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概率論與數理統計浙大四版習題答案第二章
第二章 隨機變量及其分布
1.[一] 一袋中有5只乒乓球，編號為1、2、3、4、5，在其中同時取三只，以X表示取出的三只球中的最大號碼，寫出隨機變量X的分布律
解：X可以取值3，4，5，分布律為
P(X=3)=P(一球為3號,兩球為1,2號)=
1C2C5
32
=
1101C3
3C5
2
P(X=4)=P(一球為4號,再在1,2,3中任取兩球)=
=
2
310=610
P(X=5)=P(一球為5號,再在1,2,3,4中任取兩球)=
1C4C5
3
也可列為下表 X： 3， 4，5 P：
136,, 101010
3.[三] 設在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回抽樣，以X表示取出次品的只數，（1）求X的分布律，（2）畫出分布律的圖形。
解：任取三只，其中新含次品個數X可能為0，1，2個。
P(X=0)=
C13C15
133
=
22
35
2
P(X=1)=
C2C13
C15C2C13
3C152
13
12= 35
P(X=2)==
1 35
再列為下表 X： 0， 1， 2 P：
22121
,, 353535
4.[四] 進行重復獨立實驗，設每次成功的概率為p，失敗的概率為q =1－p(0
（2）將實驗進行到出現r次成功為止，以Y表示所需的試驗次數，求Y的分布律。（此時稱Y服從以r, p為參數的巴斯卡分布。）
（3）一籃球運動員的投籃命中率為45%，以X表示他首次投中時累計已投籃的次數，寫出X的分布律，并計算X取偶數的概率。
解：（1）P (X=k)=q
k－1
p k=1,2,??
（2）Y=r+n={最后一次實驗前r+n－1次有n次失敗，且最后一次成功}
P(Y=r+n)=Cr+n-1qp
n
n
r-1
p=Cr+n-1qp,
nnr
n=0,1,2,L,其中 q=1－p， k=r,r+1,L
-1rk-r
或記r+n=k，則 P{Y=k}=Ckr-,1p(1-p)
（3）P (X=k) = (0.55)k－10.45
(0.55)
k=1,2…
2k-1
P (X取偶數)=P(X=2k)=
k=1
k=1
0.45=
11
31
6.[六] 一大樓裝有5個同類型的供水設備，調查表明在任一時刻t每個設備使用的概率為0.1，問在同一時刻
（1）恰有2個設備被使用的概率是多少？
P(X=2)=C5pq
2
2
5-2
=C5(0.1)(0.9)=0.0729
223
（2）至少有3個設備被使用的概率是多少？
P(X3)=C5(0.1)(0.9)+C5(0.1)(0.9)+C5(0.1)=0.00856
3
3
2
4
4
5
5
（3）至多有3個設備被使用的概率是多少？
P(X3)=C5(0.9)+C50.1(0.9)+C5(0.1)(0.9)
+C5(0.1)(0.9)=0.99954
3
3
2
5
1
4
2
2
3
（4）至少有一個設備被使用的概率是多少？
P(X1)=1-P(X=0)=1-0.59049=0.40951
[五] 一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開的。有一只鳥自開著的窗子飛入了房間，它只能從開著的窗子飛出去。鳥在房子里飛來飛去，試圖飛出房間。假定鳥是沒有記憶的，鳥飛向各扇窗子是隨機的。
（1）以X表示鳥為了飛出房間試飛的次數，求X的分布律。
（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y表示這只聰明的鳥為了飛出房間試飛的次數，如戶主所說是確實的，試求Y的分布律。
（3）求試飛次數X小于Y的概率；求試飛次數Y小于X的概率。
解：（1）X的可能取值為1，2，3，?，n，?
P {X=n}=P {前n－1次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去}
=()n-1
2
3
1
， n=1，2，?? 3
（2）Y的可能取值為1，2，3 P {Y=1}=P {第1次飛了出去}=
1 3
P {Y=2}=P {第1次飛向 另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去} =
211= 323
P {Y=3}=P {第1，2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去} =
(3)P{X
Y)=P (X=1, Y=0)+P (X=2, Y=0)+P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)
=P (X=1) P (Y=0) + P (X=2, Y=0)+ P (X=2, Y=1)+ P (X=3) P (Y=0)+ P (X=3) P (Y=1)+ P (X=3) P (Y=2)
123228
=[C30.6(0.4)](0.3)+[C3(0.6)0.4](0.3)+ 123 [C32(0.6)20.4][C30.7(0.3)]+(0.6)
(0.3)+(0.6)[C30.7(0.3)]+(0.6)
22
[C3(0.7)0.3]=0.243
33123
9.[十] 有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒全部挑出來，算是試驗成功一次。
（1）某人隨機地去猜，問他試驗成功一次的概率是多少？
（2）某人聲稱他通過品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗10次，成功3次。試問他是猜對的，還是他確有區(qū)分的能力（設各次試驗是相互獨立的。）
解：（1）P (一次成功)=
1C8
4
=
1
70
136973)()=707010000
3(（2）P (連續(xù)試驗10次，成功3次)= C10
。此概率太小，按
實際推斷原理，就認為他確有區(qū)分能力。
[九] 有一大批產品，其驗收方案如下，先做第一次檢驗：從中任取10件，經驗收無次品接受這批產品，次品數大于2拒收；否則作第二次檢驗，其做法是從中再任取5件，僅當5件中無次品時接受這批產品，若產品的次品率為10%，求
（1）這批產品經第一次檢驗就能接受的概率 （2）需作第二次檢驗的概率
（3）這批產品按第2次檢驗的標準被接受的概率
（4）這批產品在第1次檢驗未能做決定且第二次檢驗時被通過的概率 （5）這批產品被接受的概率
解：X表示10件中次品的個數，Y表示5件中次品的個數，
由于產品總數很大，故X~B（10，0.1），Y~B（5，0.1）（近似服從） （1）P {X=0}=0.910≈0.349
22819（2）P {X≤2}=P {X=2}+ P {X=1}=C100.10.9+C100.10.90.581
（3）P {Y=0}=0.9 ≈0.590 （4）P {0
({0
5
= P {0
12.[十三] 電話交換臺每分鐘的呼喚次數服從參數為4的泊松分布，求 （1）每分鐘恰有8次呼喚的概率 法一： 法二：
4-4
P(X=8)=e=0.029770（直接計算）
8!
8
P ( X= 8 )= P (X ≥8)－P (X ≥9)（查λ= 4泊松分布表）。
= 0.051134－0.021363=0.029771 （2）每分鐘的呼喚次數大于10的概率。
P (X>10)=P (X ≥11)=0.002840（查表計算）
[十二 (2)]每分鐘呼喚次數大于3的概率。
P{X>3}=P{X4}=0.566530
[十六] 以X表示某商店從早晨開始營業(yè)起直到第一顧客到達的等待時間（以分計），X的分布函數是
1-e-0.4x,
FX(x)=
0
x0
x<0
求下述概率：
（1）P{至多3分鐘}；（2）P {至少4分鐘}；（3）P{3分鐘至4分鐘之間}； （4）P{至多3分鐘或至少4分鐘}；（5）P{恰好2.5分鐘} 解：（1）P{至多3分鐘}= P {X≤3} =FX(3)=1-e-1.2 （2）P {至少4分鐘} P (X ≥4) =1-FX(4)=e-1.6
（3）P{3分鐘至4分鐘之間}= P {3
=1-e-1.2+e-1.6 （5）P{恰好2.5分鐘}= P (X=2.5)=0
0,x<1,
18.[十七] 設隨機變量X的分布函數為FX(x)=lnx,1x1000其它
現有一大批此種管子（設各電子管損壞與否相互獨立）。任取5只，問其中至少有2只壽命大于1500小時的概率是多少？
解：一個電子管壽命大于1500小時的概率為
P(X>1500)=1-P(X1500)=1-
=1-(1-
22
)=33
15001000
1000x
21
dx=1-1000(-)
x
15001000
令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時的個數”。則Y~B(5,
2
)，3
214151
P(Y2)=1-P(Y<2)=1-{P(Y=0)+P(Y=1)}=1-()+C5()()
333
=1-
1+523
5
=1-
11243
=
232243
23.[二十一] 設顧客在某銀行的窗口等待服務的時間X（以分計）服從指數分布，其概率密度為：
1-x
5
FX(x)=5e,x>0
0,其它
某顧客在窗口等待服務，若超過10分鐘他就離開。他一個月要到銀行5次。以Y表示一個月內他未等到服務而離開窗口的次數，寫出Y的分布律。并求P（Y≥1）。
解：該顧客“一次等待服務未成而離去”的概率為
P(X>10)=
+
10
fX
1(x)dx=
5
5k
+
10
e
-
x5
dx=-e
-
x5
+10
=e
-2
因此Y~B(5,e-2).即P(Y=k)=e-2k(1-e-2)5-k,(k=1,2,3,4,5
P(Y1)=1-P(Y<1)=1-P(Y=0)=1-(1-e
=1-0.8677
5
-2
)=1-(1-
5
155
)=1-(1-0.1353363)7.389
=1-0.4833=0.5167.
24.[二十二] 設K在（0，5）上服從均勻分布，求方程4x2+4xK+K+2=0有實根的概率
1
∵ K的分布密度為：f(K)=5-0
0
03) ∵ 若X～N（μ，σ2），則P (α
β-μα-μ
-φ σσ
∴
5-32-3
P (2
2
2
=0.8413－0.3085=0.5328
10-3-4-3P (－4
2
2
=0.9998－0.0002=0.9996
P (|X|>2)=1－P (|X|
=1-F
2-3-2-3
-F 22
=1－φ(－0.5) +φ(－2.5) =1－0.3085+0.0062=0.6977 P (X>3)=1－P (X≤3)=1－φ
3-3
=1－0.5=0.5 2
（2）決定C使得P (X > C )=P (X≤C) ∵ 得 又
P (X > C )=1－P (X≤C )= P (X≤C) P (X≤C )=
1
=0.5 2
2
2
C-3C-3
=0 ∴ C =3 P (X≤C )=φ=0.5,查表可得
26.[二十四] 某地區(qū)18歲的女青年的血壓（收縮區(qū)，以mm-Hg計）服從N(110,122)在該地區(qū)任選一18歲女青年，測量她的血壓X。求
（1）P (X≤105)，P (100x) ≤ 0.05. 解:(1)P(X105)=F(
105-110
)=F(-0.4167)=1-F(0.4167)=1-0.6616=0.3384 12
120-110100-11055
P(100x)=1-P(Xx)=1-F(查表得
x-110x-110
)0.05F()0.95.1212
故最小的X=129.74.
x-110
1.645.x110+19.74=129.74.12
27.[二十五] 由某機器生產的螺栓長度（cm）服從參數為μ=10.05，σ=0.06的正態(tài)分布。規(guī)定長度在范圍10.050.12內為合格品，求一螺栓為不合格的概率是多少？
設螺栓長度為X
P{X不屬于(10.05－0.12, 10.05+0.12)
=1－P (10.05－0.12
(10.05+0.12)-10.05(10.05-0.12)-10.05
-F0.060.06
=1－{φ(2)－φ(－2)} =1－{0.9772－0.0228} =0.0456
28.[二十六] 一工廠生產的電子管的壽命X（以小時計）服從參數為μ=160，σ(未知)的正態(tài)分布，若要求P (120＜X≤200＝=0.80，允許σ最大為多少？
∵ P (120＜X≤200)=F
200-160120-1604040
-F=F-F-=0.80 σσσσ
又對標準正態(tài)分布有φ(－x)=1－φ(x) ∴ 上式變?yōu)镕 解出F
4040
-1-F0.80 σσ
40
F0.9 σ
40
便得:σ
再查表，得
40
1.281σ
σ
40
=31.25 1.281
30.[二十七] 設隨機變量X的分布律為： X：－2，
P：
1
， 5
－1， 0，
1， 3
11
30
111， ， ， 6515
求Y=X 2的分布律
∵ Y=X 2：(－2)2 P：
1 5
(－1)2
1 6
(0)2 (1)2 (3)2
11
30
11 515
再把X 2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數Y的分布律為： ∴ Y： 0 P：
1
4
9
11
30
1111
+ 61555
31.[二十八] 設隨機變量X在（0，1）上服從均勻分布 （1）求Y=e的分布密度 ∵ X的分布密度為：f(x)=
0
1
01時，ψ( y)= [FY ( y)]’ =
-
1
2
12p
e
-
x
2
2
y-12
dx
=e
-
y-14
2(y-1)
（3）求Y=| X |的概率密度。
∵ Y的分布函數為 FY ( y)=P (Y≤y )=P ( | X |≤y) 當y
當y≥0時，FY ( y)=P (| X |≤y )=P (－y≤X≤y)=∴ Y的概率密度為：
當y≤0時：ψ( y)= [FY ( y)]’ = (0)’ =0
當y>0時：ψ( y)= [FY ( y)]’ =
dx=
y-y
12π
e
-
x
2
2
dx
y-y
12π
e
-
x
2
2
2eπ
-
y
2
2
33.[三十] （1）設隨機變量X的概率密度為f (x)，求Y = X 3的概率密度。 ∵ 又 且
Y=g (X )= X 3 是X單調增函數，
1
X=h (Y ) =Y
3
，反函數存在，
α = min[g (－∞), g (+∞)]=min(0, +∞)=－∞
β = max[g (－∞), g (+∞)]= max(0, +∞)= +∞ ∴ Y的分布密度為：
1
2
ψ( y)= f [h ( h )]| h’ ( y)| = f(y3
1-3)y,-0x0
Y=x是非單調函數
當 x
2 2
2
y
∴ Y～ fY (y) = f(-y)(-y)+f(y)(y)
1-
e0+
=2y
0
y
=2
1y
e
-y
,y>0y0
法二：Y
~FY(y)=P(Yy)=P(-
y0y0
-1e
∴ Y～ fY (y) =2y
0
y
,,
y>0.y0.
34.[三十一] 設X的概率密度為
2x
f(x)=π2
0
0
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