2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 不等關(guān)系與基本不等式 3 第1課時(shí) 平均值不等式課件 北師大版選修4-5.ppt

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第一章3平均值不等式,第1課時(shí)平均值不等式,,學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握平均值不等式的特征結(jié)構(gòu).2.了解平均值不等式的推廣.3.會(huì)用平均值不等式解決相關(guān)問(wèn)題.,,,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),達(dá)標(biāo)檢測(cè),,題型探究,內(nèi)容索引,問(wèn)題導(dǎo)學(xué),知識(shí)點(diǎn)一二元平均值不等式,思考回顧a2＋b2≥2ab的證明過(guò)程，并說(shuō)明等號(hào)成立的條件.,答案a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)，a2＋b2＝2ab.,梳理(1)重要不等式定理1：對(duì)任意實(shí)數(shù)a，b，有a2＋b22ab(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時(shí)取“＝”號(hào)).(2)二元平均值不等式①定理2：對(duì)任意兩個(gè)正數(shù)a，b，有____________(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“＝”號(hào)).②定理2的應(yīng)用：對(duì)兩個(gè)正實(shí)數(shù)x，y，(ⅰ)如果它們的和S是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，它們的積P取得最值；(ⅱ)如果它們的積P是定值，則當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，它們的和S取得最值.,≥,a＝b,x＝y(tǒng),大,x＝y(tǒng),小,知識(shí)點(diǎn)二三元平均值不等式,思考類比二元平均值不等式：(a＞0，b＞0)，請(qǐng)寫(xiě)出a，b，c∈R＋時(shí)，三元平均值不等式.,梳理(1)定理3：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有a3＋b3＋c33abc(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào)).(2)定理4：對(duì)任意三個(gè)正數(shù)a，b，c，有(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取“＝”號(hào)).(3)平均值不等式的推廣,≥,≥,算術(shù)平均值,幾何平均值,≥,題型探究,A.③B.③④C.②③D.①②③④,類型一平均值不等式成立的條件,答案,解析,√,解析在①④中，lgx∈R，sinx∈[－1,1]，不能確定lgx>0，sinx>0，因此①④錯(cuò)誤；,當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)取等號(hào)，故②正確；,反思與感悟平均值不等式成立的條件(1)各項(xiàng)均為正數(shù).(2)當(dāng)且僅當(dāng)各項(xiàng)均相等時(shí)，“＝”才能成立.,跟蹤訓(xùn)練1設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，且ab>0，下列不等式中一定成立的個(gè)數(shù)是,A.1B.2C.3D.4,√,當(dāng)a，b<0時(shí)，②不成立；,當(dāng)a＝－1，b＝－2時(shí)，④不成立.因此，①③成立，故選B.,答案,解析,類型二用平均值不等式證明不等式,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立.,證明,引申探究,證明,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號(hào).,證明,證明,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)等號(hào)成立.,反思與感悟證明不等式的方法(1)首先觀察所要證的式子結(jié)構(gòu)特點(diǎn)及題目所給條件，看是否滿足“一正、二定、三相等”的條件.若滿足即可利用平均值不等式證明.(2)若題目不滿足該條件，則可靈活利用已知條件構(gòu)造出能利用三個(gè)正數(shù)的基本不等式的式子.,跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a，b，c∈R，求證：a4＋b4＋c4≥a2b2＋b2c2＋c2a2；,證明,證明a4＋b4≥2a2b2，同理a4＋c4≥2a2c2，b4＋c4≥2b2c2，將以上三個(gè)不等式相加，得a4＋b4＋a4＋c4＋b4＋c4≥2a2b2＋2a2c2＋2b2c2，即a4＋b4＋c4≥a2b2＋a2c2＋b2c2，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立.,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立.,證明,類型三證明不等式的技巧——“1”的代換,證明,證明方法一∵a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a＋b＋c＝1，,方法二∵a，b，c∈R＋，且a＋b＋c＝1，,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)，等號(hào)成立.,引申探究,證明,證明∵a2＋b2≥2ab，,證明∵a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，a2＋c2≥2ac，∴a2＋b2＋b2＋c2＋a2＋c2≥2ab＋2bc＋2ac，即2(a2＋b2＋c2)≥2ab＋2bc＋2ac，∴2(a2＋b2＋c2)＋a2＋b2＋c2≥a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ac＝(a＋b＋c)2＝1，,證明,證明∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥(a＋b)2.,證明,反思與感悟用基本不等式證明不等式時(shí)，應(yīng)首先依據(jù)不等式兩邊式子的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)進(jìn)行恒等變形，使之具備基本不等式的結(jié)構(gòu)和條件，然后合理地選擇基本不等式進(jìn)行證明.,證明∵a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1，,由于上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘,證明,達(dá)標(biāo)檢測(cè),1,2,4,3,5,1.下列不等式中，正確的個(gè)數(shù)是,答案,解析,A.0B.1C.2D.3,√,1,2,4,3,5,解析顯然①不正確；③正確；,④不正確，如a＝1，b＝4.,1,2,4,3,5,2.下列不等式的證明過(guò)程正確的是,答案,解析,√,1,2,4,3,5,解析對(duì)于A，a，b必須同號(hào)；對(duì)于B，cosx不一定大于0；對(duì)于C，由x＜0，,1,2,4,3,5,當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝2時(shí)，等號(hào)成立.,答案,解析,√,1,2,4,3,5,答案,解析,3,故函數(shù)的最小值為3.,1,2,4,3,5,證明∵a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab＝(a＋b)2＝1，,證明,規(guī)律與方法,1.應(yīng)用平均值不等式證明問(wèn)題時(shí)，如果能熟練掌握一些常見(jiàn)結(jié)論，可使應(yīng)用更加靈活快捷.對(duì)于二元平均值不等式有以下結(jié)論.,(5)a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.,2.對(duì)于三元平均值不等式有以下結(jié)論.,上式中a，b，c均為正數(shù)，等號(hào)成立的條件均為a＝b＝c.,本課結(jié)束,,