高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線章末分層突破學(xué)案 北師大版選修4-1
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【課堂新坐標】2016-2017學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第2章 圓錐曲線章末分層突破學(xué)案 北師大版選修4-1 [自我校對] ①相切 ②相交 ③拋物能 ④雙曲線 球的截面 平面截球所得的交線是圓,連接球心O與截面圓的圓心O′所得直線與截面垂直,設(shè)球的半徑為R,圓的半徑為r,則有r2+OO′2=R2. 已知過球面上A,B,C三點的截面和球心的距離等于球半徑的一半,且AB=BC=CA=2,求球面面積. 【精彩點撥】 設(shè)過A,B,C三點截面圓的圓心為OO′,則OO′⊥平面ABC,且OO′=R,由△ABC為等邊三角形,易知O′為△ABC的中心,在O′A=AB=.在Rt△OO′A中,由勾股定理得出R,從而求出球面面積. 【規(guī)范解答】 如圖,過A,B,C三點截面圓的圓心為O′,連接AO′,OO′,AO,則OO′⊥平面ABC, ∴OO′⊥AO′.在△ABC中,∵AB=BC=CA=2, ∴△ABC為邊長是2的正三角形, ∴AO′=AB=. 設(shè)球的半徑為R,則AO=R,OO′=R. 在Rt△AO′O中,由勾股定理得 AO2=AO′2+OO′2, 即R2=2+2,∴R=, 從而球面的面積為S=4πR2=4π2=π. [再練一題] 1.(全國卷Ⅱ)已知A,B是球O的球面上兩點,∠AOB=90,C為該球面上的動點.若三棱錐OABC體積的最大值為36,則球O的表面積為( ) 【導(dǎo)學(xué)號:96990053】 A.36π B.64π C.144π D.256π 【解析】 如圖,設(shè)球的半徑為R,∵∠AOB=90,∴S△AOB=R2. ∵VOABC=VCAOB,而△AOB面積為定值, ∴當(dāng)點C到平面AOB的距離最大時,VOABC最大, ∴當(dāng)C為與球的大圓面AOB垂直的直徑的端點時,體積VOABC最大為R2R=36, ∴R=6,∴球O的表面積為4πR2=4π62=144π.故選C. 【答案】 C 圓柱、圓錐的截面 平面與圓柱面或圓錐面的交線問題,常常考慮作出恰當(dāng)?shù)妮S截面,建立有關(guān)量的關(guān)系. 設(shè)圓錐的底面半徑為2,高為3,求: (1)內(nèi)接正方體的棱長; (2)內(nèi)切球的表面積. 【精彩點撥】 作出圓錐的軸截面,利用平面幾何的知識求解. 【規(guī)范解答】 (1)過正方體的一頂點作圓錐的一個軸截面,如圖所示.設(shè)正方體的棱長為a, 則O′C′=a,O′O=a. 由△VO′C′∽△VOF, ∴VO′∶VO=O′C′∶OF, 即(3-a)∶3=a∶2,∴a=18-24. (2)作圓錐的一個軸截面,如圖,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則VB==. ∵BO為∠ABV的平分線, ∴VO∶OD=VB∶BD, 即(3-R)∶R=∶2, 解得R=(-2), ∴S球=4πR2=4π(-2)2 =(17-4)π. [再練一題] 2.如圖21,一個圓柱被一個平面所截,截面橢圓的長軸長為5,短軸長為4,被截后的幾何體的最短母線長為2,則這個幾何體的體積為( ) 圖21 A.20π B.16π C.14π D.8π 【解析】 由已知圓柱底面半徑r=2. 即直徑為4.設(shè)截面與圓柱母線成α角, 則sin α=,∴cos α=. ∴幾何體的最長母線長為2+2cos α=2+5=5.用一個同樣的幾何體補在上面,可得一個底半徑r=2,高為7的圓柱,其體積為V=π227=28π.∴所求幾何體的體積為V=14π. 【答案】 C 圓錐曲線的幾何性質(zhì) 圓錐曲線的統(tǒng)一定義和幾何性質(zhì)是研究圓錐曲線的重要方法和途徑. 如圖22,設(shè)動點P到點A(-1,0)和B(1,0)的距離分別為d1和d2,∠APB=2θ,且存在常數(shù)λ(0<λ<1),使得d1d2sin2θ=λ.證明:動點P的軌跡C為雙曲線. 圖22 【精彩點撥】 在△PAB中由余弦定理可得|d1-d2|=2 ∵0<λ<1,|c|-λ<1,0<<1,∴|d1-d2|<2=|AB|,由雙曲線的定義知動點P的軌跡是A,B為焦點的雙曲線. 【規(guī)范解答】 在△PAB中,|AB|=2, 則22=d+d-2d1d2cos 2θ, 4=(d1-d2)2+4d1d2sin2θ, 即|d1-d2|= =2<2(常數(shù)), ∴點P的軌跡C是以A,B為焦點,實軸長為2a=2的雙曲線. [再練一題] 3.已知橢圓兩準線間的距離為8,離心率為,則Dandelin球的半徑是__________. 【解析】 由題意知:,解得. ∴b==,∴Dandelin球的半徑為. 【答案】 轉(zhuǎn)化與化歸的思想 在研究平面與圓柱面或圓錐面的截線性質(zhì)時,往往借助Dandelin雙球——內(nèi)切于圓柱面的球.此時,幾何體的結(jié)構(gòu)較為復(fù)雜.因此在處理這類問題時,可作圓柱面或圓錐面的軸截面(過軸的截面),將立體幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題來解決.即立體問題平面化. 在底面半徑為6的圓柱內(nèi)有兩個半徑也為6的球,兩球的球心距離為13,若作一個平面這兩個球都相切,且與圓柱面相交成一橢圓.求此橢圓的長軸長. 【精彩點撥】 作出圓柱面的軸截面,借助Dandelin雙球的性質(zhì),轉(zhuǎn)化為平面幾何知識求解. 【規(guī)范解答】 如圖為圓柱面的軸截面圖. AB為與兩球O1和O2相切的平面與軸截面的交線,由對稱性知AB過圓柱的幾何中心O. ∵OO1⊥OD,O1C⊥OA, ∴∠OO1C=∠AOD, 且O1C=OD=6, ∴Rt△OO1C≌Rt△AOD,∴OA=OO1, ∴AB=2AO=2OO1=O1O2=13. ∵AB即為橢圓的長軸, ∴橢圓的長軸長為13. [再練一題] 4.如圖23所示,圓柱的軸截面是邊長為5 cm的正方形ABCD,則圓柱側(cè)面上從A到C的最短距離為( ) 圖23 A.10 cm B. cm C.5 cm D.5 cm 【解析】 如圖是圓柱的側(cè)面展開圖,則AC長為圓柱面上從A到C的最短距離. 設(shè)圓柱的底面半徑為r, 則r=. ∴底面圓周長l=2πr=5π, ∴AB=π.AD=BC=5, ∴AC= = =(cm). 【答案】 B 1.(全國卷Ⅱ)已知A,B為雙曲線E的左,右頂點,點M在E上,△ABM為等腰三角形,且頂角為120,則E的離心率為( ) A. B.2 C. D. 【解析】 不妨取點M在第一象限,如圖所示,設(shè)雙曲線方程為-=1(a>0,b>0),則|BM|=|AB|=2a,∠MBx=180-120=60, ∴M點的坐標為. ∵M點在雙曲線上,∴-=1,a=b, ∴c=a,e==.故選D. 【答案】 D 2.(全國卷Ⅰ)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點和一個焦點,若橢圓中心到l的距離為其短軸長的,則該橢圓的離心率為( ) 【導(dǎo)學(xué)號:96990054】 A. B. C. D. 【解析】 不妨設(shè)直線l經(jīng)過橢圓的一個頂點B(0,b)和一個焦點F(c,0),則直線l的方程為+=1,即bx+cy-bc=0.由題意知=2b,解得=,即e=.故選B. 【答案】 B 3.(浙江高考)設(shè)雙曲線x2-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2.若點P在雙曲線上,且△F1PF2為銳角三角形,則|PF1|+|PF2|的取值范圍是________. 【解析】 ∵雙曲線x2-=1的左、右焦點分別為F1,F(xiàn)2,點P在雙曲線上,∴|F1F2|=4,||PF1|-|PF2||=2.若△F1PF2為銳角三角形,則由余弦定理知|PF1|2+|PF2|2-16>0,可化為(|PF1|+|PF2|)2-2|PF1||PF2|>16①.由||PF1|-|PF2||=2,得(|PF1|+|PF2|)2-4|PF1||PF2|=4.故2|PF1||PF2|=,代入不等式①可得(|PF1|+|PF2|)2>28,解得|PF1|+|PF2|>2.不妨設(shè)P在左支上,∵|PF1|2+16-|PF2|2>0,即(|PF1|+|PF2|)(|PF1|-|PF2|)>-16,又|PF1|-|PF2|=-2,∴|PF1|+|PF2|<8.故2<|PF1|+|PF2|<8. 【答案】 (2,8) 4.(江蘇高考)現(xiàn)有橡皮泥制作的底面半徑為5、高為4的圓錐和底面半徑為2,高為8的圓柱各一個,若將它們重新制作成總體積與高均保持不變,但底面半徑相同的新的圓錐和圓柱各一個,則新的底面半徑為______. 【解析】 設(shè)新的底面半徑為r,由題意得 π524+π228=πr24+πr28, ∴r2=7,∴r=. 【答案】- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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