高考數(shù)學(xué)試題分類匯編—函數(shù).doc

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歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 2012 年高考數(shù)學(xué)試題分類匯編——函數(shù) 若實數(shù) x、 y、 m滿足 xym??，則稱 x比 y接近 m. （1）若 2比 3 接近 0，求 的取值范圍； （2）對任意兩個不相等的正數(shù) a、 b，證明： 2ab?比 3接近 2ab； （3）已知函數(shù) ()fx的定義域 ??,DxkZxR???.任取 xD， ()f等于 1sinx?和1sin? 中接近 0 的那個值.寫出函數(shù) ()f的解析式，并指出它的奇偶性、最小正周期、最小值 和單調(diào)性（結(jié)論不要求證明）. 解析：(1) x?( ?2,2)； (2) 對任意兩個不相等的正數(shù) a、b，有 2ab??， 32aba??， 因為 2 3 2| | |()0ab?????， 所以 | |2|abab???，即 a2b?ab2 比 a3?b3 接近 ab； (3) 1sin,(,)() 1|sin|,xkfx xk?????????? ,k?Z， f(x)是偶函數(shù)，f(x )是周期函數(shù)，最小正周期 T??，函數(shù) f(x)的最小值為 0， 函數(shù) f(x)在區(qū)間 [,)2k??單調(diào)遞增，在區(qū)間 (,]2k?單調(diào)遞減，k? Z． （2010 湖南文數(shù)）21． （本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) ()(1)ln5,afxxa???其中 a<0,且 a≠-1. （Ⅰ）討論函數(shù) 的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè)函數(shù) 32(2646),1(),1(){xxaxaeefgx??????? （e 是自然數(shù)的底數(shù)） 。是否 存在 a，使 在[a,-a] 上為減函數(shù)？若存在，求 a 的取值范圍；若不存 在，請說明理由。 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 （2010 浙江理數(shù)） (22)(本題滿分 14 分)已知 a是給定的實常數(shù)，設(shè)函數(shù)22())(fxaxbe??? ， R?， 是 f的一個極大值點． (Ⅰ) 求 的取值范圍； (Ⅱ)設(shè) 123,x是 ()fx的 3 個極值點，問是否存在實數(shù) b，可找到 4xR?，使得1234, 的某種排列 1234,,ii(其中 ??1234,i= ,)依次成等差數(shù)列?若存在，求 所有的 b及相應(yīng)的 4x；若不存在，說明理由． 解析：本題主要考查函數(shù)極值的概念、導(dǎo)數(shù)運算法則、導(dǎo)數(shù)應(yīng)用及等差數(shù)列等基礎(chǔ)知識，同時考 查推理論證能力、分類討論等綜合解題能力和創(chuàng)新意識。 （Ⅰ）解：f’(x)=e x(x-a) 2(3)2,abxa??????? 令 2 2()(3),=-a+b4(1)80,gx?????則 于是，假設(shè) 12,()0.gxx?是 的 兩 個 實 根 ， 且 （1） 當(dāng) x1=a 或 x2=a 時，則 x=a 不是 f(x)的極值點，此時不合題意。 （2） 當(dāng) x1?a 且 x2 a 時，由于 x=a 是 f(x)的極大值點，故 x10 時，令 h (x)=0,解得 x= 24a, 所以當(dāng) 0 < x< 24a時 h (x) 2時， h (x)>0， h(x)在（0， 2）上遞增。 所以 x> 是 h(x)在（0， +∞ ）上的唯一極致點，且是極小值點，從而也是 h(x)的 最小值點。 所以 Φ （a）=h( 24)= 2a-aln 24a=2 Ⅱ當(dāng) a ≤ 0 時， h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞）遞增，無最小值。 故 h(x) 的最小值 Φ （a）的解析式為 2a(1-ln2a) (a>o) （3）由（2）知 Φ （a）=2a(1-ln2a) 則 Φ 1（ a ）=-2ln2a，令 Φ 1（ a ）=0 解得 a =1/2 當(dāng) 01/2 時， Φ 1（ a ）0，為單調(diào)遞增區(qū)間。 最大值在右端點取到。 max1()2f?。 （2010 安徽文數(shù)）20.（本小題滿分 12 分） 設(shè)函數(shù) ??sinco1fxx??， 0 x??，求函數(shù) ??fx的單調(diào)區(qū)間與極值。 【命題意圖】本題考查導(dǎo)數(shù)的運算，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值的方法，考查綜合應(yīng)用數(shù) 學(xué)知識解決問題的能力. 【解題指導(dǎo)】 （1）對函數(shù) ??sinco1fxx???求導(dǎo)，對導(dǎo)函數(shù)用輔助角公式變形，利用 導(dǎo)數(shù)等于 0 得極值點，通過列表的方法考查極值點的兩側(cè)導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，判斷區(qū)間的單調(diào)性，求極 值. 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 ,,, ()12().423()0()4) xxxx ???????解 ： 由 f=sin-co+1,0<知 fsin令 ， 從 面 i， 得 ， 或 ，當(dāng) 變 化 時 ， f， 變 化 情 況 如 下 表 ： 3233222?? ?因 此 ， 由 上 表 知 f(x)的 單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 （ 0， ） 與 （ ， ） ，單 調(diào) 遞 增 區(qū) 間 是 （ ， ） ， 極 小 值 為 f()=， 極 大 值 為 f()= 【思維總結(jié)】對于函數(shù)解答題，一般情況下都是利用導(dǎo)數(shù)來研究單調(diào)性或極值，利用導(dǎo)數(shù)為 0 得 可能的極值點，通過列表得每個區(qū)間導(dǎo)數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而得出極值點. （2010 重慶文數(shù)）(19) (本小題滿分 12 分), (Ⅰ)小問 5 分，(Ⅱ)小問 7 分.) 已知函數(shù) 32)fxabx??(其中常數(shù) a,b∈R), ()()gxfx???是奇函數(shù). (Ⅰ)求 (的表達(dá)式; (Ⅱ)討論 )gx的單調(diào)性，并求 ()gx在區(qū)間[1,2]上的最大值和最小值. 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 （2010 浙江文數(shù)） （21） （本題滿分 15 分）已知函數(shù) 2())fxa??（a-b） (,bRa?0. （Ⅰ）若 a=1，求曲線 y=f（x）在點（2，f（2） ）處的切線方程； （Ⅱ）若在區(qū)間 1,??????上，f（x）>0 恒成立，求 a 的取值范圍 . 【解析】本小題主要考查曲線的切線方程、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與極值、解不等式等基礎(chǔ) 知識，考查運算能力及分類討論的思想方法.滿分 12 分. 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 （Ⅰ）解：當(dāng) a=1 時，f（x）= 32x1??，f（2）=3；f’(x)= 23?, f’(2)=6.所 以曲線 y=f（x）在點（2，f（2） ）處的切線方程為 y-3=6（x-2） ，即 y=6x-9. （Ⅱ）解：f’(x)= 2()aa?.令 f’(x)=0，解得 x=0 或 x= 1a. 以下分兩種情況討論： （1） 若 10???， 則 ，當(dāng) x 變化時，f’(x)，f（x）的變化情況如下表： X 2???????， 0 12??????0， f’(x) + 0 - f(x) A極大值 A 當(dāng) 1xfx2????????， 時 ， （ ） >0等價于 5a10,(),820,.f????????????即 解不等式組得-50 等價于 1f(-)2>0,a???? 即 2 581-0.a?, 解不等式組得 52a?或 2?.因此 20,從而 -0,,Fxe??又 所 以 ’(x)>0,從而函數(shù) F（x）在[1,+∞) 是增函數(shù)。 又 F(1)= -1e0??， 所 以 >1時 ， 有 F(x)>F(1)=0,即 f(x)>g(x). Ⅲ)證明：（1） 若 2 1212(),),.x xx????12由 （ ） 及 f(xf則 與 矛 盾 。 （2）若 1()0)x??由 （ ） 及 (得 與 矛 盾 。 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 根據(jù)（1） （2）得 1212()0,,.xx???不 妨 設(shè) 由（Ⅱ）可知， f>g,則 )2(= )f-，所以 )2f(> )2-,從而 )1f(>)2f(-x .因為 2?，所以 2x，又由（Ⅰ）可知函數(shù) f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)事增函數(shù)， 所以 1> ?,即 1x?>2. （2010 福建文數(shù)）22． （本小題滿分 14 分） 已知函數(shù) f（x）= 32xab??的圖像在點 P（0,f(0)）處的切線方程為 y=3x-2 (Ⅰ)求實數(shù) a,b 的值； (Ⅱ)設(shè) g（x）=f(x)+ 1mx是[ ,?]上的增函數(shù)。 （i）求實數(shù) m 的最大值； (ii)當(dāng) m 取最大值時，是否存在點 Q，使得過點 Q 的直線若能與曲線 y=g(x)圍成兩個封閉圖 形，則這兩個封閉圖形的面積總相等?若存在，求出點 Q 的坐標(biāo)；若不存在，說明理由。 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 （2010 福建文數(shù)）21．(本小題滿分 12 分) 某港口 O要將一件重要物品用小艇送到一艘正在航行的輪船上，在小艇出發(fā)時，輪船位于港口 北偏西 30且與該港口相距 20 海里的 A處，并正以 30 海里/小時的航行速度沿正東方向勻 速行駛。假設(shè)該小艇沿直線方向以 ?海里/小時的航行速度勻速行駛，經(jīng)過 t小時與輪船相遇。 (Ⅰ)若希望相遇時小艇的航行距離最小，則小艇航行速度的大小應(yīng)為多少？ (Ⅱ)為保證小艇在 30 分鐘內(nèi)(含 30 分鐘)能與輪船相遇，試確定小艇航行速度的最小值； (Ⅲ)是否存在 ?，使得小艇以 海里/小時的航行速度行駛，總能有兩種不同的航行方向與輪船 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 相遇？若存在，試確定 ?的取值范圍；若不存在，請說明理由。 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 （2010 全國卷 1 理數(shù)）(20)(本小題滿分 12 分) 已知函數(shù) ()ln1fxx???. （Ⅰ）若 2a?，求 的取值范圍； （Ⅱ）證明： (1)0 xf? . （2010 四川文數(shù)） （22） （本小題滿分 14 分） 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 設(shè) 1 xaf()??? （ 0?且 1a?） ，g(x)是 f(x)的反函數(shù). （Ⅰ）求 g； （Ⅱ）當(dāng) [2,6]x?時，恒有 2()log(1)7atxx??成立，求 t 的取值范圍； （Ⅲ）當(dāng) 0＜a≤ 時，試比較 f(1)+f(2)+…+f(n)與 4n?的大小，并說明理由. 12 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 （2010 湖北文數(shù)）21.（本小題滿分 14 分） 設(shè)函數(shù) 321axbcf??（ ） =，其中 a＞0，曲線 xyf?（ ） 在點 P（0， f（ ） ）處的 切線方程為 y=1 （Ⅰ）確定 b、c 的值 （Ⅱ）設(shè)曲線 yf?（ ） 在點（ 1xf， （ ） ）及（ 2f， （ ） ）處的切線都過點（0,2）證明： 當(dāng) 12x?時， 12()()x? （Ⅲ）若過點（0,2）可作曲線 yf?（ ） 的三條不同切線，求 a 的取值范圍。 （2010 湖北文數(shù)）19.（本小題滿分 12 分） 已知某地今年年初擁有居民住房的總面積為 a（單位：m 2） ，其中有部分舊住房需要拆除。 當(dāng)?shù)赜嘘P(guān)部門決定每年以當(dāng)年年初住房面積的 10%建設(shè)新住房，同事也拆除面積為 b（單位： 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 m2）的舊住房。 （Ⅰ）分別寫出第一年末和第二年末的實際住房面積的表達(dá)式： （Ⅱ）如果第五年末該地的住房面積正好比今年年初的住房面積增加了 30%，則每年拆除 的舊住房面積 b 是多少？（計算時取 1.15=1.6） （2010 山東理數(shù)）(22)(本小題滿分 14 分) 已知函數(shù) 1()lnafxx???(R?. (Ⅰ)當(dāng) 12a?時，討論 ()f的單調(diào)性； （Ⅱ）設(shè) ()4.gxb當(dāng) a?時，若對任意 1(0,2)x，存在 ??21,x?，使12f? ，求實數(shù) 取值范圍. 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 （Ⅱ）當(dāng) 14a?時， f(x)在（0，1）上是減函數(shù)，在（1，2）上是增函數(shù)，所以對任意1(0,2)x? ， 有 f=-?，又已知存在 ??2,x?，使 12()fxg?，所以 21()gx??，??2,x ， 即存在 1,?，使 21()42gxb????，即 29bx??，即 92bx???17[,]4 ， 所以 2b?，解得 4b，即實數(shù) 取值范圍是 [,)?。 【命題意圖】本題將導(dǎo)數(shù)、二次函數(shù)、不等式知識有機的結(jié)合在一起，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù) 的單調(diào)性、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值以及二次函數(shù)的最值問題，考查了同學(xué)們分類討論的數(shù)學(xué)思想 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 以及解不等式的能力；考查了學(xué)生綜合運用所學(xué)知識分析問題、解決問題的能力。 （1 ）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單調(diào)性；（2 ）利用導(dǎo)數(shù)求出 ()f的最小值、利用 二次函數(shù)知識或分離常數(shù)法求出 ()gx在閉區(qū)間[1,2]上的最大值，然后解不等式求參數(shù)。 （2010 湖南理數(shù)）20.（本小題滿分 13 分） 已知函數(shù) 2()(,),fxbcR???對任意的 x，恒有 ()fx?f。 （Ⅰ）證明：當(dāng) 0?時， 2fxc??； （Ⅱ）若對滿足題設(shè)條件的任意 b，c，不等式 2()()fbMc??恒成立，求 M 的 最小值。 解析： （2010 湖北理數(shù)）17． （本小題滿分 12 分） 為了在夏季降溫和冬季供暖時減少能源損耗，房屋的屋頂和外墻需要建造隔熱層。某幢建筑 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 物要建造可使用 20 年的隔熱層，每厘米厚的隔熱層建造成本為 6 萬元。該建筑物每年的能源消 耗費用 C（單位：萬元）與隔熱層厚度 x（單位：cm ）滿足關(guān)系：C （x）=(01),35kx?? 若不建隔熱層，每年能源消耗費用為 8 萬元。設(shè) f（x）為隔熱層建造費用與 20 年的能源消耗費用之和。 （Ⅰ）求 k 的值及 f(x)的表達(dá)式。 （Ⅱ）隔熱層修建多厚時，總費用 f(x)達(dá)到最小，并求最小值。 （2010 福建理數(shù)）20． （本小題滿分 14 分） （Ⅰ）已知函數(shù) 3(x)=-f， 其 圖 象 記 為 曲 線 C。 （i）求函數(shù) 的單調(diào)區(qū)間； （ii）證明：若對于任意非零實數(shù) 1x，曲線 C 與其在點 1P(x,f)處的切線交于另一點22P(x,f) ，曲線 C 與其在點 22P(,f)處的切線交于另一點 33(,fx)，線段1123 12, ,S與 曲 線 所 圍 成 封 閉 圖 形 的 面 積 分 別 記 為 則 為 定 值 ； （Ⅱ）對于一般的三次函數(shù) 32g(x)=a+bcxd(a0),?請 給 出 類 似 于 （Ⅰ） （ii）的正確命 題，并予以證明。 【命題意圖】本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識，考查抽象概括能力、運算求解能 力、推理論證能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、特殊與一般思想。 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 【解析】 （Ⅰ） （i）由 3(x)=-f得 2(x)-1f= 3()x+， 當(dāng) 3x(-,)??和 ?（ ， ） 時， ()>0f； 當(dāng) (-,)時， (x)0，使得 )12???h，則稱函數(shù) f具 有性質(zhì) )(aP。 (1)設(shè)函數(shù) xf2ln(1)bx???，其中 b為實數(shù)。 (i)求證：函數(shù) )(具有性質(zhì) P； (ii)求函數(shù) )(xf的單調(diào)區(qū)間。 (2)已知函數(shù) xg具有性質(zhì) )2(。給定 1212,,,x????設(shè) m為實數(shù)，21)(m???? ， m???，且 ???， 若| )|0， 所以對任意的 ?都有 (0 x??， ()g在 ,)??上遞增。 又 1212,)xm????????。 當(dāng) ,m??時， ??，且 1212()(),()()xmxxm?????， 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 綜合以上討論，得：所求 m的取值范圍是（0，1） 。 （方法二）由題設(shè)知， ()gx的導(dǎo)函數(shù) 2()(1)gxhx???，其中函數(shù) ()0hx?對于任意的),1(???x 都成立。所以，當(dāng) ?時， )0?，從而 g在區(qū)間 ),1??上單 調(diào)遞增。 ①當(dāng) (0,)m時，有 1211()()mxxmx???????，12x????? ，得 2,??，同理可得 12(,)x??，所以由()g 的單調(diào)性知 ()g、 ?12(),gx， 從而有| |<| 21?|，符合題設(shè)。 ②當(dāng) 0m?時， 2()()xmxx???????，1211()???? ，于是由 1,???及 ()gx的單調(diào)性知()gxg? ，所以| )(g|≥| )2|，與題設(shè)不符。 ③當(dāng) m?時，同理可得 12,x????，進(jìn)而得| (?|≥| )(21x?|，與題設(shè)不符。 因此綜合①、②、③得所求的 m的取值范圍是（0，1） 。 歡迎光臨 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》 zxsx127@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》系列資料 WWW. Z X S X .COM 版權(quán)所有@ 《中學(xué)數(shù)學(xué)信息網(wǎng)》