高等數(shù)學同濟第六版上冊期末復習重點.doc

《高等數(shù)學同濟第六版上冊期末復習重點.doc》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學同濟第六版上冊期末復習重點.doc（10頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

第一章：1、極限（夾逼準則） 2、連續(xù)（學會用定義證明一個函數(shù)連續(xù)，判斷間斷點類型） 第二章：1、導數(shù)（學會用定義證明一個函數(shù)是否可導） 注：連續(xù)不一定可導，可導一定連續(xù) 2、求導法則（背） 3、求導公式 也可以是微分公式 第三章：1、微分中值定理（一定要熟悉并靈活運用--第一節(jié)） 2、洛必達法則 3、泰勒公式 拉格朗日中值定理 4、曲線凹凸性、極值（高中學過，不需要過多復習） 5、曲率公式 曲率半徑 第四章、第五章：積分 不定積分：1、兩類換元法 2、分部積分法 （注意加C ） 定積分： 1、定義 2、反常積分 第六章：定積分的應用 主要有幾類：極坐標、求做功、求面積、求體積、求弧長 第七章：向量問題不會有很難 1、方向余弦 2、向量積 3、空間直線（兩直線的夾角、線面夾角、求直線方程） 3、空間平面 4、空間旋轉(zhuǎn)面（柱面） 第一章函數(shù)與極限 　　1、函數(shù)的有界性在定義域內(nèi)有f(x)≥K1則函數(shù)f(x)在定義域上有下界，K1 為下界；如果有f(x)≤K2，則有上界，K2稱為上界。函數(shù)f(x)在定義域內(nèi)有界的充分必要條件是在定義域內(nèi)既有上界又有下界。 　　2、數(shù) 列的極限定理(極限的唯一性)數(shù)列{xn}不能同時收斂于兩個不同的極限。 　　定理(收斂數(shù)列的有界性)如果數(shù)列{xn}收斂，那么數(shù)列 {xn}一定有界。 　　如果數(shù)列{xn}無界，那么數(shù)列{xn}一定發(fā)散；但如果數(shù)列{xn}有界，卻不能斷定數(shù)列{xn}一定收斂，例如數(shù)列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…該數(shù)列有界但是發(fā)散，所以數(shù)列有界是數(shù)列收斂的必要條件而不是充分條件。 　　定理(收斂數(shù)列與其子數(shù)列的 關(guān)系)如果數(shù)列{xn}收斂于a，那么它的任一子數(shù)列也收斂于a.如果數(shù)列{xn}有兩個子數(shù)列收斂于不同的極限，那么數(shù)列{xn}是發(fā)散的，如數(shù)列 1，-1，1，-1，(-1)n+1…中子數(shù)列{x2k-1}收斂于1，{xnk}收斂于-1，{xn}卻是發(fā)散的；同時一個發(fā)散的數(shù)列的子數(shù)列也有可能 是收斂的。 　　3、函數(shù)的極限函數(shù)極限的定義中0<|x-x0|表示x≠x0，所以x→x0時f(x)有沒有極限與f(x)在點x0有沒 有定義無關(guān)。 　　定理(極限的局部保號性)如果lim(x→x0)時f(x)=A，而且A>0(或A<0)，就存在著點那么x0的 某一去心鄰域，當x在該鄰域內(nèi)時就有f(x)>0(或f(x)>0)，反之也成立。 　　函數(shù)f(x)當x→x0時極限存在的充分必 要條件是左極限右極限各自存在并且相等，即f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等則limf(x)不存在。 　　一般的說，如果 lim(x→∞)f(x)=c，則直線y=c是函數(shù)y=f(x)的圖形水平漸近線。如果lim(x→x0)f(x)=∞，則直線x=x0是函數(shù) y=f(x)圖形的鉛直漸近線。 　　4、極限運算法則定理有限個無窮小之和也是無窮??；有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小；常數(shù)與無窮小的乘積是 無窮小；有限個無窮小的乘積也是無窮?。欢ɡ砣绻鸉1(x)≥F2(x)，而limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么a≥b. 　　 5、極限存在準則兩個重要極限lim(x→0)(sinx/x)=1；lim(x→∞)(1+1/x)x=1.夾逼準則如果數(shù)列 {xn}、{yn}、{zn}滿足下列條件：yn≤xn≤zn且limyn=a，limzn=a，那么limxn=a，對于函數(shù)該準則也成立。 　 　單調(diào)有界數(shù)列必有極限。 　　6、函數(shù)的連續(xù)性設函數(shù)y=f(x)在點x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果函數(shù)f(x)當x→x0時的極限存在，且等 于它在點x0處的函數(shù)值f(x0)，即lim(x→x0)f(x)=f(x0)，那么就稱函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)。 　　不連續(xù)情形：1、在 點x=x0沒有定義；2、雖在x=x0有定義但lim(x→x0)f(x)不存在；3、雖在x=x0有定義且lim(x→x0)f(x)存在，但 lim(x→x0)f(x)≠f(x0)時則稱函數(shù)在x0處不連續(xù)或間斷。 　　如果x0是函數(shù)f(x)的間斷點，但左極限及右極限都存在，則稱 x0為函數(shù)f(x)的第一類間斷點(左右極限相等者稱可去間斷點，不相等者稱為跳躍間斷點)。非第一類間斷點的任何間斷點都稱為第二類間斷點(無窮間斷點 和震蕩間斷點)。 　　定理有限個在某點連續(xù)的函數(shù)的和、積、商(分母不為0)是個在該點連續(xù)的函數(shù)。 　　定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間 Ix上單調(diào)增加或減少且連續(xù)，那么它的反函數(shù)x=f(y)在對應的區(qū)間Iy={y|y=f(x)，x∈Ix}上單調(diào)增加或減少且連續(xù)。反三角函數(shù)在他們的 定義域內(nèi)都是連續(xù)的。 　　定理(最大值最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。如果函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)連續(xù)或函數(shù)在閉區(qū) 間上有間斷點，那么函數(shù)在該區(qū)間上就不一定有最大值和最小值。 　　定理(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界，即 m≤f(x)≤M.定理(零點定理)設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，且f(a)與f(b)異號(即f(a)f(b)<0)，那么在開區(qū) 間(a，b)內(nèi)至少有函數(shù)f(x)的一個零點，即至少有一點ξ(a<ξ函數(shù)在該點處連續(xù)；函數(shù)f(x)在點x0處連續(xù)≠>在該點可導。即函數(shù)在某點連續(xù)是函數(shù)在該點可導的必要條件而不是充分條件。 　 　3、原函數(shù)可導則反函數(shù)也可導，且反函數(shù)的導數(shù)是原函數(shù)導數(shù)的倒數(shù)。 　　4、函數(shù)f(x)在點x0處可微=>函數(shù)在該點處可導；函數(shù) f(x)在點x0處可微的充分必要條件是函數(shù)在該點處可導。 　　第三章中值定理與導數(shù)的應用 　 　1、定理(羅爾定理)如果函數(shù)f(x)在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)可導，且在區(qū)間端點的函數(shù)值相等，即f(a)=f(b)，那么在 開區(qū)間(a，b)內(nèi)至少有一點ξ(a<ξ0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)增加；(2)如 果在(a，b)內(nèi)f’(x)<0，那么函數(shù)f(x)在[a，b]上單調(diào)減少。 　　如果函數(shù)在定義區(qū)間上連續(xù)，除去有限個導數(shù)不存在的點外 導數(shù)存在且連續(xù)，那么只要用方程f’(x)=0的根及f’(x)不存在的點來劃分函數(shù)f(x)的定義區(qū)間，就能保證f’(x)在各個部分區(qū)間內(nèi)保持固定符 號，因而函數(shù)f(x)在每個部分區(qū)間上單調(diào)。 　　6、函數(shù)的極值如果函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)內(nèi)有定義，x0是(a，b)內(nèi)的一個點，如果 存在著點x0的一個去心鄰域，對于這去心鄰域內(nèi)的任何點x，f(x)f(x0)均成立，就稱f(x0)是函數(shù)f(x)的一個極小值。 　　在函數(shù) 取得極值處，曲線上的切線是水平的，但曲線上有水平曲線的地方，函數(shù)不一定取得極值，即可導函數(shù)的極值點必定是它的駐點(導數(shù)為0的點)，但函數(shù)的駐點卻 不一定是極值點。 　　定理(函數(shù)取得極值的必要條件)設函數(shù)f(x)在x0處可導，且在x0處取得極值，那么函數(shù)在x0的導數(shù)為零，即f’ (x0)=0.定理(函數(shù)取得極值的第一種充分條件)設函數(shù)f(x)在x0一個鄰域內(nèi)可導，且f’(x0)=0，那么：(1)如果當x取x0左側(cè)臨近的值 時，f’(x)恒為正；當x去x0右側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)如果當x取x0左側(cè)臨近的值時，f’ (x)恒為負；當x去x0右側(cè)臨近的值時，f’(x)恒為正，那么函數(shù)f(x)在x0處取得極小值；(3)如果當x取x0左右兩側(cè)臨近的值時，f’(x) 恒為正或恒為負，那么函數(shù)f(x)在x0處沒有極值。 　　定理(函數(shù)取得極值的第二種充分條件)設函數(shù)f(x)在x0處具有二階導數(shù)且f’ (x0)=0，f’’(x0)≠0那么：(1)當f’’(x0)<0時，函數(shù)f(x)在x0處取得極大值；(2)當f’’(x0)>0時，函 數(shù)f(x)在x0處取得極小值；駐點有可能是極值點，不是駐點也有可能是極值點。 　　7、函數(shù)的凹凸性及其判定設f(x)在區(qū)間Ix上連續(xù)，如 果對任意兩點x1，x2恒有f[(x1+x2)/2]<[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凹的；如果恒有 f[(x1+x2)/2]>[f(x1)+f(x1)]/2，那么稱f(x)在區(qū)間Ix上圖形是凸的。 　　定理設函數(shù)f(x)在閉區(qū)間 [a，b]上連續(xù)，在開區(qū)間(a，b)內(nèi)具有一階和二階導數(shù)，那么(1)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)>0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形 是凹的；(2)若在(a，b)內(nèi)f’’(x)<0，則f(x)在閉區(qū)間[a，b]上的圖形是凸的。 　　判斷曲線拐點(凹凸分界點)的步驟 (1)求出f’’(x)；(2)令f’’(x)=0，解出這方程在區(qū)間(a，b)內(nèi)的實根；(3)對于(2)中解出的每一個實根x0，檢查f’’(x)在 x0左右兩側(cè)鄰近的符號，如果f’’(x)在x0左右兩側(cè)鄰近分別保持一定的符號，那么當兩側(cè)的符號相反時，點(x0，f(x0))是拐點，當兩側(cè)的符號 相同時，點(x0，f(x0))不是拐點。 　　在做函數(shù)圖形的時候，如果函數(shù)有間斷點或?qū)?shù)不存在的點，這些點也要作為分點。 第四章不定積分 　　1、原函數(shù)存在定理定理如果函數(shù)f(x)在區(qū)間I上連續(xù)，那么在區(qū)間I上存在可導函數(shù) F(x)，使對任一x∈I都有F’(x)=f(x)；簡單的說連續(xù)函數(shù)一定有原函數(shù)。 　　分部積分發(fā)如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和正余弦或冪函數(shù)和指 數(shù)函數(shù)的乘積，就可以考慮用分部積分法，并設冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)為u，這樣用一次分部積分法就可以使冪函數(shù)的冪降低一次。如果被積函數(shù)是冪函數(shù)和對數(shù)函數(shù)或 冪函數(shù)和反三角函數(shù)的乘積，就可設對數(shù)和反三角函數(shù)為u. 　　2、對于初等函數(shù)來說，在其定義區(qū)間上，它的原函數(shù)一定存在，但原函數(shù)不一定都是 初等函數(shù)。 　　第五章定積分 　　1、定積分解決的典型問題(1)曲邊梯形的面積(2)變速直線 運動的路程 　　2、函數(shù)可積的充分條件定理設f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積，即連續(xù)=>可積。 　 　定理設f(x)在區(qū)間[a，b]上有界，且只有有限個間斷點，則f(x)在區(qū)間[a，b]上可積。 　　3、定積分的若干重要性質(zhì)性質(zhì)如果在區(qū) 間[a，b]上f(x)≥0則∫abf(x)dx≥0.推論如果在區(qū)間[a，b]上f(x)≤g(x)則∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx.推 論|∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx.性質(zhì)設M及m分別是函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的最大值和最小值，則m(b- a)≤∫abf(x)dx≤M(b-a)，該性質(zhì)說明由被積函數(shù)在積分區(qū)間上的最大值及最小值可以估計積分值的大致范圍。 　　性質(zhì)(定積分中值 定理)如果函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，則在積分區(qū)間[a，b]上至少存在一個點ξ，使下式成立：∫abf(x)dx=f(ξ)(b-a)。 　 　4、關(guān)于廣義積分設函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上除點c(a可偏導。 　　5、多元函數(shù)可微的充分條件定理(充分條件)如果函數(shù)z=f(x，y)的偏導數(shù)存在且在點 (x，y)連續(xù)，則函數(shù)在該點可微分。 　　6.多元函數(shù)極值存在的必要、充分條件定理(必要條件)設函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)具 有偏導數(shù)，且在點(x0，y0)處有極值，則它在該點的偏導數(shù)必為零。 　　定理(充分條件)設函數(shù)z=f(x，y)在點(x0，y0)的某鄰域 內(nèi)連續(xù)且有一階及二階連續(xù)偏導數(shù)，又fx(x0，y0)=0，fy(x0，y0)=0，令 fxx(x0，y0)=0=A，fxy(x0，y0)=B，fyy(x0，y0)=C，則f(x，y)在點(x0，y0)處是否取得極值的條件如下： (1)AC-B2>0時具有極值，且當A<0時有極大值，當A>0時有極小值；(2)AC-B2<0時沒有極值；(3)AC- B2=0時可能有也可能沒有。 　　7、多元函數(shù)極值存在的解法(1)解方程組fx(x，y)=0，fy(x，y)=0求的一切實數(shù)解，即可求得 一切駐點。 　　(2)對于每一個駐點(x0，y0)，求出二階偏導數(shù)的值A、B、C.(3)定出AC-B2的符號，按充分條件進行判定 f(x0，y0)是否是極大值、極小值。 　　注意：在考慮函數(shù)的極值問題時，除了考慮函數(shù)的駐點外，如果有偏導數(shù)不存在的點，那么對這些點也應 當考慮在內(nèi)。 　　第八章二重積分 　　1、二重積分的一些應用曲頂柱體的體積曲面的面積 (A=∫∫√[1+f2x(x，y)+f2y(x，y)]dσ) 　　平面薄片的質(zhì)量平面薄片的重心坐標(x=1/A∫∫xdσ，y=1 /A∫∫ydσ；其中A=∫∫dσ為閉區(qū)域D的面積。 　　平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量 (Ix=∫∫y2ρ(x，y)dσ，Iy=∫∫x2ρ(x，y)dσ；其中ρ(x，y)為在點(x，y)處的密度。 　　平面薄片對質(zhì)點的引力 (FxFyFz) 　　2、二重積分存在的條件當f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時，極限存在，故函數(shù)f(x，y)在D上的二重積分必定存在。 　 　3、二重積分的一些重要性質(zhì)性質(zhì)如果在D上，f(x，y)≤ψ(x，y)，則有不等式∫∫f(x，y)dxdy≤∫∫ψ(x，y)dxdy，特殊地由于 -|f(x，y)|≤f(x，y)≤|f(x，y)|又有不等式|∫∫f(x，y)dxdy|≤∫∫|f(x，y)|dxdy.性質(zhì)設M，m分別是 f(x，y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值，σ是D的面積，則有mσ≤∫∫f(x，y)dσ≤Mσ。 　　性質(zhì)(二重積分的中值定理)設函數(shù) f(x，y)在閉區(qū)域D上連續(xù)，σ是D的面積，則在D上至少存在一點(ξ，η)使得下式成立：∫∫f(x，y)dσ=f(ξ，η)*σ4、二重積分中標量 在直角與極坐標系中的轉(zhuǎn)換把二重積分從直角坐標系換為極坐標系，只要把被積函數(shù)中的x，y分別換成ycosθ、rsinθ，并把直角坐標系中的面積元素 dxd來源:考試大- 考研站 導數(shù)公式： 基本積分表： 三角函數(shù)的有理式積分： 一些初等函數(shù)： 兩個重要極限： 三角函數(shù)公式： 誘導公式： 函數(shù) 角A sin cos tg ctg -α -sinα cosα -tgα -ctgα 90-α cosα sinα ctgα tgα 90+α cosα -sinα -ctgα -tgα 180-α sinα -cosα -tgα -ctgα 180+α -sinα -cosα tgα ctgα 270-α -cosα -sinα ctgα tgα 270+α -cosα sinα -ctgα -tgα 360-α -sinα cosα -tgα -ctgα 360+α sinα cosα tgα ctgα 和差角公式： 和差化積公式： 倍角公式： 半角公式： 正弦定理： 余弦定理： 反三角函數(shù)性質(zhì)： 高階導數(shù)公式——萊布尼茲（Leibniz）公式： 中值定理與導數(shù)應用： 曲率： 定積分的近似計算： 定積分應用相關(guān)公式：