西南大學《數(shù)學物理方法》課程試題A卷參考答案和評分標準.docx

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—————————————密————————————封——————————————線—————————————— 學號 姓名 班 年級 專業(yè) 學院 西 南 大 學 課 程 考 核 (試題 【A】卷參考答案和評分標準) 西南大學 《 數(shù)學物理方法 》課程 2016～2017學年 第學期 期 考試時間 120分鐘 考核方式 學生類別 人數(shù) 211 適用專業(yè)或科類 物理學（師范） 年級 2015級 題號 合計 得分 簽名 閱卷須知：閱卷用紅色墨水筆書寫，得分用阿拉伯數(shù)字寫在每小題題號前，用正分表示，不得分則在題號前寫0；大題得分登錄在對應的分數(shù)框內(nèi)；統(tǒng)一命題的課程應集體閱卷，流水作業(yè)；閱卷后要進行復核，發(fā)現(xiàn)漏評、漏記或總分統(tǒng)計錯誤應及時更正；對評定分數(shù)或統(tǒng)分記錄進行修改時，修改人必須簽名。 特別提醒：學生必須遵守課程考核紀律，違規(guī)者將受到嚴肅處理。 一、填空題：（共10小題，每小題2分，共20分） 1、方程的解為_______或　__________________。 2、冪極數(shù)的收斂半徑為_______ e _________________。 3、設(shè)，則Imz＝_______0_______________。 4、設(shè)C為正向圓周|z|=1，則=________4πi　　___________________。 5、設(shè)C為正向圓周，，其中，則=或 6、函數(shù)在點z=0處的留數(shù)為____6______________。 7、函數(shù) 的傅里葉變換為 8、 在的區(qū)域上，復變函數(shù)的冪級數(shù)展開為 9、微分方程 在 的有限解為， 被稱為 n階勒讓德多項式． 10、定解問題的解為u(s,t)= t 。 二、選擇題（共5題，每題3分，共15分） 1、下面說法正確的是( D ) A）若函數(shù)在點解析，則函數(shù)在點可導，反之亦然。 B）是二階齊線性偏微分方程。 C）若洛朗級數(shù)中含的負冪項，則展開中心一定是被展開函數(shù)的奇點。 D）函數(shù)在處是非孤立奇點。 2、若在Z平面上解析，，則=（ D ） A.) B. C. D. 3、是函數(shù)的（　C?。? A． 3階極點　　　B．4階極點　　　C．5階極點　　D．6階極點 4、本征值問題的本征值和本征函數(shù)為（ C ） A. B. C. D. 5、設(shè)的羅朗級數(shù)展開式為，則其收斂圓環(huán)域 為( C ) A. ； B. 或； C. 或； D. . 三、證明題：（共1題，共10分） 設(shè)，證明在原點滿足C－R條件，但不可微。 證明：令，則 ， 。 ，（1分） ；（1分） ，（1分） 。（1分） （1分） 在原點上滿足C－R條件。（1分） 但。（1分） 令沿趨于，則 （2分） 依賴于，在原點不可導。（1分） 四、計算題：（共2小題，共15分） 1、（7分）計算積分的值，其中C為正向圓周|z-1|=3。 解：因在C內(nèi)有二階級點z=I，（2分） 所以(5分) 2、（8分）用拉普拉斯變換解常微分方程初值問題 解：將方程拉普拉斯變換： （3分） 即 亦即 （2分） 反演，得 （3分） 五、（10分）用分離變量法求解如下定解問題 解：第一步：分離變量 (2分) 設(shè)，代入方程可得 此式中，左端是關(guān)于的函數(shù)，右端是關(guān)于的函數(shù)。因此，左端和右端相等，就必須等于一個與無關(guān)的常數(shù)。設(shè)為，則有 將代入邊界條件得 從而可得特征值問題 第二步：求解特征值問題 (3分) 1) 若，方程的通解形式為 由定解條件知，從而，不符合要求。 2) 若，方程的通解形式為 由邊界條件知，從而。 3) 若，方程的通解形式為 代入邊界條件得 從而得特征值問題的一系列特征值及相應的特征函數(shù) 第三步：求特解，并疊加出一般解 (2分) 求解了特征值問題后，將每特征值代入函數(shù)滿足的方程可得出相應的解 因此，也就得到滿足偏微分方程和邊界條件的一般解 第四步：確定疊加系數(shù) (3分) 由初始條件可知 可得 故原方程的解為 六、（10分）求解以下定解問題： 解：先將非齊次邊界條件化為齊次邊界條件，令， 使?jié)M足， 解之，得：。 （2分） 滿足。（1分） 令，可求得 ， （1分） ，。 定解問題的通解為： 。（2分） 由初始條件得： ， 。（2分） 于是， 。（2分） 七、（10分）用傅里葉變換求解定解問題 。 解：由于在內(nèi)變化，對進行傅里葉變換 ，（*） (2分) 其中， （*）的通解為，。 由，得， 所以總的可寫為， （2分） 其中。 由，得。 。 （2分） 進行傅里葉反變換，得 ， （2分） 而 ， 代入上、下限時應注意到， 。 （2分） 八、（10分）求解定解問題。 解：所要求解的定解問題具有軸對稱性，其軸對稱球外解為 。 （3分） 由，得 （2分） 。 比較兩邊的系數(shù)，得 ，，，， 。（2分） 。 （3分） 第11頁 共11頁