有限元分析中的應(yīng)力

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. 你真的了解有限元分析中的“應(yīng)力”嗎 原創(chuàng)2016-07-09Feaforall有限元分析理論與方法 雖然在有限元分析中我們常常會(huì)用到軟件后處理程序得出的應(yīng)力值（stress），但其實(shí)應(yīng)力有很多值得我們研究的地方。 如果我們把作用于物體的力產(chǎn)生的各處應(yīng)力匯總起來(lái)，那么應(yīng)力也就像流體分析CFD中的速度或者壓力一樣形成應(yīng)力場(chǎng)“流過(guò)”物體，我們抓取感興趣的地方來(lái)進(jìn)行強(qiáng)度的評(píng)估。然而，由于應(yīng)力狀態(tài)變化復(fù)雜，并不好在3D單元中進(jìn)行可視化，所以我們更需要根據(jù)軟件已有的功能來(lái)探究應(yīng)力的意義。 1. 幾乎所有的有限元分析結(jié)果中，默認(rèn)的應(yīng)力結(jié)果是馮米斯應(yīng)力（Von Mises），馮米斯應(yīng)力是一個(gè)標(biāo)量結(jié)果，并沒(méi)有力的方向性指示。學(xué)過(guò)材料力學(xué)的應(yīng)該知道還有一種應(yīng)力是主應(yīng)力（principle stress），主應(yīng)力是矢量，某些情況下也是非常有用的，那么他們之間有什么區(qū)別？ 2.物理內(nèi)部的受力在不同部位都不一樣，我們?cè)鯓颖M可能多的去研究?jī)?nèi)部力場(chǎng)的不同特性并且通過(guò)軟件可視化出來(lái)呢？ 下面我們將探究上面的兩個(gè)問(wèn)題。 什么是應(yīng)力？ 首先我們先說(shuō)說(shuō)什么是應(yīng)力。眾所周知，應(yīng)力（stress）是單位面積上作用的力（forces）。我們并不好感知或者測(cè)量應(yīng)力，但力（force）是實(shí)實(shí)在在的，我們可以很好的感知和測(cè)量。物質(zhì)總是由原子構(gòu)成的，從原子的維度看，原子之間相吸或者相斥。物體在沒(méi)有受力的狀態(tài)下，原子處于自然狀態(tài)，所有的力互相平衡，如果物體受到外部力的作用，原子就會(huì)偏離平衡位置去尋找新的平衡位置來(lái)平衡外部力。如下圖所示，相同長(zhǎng)度L上分別有兩排5對(duì)的原子和兩排6對(duì)的原子，如果假設(shè)原子之間的吸引力相同，那么單位長(zhǎng)度上6對(duì)原子的應(yīng)力要比5對(duì)的大，擴(kuò)展到宏觀的3D情形同樣適用。 力和應(yīng)力單元 微積分學(xué)科的發(fā)展可以使我們通過(guò)數(shù)學(xué)運(yùn)用無(wú)限（無(wú)限大或者無(wú)限?。┑脑韥?lái)處理很多實(shí)際問(wèn)題，宏觀物體的受力是微觀單元的疊加。在材料力學(xué)中，我們把一個(gè)無(wú)限小的立方體（cube）單元來(lái)描述某一點(diǎn)的受力情況。為什么無(wú)限小呢？因?yàn)橛捎跓o(wú)限小，小到物體內(nèi)部力是均勻的，沒(méi)有應(yīng)力變化，只有一種應(yīng)力狀態(tài)。如下圖所示，六個(gè)面分別受到法向力平衡。 上圖是垂直于截面的法向力（normal force）情形，那么自然還有一種剪切力（shear force）。如下圖所示，如果X方向截面受到剪切力Fxy（下標(biāo)x代表x方向截面，y代表受力朝向y方向），那么為了使單元平衡，就會(huì)產(chǎn)生其余三個(gè)力Fyx，F(xiàn)xy，F(xiàn)yx（如果想當(dāng)然覺(jué)得只有Fxy產(chǎn)生，那么立方體將受到彎矩?zé)o法平衡） 如果將法向力和剪切力匯總到一個(gè)立方體中（為了便于圖形呈現(xiàn)，其它三個(gè)面的受力狀態(tài)這里沒(méi)表示出來(lái)）： 有限元模型中，每個(gè)單元受到的力，包括法向力、剪應(yīng)力的合力都是和外力通過(guò)節(jié)點(diǎn)傳遞到該單元的力平衡的，這種微觀的平衡是力學(xué)平衡的微觀表現(xiàn)。 有力（force）就有應(yīng)力（stress），相應(yīng)的應(yīng)力單元如下圖所示： 下面我們通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)研究物體在受力狀態(tài)下的力的多種觀察視角。 如下圖所示，一個(gè)斜十字交叉的簡(jiǎn)易桁架模型左端兩個(gè)孔完全約束，右邊兩個(gè)吊耳孔分別受到向下和左/右方向的力（大小任意）。 整體的Von Mises應(yīng)力狀態(tài)如下圖所示，一般情況下軟件都默認(rèn)得到這個(gè)應(yīng)力云圖，我們看看最大的受力區(qū)域和值就可以了，但今天我們不關(guān)注這個(gè)，我們更關(guān)注力在不同區(qū)域，不同方向的不同形式，von mises是標(biāo)量，沒(méi)有方向，得出的數(shù)值也沒(méi)有正負(fù)，得不到這些細(xì)節(jié)信息。 首先我們來(lái)看看X方向的受力情況： 從上圖中我們可以看出來(lái)，上面部分主要受到拉伸力（數(shù)值是正值），下面主要受壓縮力（數(shù)值是負(fù)值），為了證明我們的觀察，我們將上面受到拉伸的區(qū)域C和壓縮力的區(qū)域E局部放大得到如下的結(jié)果。 放大區(qū)域C： 從上圖可以看出在圖中虛線方向上，力的變化都是正值，還可以看出這種變化是線性的。 再看區(qū)域E： 從上圖可以看出在圖中虛線方向上，力的變化都是負(fù)值，同樣是線性變化的。 此外，從X方向的應(yīng)力分布云圖中還可以看出，區(qū)域A似乎是拉伸最大點(diǎn)，區(qū)域B似乎是壓縮最大點(diǎn)，但這只是X方向的情形并不能告訴我們?nèi)康男畔ⅰ? 我們?cè)倏纯碮方向的應(yīng)力分布： 從Y方向的應(yīng)力分布來(lái)看，最感興趣的應(yīng)該是區(qū)域D。繪制區(qū)域D的應(yīng)力變化可以看出次區(qū)域既有拉伸應(yīng)力也有壓縮應(yīng)力。 我們觀察了X方向和Y方向的應(yīng)力分布。如果我們想觀察和X方向或者Y方向成一定角度方向上的應(yīng)力分布呢？這時(shí)候我們需要建立局部坐標(biāo)系。如下圖所示： 我們甚至可以看看xy平面方向上的剪應(yīng)力分布： 上面我們介紹了在笛卡爾坐標(biāo)系下不同方位的應(yīng)力分布，我們姑且稱這種應(yīng)力為“笛卡爾”應(yīng)力（Cartesian stresses）吧。 下面我們來(lái)看看主應(yīng)力（principle stress）和馮米斯應(yīng)力（Von Mises stress） 主應(yīng)力（principle stress） 上面我們觀察了x方向、y方向和局部坐標(biāo)系下的應(yīng)力分布。事實(shí)上，我們可以任意旋轉(zhuǎn)坐標(biāo)系來(lái)觀察應(yīng)力的分布，雖然方向不同，但他們其實(shí)都是等價(jià)的，只是通過(guò)不同的角度來(lái)描述相同的應(yīng)力狀態(tài)而已。 我們以下圖中所示的點(diǎn)x為基準(zhǔn)，研究這一點(diǎn)在不同坐標(biāo)角度下x方向、y方向和剪應(yīng)力xy方向的應(yīng)力變化。 下圖我們把幾個(gè)關(guān)鍵的信息列在一張圖中方便觀察。 左上角是主應(yīng)力（主應(yīng)力、剪應(yīng)力）計(jì)算公式，可以看出，不同角度方向上主應(yīng)力大小是不同的，所以主應(yīng)力是矢量。右邊的曲線圖代表點(diǎn)“x”在不同方向（X、Y、XY）和不同角度下（0—360）的主應(yīng)力變化值，可以看出呈正（余）弦變化，這也是和主應(yīng)力公式吻合的。一般我們把最大主應(yīng)力（max principal stress)簡(jiǎn)稱為P1，最小主應(yīng)力（min principal stress，有符號(hào)，不代表真的很?。┖?jiǎn)稱為P3，最大剪應(yīng)力（max shear stress）簡(jiǎn)稱為P2。此例中由于P2非常小我們不考慮，主要考慮P2和P3。 下圖所示為拉伸主應(yīng)力占主導(dǎo)的區(qū)域，沒(méi)有顯示應(yīng)力云圖的區(qū)域是因?yàn)槔熘鲬?yīng)力太小或者受到壓縮應(yīng)力，我們把它過(guò)濾掉不顯示出來(lái)。這非常有用，從圖中我們可以看出，上面的桁架主要受拉伸應(yīng)力，左上到右下的的區(qū)域也受到稍微小一點(diǎn)的拉伸應(yīng)力 那么哪些部位主要受到壓縮應(yīng)力呢？ 下圖所示為壓縮應(yīng)力占主導(dǎo)的區(qū)域，沒(méi)有顯示應(yīng)力云圖的區(qū)域是因?yàn)閴嚎s應(yīng)力太小或者受到拉伸應(yīng)力，我們把它過(guò)濾掉不顯示出來(lái)。可以看出拉伸應(yīng)力和壓縮應(yīng)力兩幅圖呈現(xiàn)互補(bǔ)（不完全互補(bǔ)）狀態(tài)。 我們甚至可以繪制應(yīng)力云圖來(lái)呈現(xiàn)力場(chǎng)在內(nèi)部的流動(dòng)。拉伸應(yīng)力的矢量云圖如下圖所示，拉伸應(yīng)力越大的地方顏色越深。 下圖為壓縮應(yīng)力戰(zhàn)主導(dǎo)的區(qū)域，同樣的，壓縮應(yīng)力越大顏色越深。 最大主應(yīng)力P1和最小主應(yīng)力P2在疲勞耐久分析（fatigue analysis）中非常重要，對(duì)于壓縮應(yīng)力，在屈曲分析中也非常有用。 馮米斯應(yīng)力（Von Mises） 馮米斯應(yīng)力是我們?cè)谄綍r(shí)分析時(shí)最常見(jiàn)的力，2D狀態(tài)下的馮米斯應(yīng)力公式為： 從公式也可以看出馮米斯應(yīng)力是沒(méi)有負(fù)值的，是一個(gè)標(biāo)量。我們?cè)俅钨N出上面的那張圖： 從上圖可以看出，大約有四個(gè)區(qū)域的應(yīng)力云圖是我們需要關(guān)心的，馮米斯應(yīng)力的意義就在于此，它可以讓我們很快找到最危險(xiǎn)的區(qū)域。但是由于是標(biāo)量，我們并不能從中知道哪些地方是受到拉伸應(yīng)力，而哪些地方受到壓縮應(yīng)力，我們也不知道某些區(qū)域到底是主應(yīng)力占主導(dǎo)，還是剪應(yīng)力占主導(dǎo)，而這些細(xì)節(jié)往往在某些分析類型中是必不可少的。 下圖是吊耳處的馮米斯應(yīng)力分布圖，從圖中可以看出存在應(yīng)力較大的集中部位，但我們并不知道到底是拉伸還是壓縮占主導(dǎo)（一般從垂直應(yīng)力方向開(kāi)始疲勞屈服），但在疲勞分析中，這兩個(gè)因素帶來(lái)的影響很關(guān)鍵但也是不同的。另外，我們也不知道剪應(yīng)力是否占主導(dǎo)，剪應(yīng)力較小時(shí)我們可以忽略，但如果剪應(yīng)力較大，其帶來(lái)的影響往往比主應(yīng)力更嚴(yán)重。所以光有馮米斯應(yīng)力是不夠的，我們需要綜合考慮這兩種力。 三種力的總結(jié) 綜上，在有限元分析的后處理中，我們通常關(guān)注這三種力：笛卡爾應(yīng)力（Cartesian stresses），主應(yīng)力（principal stresses）和馮米斯應(yīng)力（von Mises stress），我們之所以綜合探究他們，是因?yàn)檫@樣可以使我們對(duì)分析對(duì)象的受力有一個(gè)更清晰的圖景，可以使我們更好的做出判斷。 1.馮米斯應(yīng)力 馮米斯應(yīng)力主要使我們能看到整體的應(yīng)力分布和應(yīng)力集中的地方，是強(qiáng)度評(píng)估的主要參考指標(biāo)。 2.笛卡爾應(yīng)力 笛卡爾應(yīng)力是把馮米斯應(yīng)力分解在不同方向上，或者建立局部坐標(biāo)系探究不同方位上的力分布，這些力在載荷施加在2D平面內(nèi)的分析非常有效（如本例就是如此，Z軸方向是等價(jià)均勻的），但在復(fù)雜的3D模型狀態(tài)下，往往需要局部在厚度方向上簡(jiǎn)化。笛卡爾應(yīng)力主要展現(xiàn)了哪種力是占主導(dǎo)的。 3.主應(yīng)力 通過(guò)繪制最大/最小主應(yīng)力等高線云圖和向量云圖，能使我們更好的了解到物體內(nèi)部的應(yīng)力流場(chǎng)分布，清晰的了解到最糟糕的拉伸/壓縮/剪應(yīng)力區(qū)域。 .