(diǎn)E是線段PC的中點(diǎn)．[ （Ⅰ）求異面直線AP與BE所成角的大?。? （Ⅱ）若點(diǎn)F在線段PB上，使得二面角F－DE－B的正弦值為，求的值． A B C D F P E （第22題） 16．如圖，在等腰梯形中，，，，四邊形為矩形，平面平面，. （Ⅰ）求證：平面； （Ⅱ）點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，設(shè)平面與平面二面角的平面角為，試求的取值范圍. 【鏈接聯(lián)賽】（2010一試7）正三棱柱的9條棱長(zhǎng)都相等，是的中點(diǎn)，二面角,則  第8天 空間向量（2） 1—8;CD DB， CCCA 9. ; 10. 11. 12.8 13.（Ⅰ）略 （Ⅱ）設(shè)向量n＝(x，y，z)是平面DA1E的法向量，則n⊥，n⊥. ∴2y＋z＝0,2x＋4z＝0.令y＝1，則z＝－2，x＝4， ∴n＝(4,1，－2)．∴cos〈n，〉＝＝. ∵〈n，〉等于二面角A1－DE－B的平面角，∴二面角A1－DE－B的余弦值為. 14. 解.如圖，建立空間直角坐標(biāo)系O—xyz.（1）依題意得B（0，1，0）、N（1，0，1） ∴| |=. （2）依題意得A1（1，0，2）、B（0，1，0）、C（0，0，0）、B1（0，1，2） ∴={－1，－1，2}，={0， 1，2，}，=3，||=，||=∴cos<，>=. （3） 依題意，得C1（0，0，2）、M（，2），={－1，1，2}，={，0}. ∴=－+0=0，∴⊥，∴A1B⊥C1M. 15.（1）；（2）． 16.（Ⅰ）略 （Ⅱ） 令，則， ∴. 設(shè)為平面的一個(gè)法向量， 由，得，取，則， ∵是平面的一個(gè)法向量， ∴. ∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值， 當(dāng)時(shí)，有最大值，∴. 【鏈接聯(lián)賽】解法一：如圖，以所在直線為軸，線段中點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，則，從而，. 設(shè)分別與平面、平面垂直的向量是、，則 由此可設(shè) ，所以，即 .所以