2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 計數(shù)原理 1.1 第1課時 分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理課件 新人教A版選修2-3.ppt
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第一章,計數(shù)原理,高二一班某寢室有8名同學(xué),他們約定畢業(yè)后每年春節(jié)要互寄一張賀年卡片,他們一共要消費多少張卡片?2015年9月,紀念中國人民抗日戰(zhàn)爭暨世界反法西斯戰(zhàn)爭勝利70周年閱兵式,外軍方隊有17個方隊,這些方隊的出場順序一共有多少種排法?某城市的電話號碼有8位數(shù)字,一共能構(gòu)成多少個電話號碼?汽車牌照由26個英文字母和10個阿拉伯?dāng)?shù)字選出五個組成,一共能組成多少輛汽車的牌照號碼?你知道是怎樣計數(shù)的嗎?本章將系統(tǒng)學(xué)習(xí)計數(shù)原理,學(xué)習(xí)本章要注意體會有序與無序在計數(shù)中的區(qū)別,體會建模在數(shù)學(xué)研究中的作用,11分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,第1課時分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,自主預(yù)習(xí)學(xué)案,2017年3月3日政協(xié)十二屆第5次會議在北京舉行,某政協(xié)委員3月2日要從泉城濟南前往北京參加會議他有兩類快捷途徑可供選擇:一是乘飛機,二是乘坐動車組假如這天飛機有3個航班可乘,動車組有4個班次可乘問:此委員這一天從濟南到北京共有多少種快捷途徑可選?,1分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N_種不同的方法2分類加法計數(shù)原理的推廣完成一件事有n類不同的方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2種不同的方法,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N_種不同的方法,mn,m1m2mn,3分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N_種不同的方法4分步乘法計數(shù)原理的推廣完成一件事需要分成n個步驟,做第1步有m1種不同的方法,做第2步有m2種不同的方法,做第n步有mn種不同的方法,那么完成這件事共有N_種不同的方法,mn,m1m2mn,1某校開設(shè)A類選修課3門,B類選修課4門,若要求從兩類課程中選一門,則不同的選法共有()A3種B4種C7種D12種解析選擇課程的方法有2類:從A類課程中選一門有3種不同方法,從B類課程中選1門有4種不同方法,共有不同選法347種,C,2已知x2,3,7,y31,24,4,則(x,y)可表示不同的點的個數(shù)是()A1B3C6D9解析這件事可分為兩步完成:第一步,在集合2,3,7中任取一個值x有3種方法;第二步,在集合31,24,4中任取一個值y有3種方法根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知,有339個不同的點,D,3(集寧一中2018學(xué)年高二)現(xiàn)有4件不同款式的上衣與3件不同顏色的長褲,如果一條長褲和一件上衣配成一套,則不同選法是()A7B64C12D81解析選定一件上衣時,有不同顏色的褲子3條,有3種不同的穿衣方案,共有3412種不同的搭配方法,故選C,C,64,4將三封信投入4個郵箱,不同的投法有_種解析第一封信有4種投法,第二封信也有4種投法,第三封信也有4種投法,由分步乘法計數(shù)原理知,共有不同投法4364種,互動探究學(xué)案,命題方向1分類加法計數(shù)原理,典例1,思路分析(1)從每個班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席都能獨立地完成這件事,因此應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理;(2)完成這件事有三類方案,因此也應(yīng)采用分類加法計數(shù)原理解析(1)從每個班任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,共有三類不同的方案第1類,從高三(1)班中選出1名學(xué)生,有50種不同的選法;第2類,從高三(2)班中選1名學(xué)生,有60種不同的選法;第3類,從高三(3)班中選出1名學(xué)生,有55種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從三個班中任選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會主席,共有506055165種不同的選法,(2)從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,共有三類不同的方案第1類,從高三(1)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第2類,從高三(2)班男生中選出1名學(xué)生,有30種不同的選法;第3類,從高三(3)班女生中選出1名學(xué)生,有20種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理知,從高三(1)班、(2)班男生中或從高三(3)班女生中選1名學(xué)生擔(dān)任學(xué)生會生活部部長,共有30302080種不同的選法,規(guī)律總結(jié)1.分類加法計數(shù)原理的推廣分類加法計數(shù)原理:完成一件事有n類不同的方案,在第1類方案中有m1種不同的方法,在第2類方案中有m2中不同的方法,在第n類方案中有mn種不同的方法,那么完成這件事共有Nm1m2m3mn種不同的方法2能用分類加法計數(shù)原理解決的問題具有如下特點(1)完成一件事有若干種方案,這些方案可以分成n類;(2)用每一類中的每一種方法都可以完成這件事;(3)把各類的方法數(shù)相加,就可以得到完成這件事的所有方法數(shù),3利用分類加法計數(shù)原理解題的一般步驟(1)分類,即將完成這件事情的方法分成若干類;(2)計數(shù),求出每一類中的方法數(shù);(3)結(jié)論,將各類的方法數(shù)相加得出結(jié)果,跟蹤練習(xí)1滿足a、b1,0,1,2,且關(guān)于x的方程ax22xb0有實數(shù)解的有序數(shù)對(a,b)的個數(shù)為()A14B13C12D10,B,解析當(dāng)a0時,2xb0總有實數(shù)根,(a,b)的取值有4個當(dāng)a0時,需44ab0,ab1a1時,b的取值有4個,a1時,b的取值有3個,a2時,b的取值有2個(a,b)的取法有9個綜合知,(a,b)的取法有4913個,命題方向2分步乘法計數(shù)原理,已知a3,4,6,b1,2,7,8,r8,9,則方程(xa)2(yb)2r2可表示不同的圓的個數(shù)是多少?思路分析要想確定一個圓,需確定圓心的橫坐標(biāo)a,縱坐標(biāo)b,圓的半徑r,只有當(dāng)三個量都確定時,這個圓才確定,故應(yīng)該用分步乘法計數(shù)原理求解解析圓方程由三個量a、b、r確定,a,b,r分別有3種、4種、2種選法,由分步乘法計數(shù)原理,表示不同的圓的個數(shù)為34224(個),典例2,規(guī)律總結(jié)1.應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時,完成這件事情要分幾個步驟,只有每個步驟都完成了,才算完成這件事情,每個步驟缺一不可2利用分步乘法計數(shù)原理解題的一般思路(1)分步:將完成這件事的過程分成若干步;(2)計數(shù):求出每一步中的方法數(shù);(3)結(jié)論:將每一步中的方法數(shù)相乘得最終結(jié)果,跟蹤練習(xí)2(1)有5本書全部借給3名學(xué)生,有不同的借法_種(2)有3名學(xué)生分配到某工廠的5個車間去參加社會實踐,則有不同分配方案_種解析(1)中要完成的事情是把5本書全部借給3名學(xué)生,可分5個步驟完成,每一步把一本書借出去,有3種不同的方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有N3333335243(種)不同的借法(2)中要完成的事情是把3名學(xué)生分配到5個車間中,可分3個步驟完成,每一步分配一名學(xué)生,有5種不同的方法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有N55553125(種)不同的分配方案,243,125,命題方向3兩個基本原理的綜合應(yīng)用,現(xiàn)有5幅不同的國畫,2幅不同的油畫,7幅不同的水彩畫(1)從中任選一幅畫布置房間,有幾種不同的選法?(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間,有幾種不同的選法?(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間,有幾種不同的選法?,典例3,思路分析(1)選一幅國畫布置房間,這件事情可以完成,選一幅油畫布置房間,這件事情也可以完成,因此完成“選一幅畫布置房間”這件事情共分三類(2)選一幅國畫布置房間,布置房間的任務(wù)沒有完成,選一幅油畫布置房間,布置房間的任務(wù)也沒有完成,只有國畫、油畫、水彩畫各選一幅都完成后,布置房間的任務(wù)才算完成,故完成這件事情需分三步(3)“選兩種不同種類的畫”,可以選國畫、油畫;也可以選國畫、水彩畫,如果選了國畫、油畫,則這件事情已經(jīng)完成,故用分類加法計數(shù)原理,在每一類里選一種畫,再選一種畫,兩種畫都選出,這件事情才完成,故用分步乘法計數(shù)原理,因此本題應(yīng)先分類,再分步解決,解析(1)分為三類:從國畫中選,有5種不同的選法;從油畫中選,有2種不同的選法;從水彩畫中選,有7種不同的選法根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有52714種不同的選法(2)分為三步:國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法,根據(jù)分步乘法計數(shù)原理,共有52770種不同的選法(3)分為三類:第一類是一幅選自國畫,一幅選自油畫,由分步乘法計數(shù)原理知,有5210種不同的選法第二類是一幅選自國畫,一幅選自水彩畫,有5735種不同的選法第三類是一幅選自油畫,一幅選自水彩畫,有2714種不同的選法,所以有10351459種不同的選法,規(guī)律總結(jié)應(yīng)用兩個計數(shù)原理解題時的策略(1)確定計數(shù)原理:要分清涉及的問題從大的方面看是利用分類加法計數(shù)原理還是分步乘法計數(shù)原理,還是兩種原理綜合應(yīng)用解題(2)處理好類與步的關(guān)系:對于較為復(fù)雜的題目,在某一類中需要分步計算所用的方法,而在某一步中又可能分類計算所用的方法,兩者要有機結(jié)合(3)注意不重不漏:做到分類類不重,分步步不漏,跟蹤練習(xí)3現(xiàn)有高一四個班的學(xué)生34人,其中一、二、三、四班分別有7人、8人、9人、10人,他們自愿組成數(shù)學(xué)課外小組(1)每班選一名組長,有多少種不同的選法?(2)推選兩人做中心發(fā)言,這兩人需來自不同的班級,有多少種不同的選法?,解析(1)分四步:第一、二、三、四步分別從一、二、三、四班學(xué)生中選一人任組長所以,共有不同的選法N789105040(種)(2)分六類,每類又分兩步:從一、二班學(xué)生中各選1人,有78種不同的選法;從一、三班學(xué)生中各選1人,有79種不同的選法;從一、四班學(xué)生中各選1人,有710種不同的選法;從二、三班學(xué)生中各選1人,有89種不同的選法;從二、四班學(xué)生中各選1人,有810種不同的選法;從三、四班學(xué)生中各選1人,有910種不同的選法所以,共有不同的選法N787971089810910431(種),(1)枚舉法:將各種情況通過樹形圖、表格等方法一一列舉出來它適用于計數(shù)種數(shù)較少的情況,分類計數(shù)時將問題分類實際上就是將分類種數(shù)一一列舉出來枚舉法是一種解決問題的基本方法,當(dāng)計數(shù)的種數(shù)不是很多時,都可以用此方法解決(2)間接法:若計數(shù)時分類較多,或無法直接計算時,可用間接法,先求出沒有限制條件的種數(shù),再減去不滿足條件的種數(shù),解決計數(shù)問題的常用的方法,(3)字典排序法:字典排序法就是把所有的字母分為前后,先排前面的字母,前面的字母排完后再依次排后面的字母,最后的字母排完,則排列結(jié)束利用字典排序法并結(jié)合分步乘法計數(shù)原理可以解決與排列順序有關(guān)的計數(shù)問題,利用字典排序法還可以把這些排列不重不漏地一一列舉出來(4)模型法:模型法就是通過構(gòu)造圖形,利用形象、直觀的圖形幫助我們分析、解決問題的方法模型法是解決計數(shù)問題的重要方法,4個人各寫一張賀年卡,放在一起,然后每個人取一張不是自己的賀年卡,共有多少種不同取法?思路分析可以把4個人編號,用一、二、三、四表示,各自的卡片用1,2,3,4表示,用表格的形式一一列舉出來解析解法一:顯然這個問題難用兩個計數(shù)原理列式計算,但可以把各種方法一一列舉出來,最后再數(shù)出方法種數(shù)把4個人編號為一、二、三、四,他們寫的4張賀年卡依次為1,2,3,4號,則取一張不是自己寫的賀年卡的各種方法全部列舉出來為:,典例4,解法二:將該問題轉(zhuǎn)化為“用1,2,3,4四個數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù),要求1不在個位、2不在十位、3不在百位、4不在千位的四位數(shù)有多少個”因此,可分三步,第一步確定個位數(shù),有3種不同的方法;第二步確定把1放到十位、百位、千位中的任一位上,也有3種不同的方法;第三步,余下的兩個數(shù)字只有一種方法,由分類計數(shù)原理可得不同的分配方法為339種,規(guī)律總結(jié)破解此類看似簡單,實則繁難題的關(guān)鍵是選用“枚舉法”,即可輕松破解用枚舉法需要注意做到不重不漏,跟蹤練習(xí)4某彩票購買規(guī)則規(guī)定:從01到36共36個號中抽出7個號為一注,每注2元某人想從01到10中選出3個連續(xù)的號,從11到20中選2個連續(xù)的號,從21到30中選1個號,從31至36中選1個號組成一注,則這個人把這種特殊要求的號買全,至少要_元解析需分步:第1步,從01到10中選3個連續(xù)的號,有8種選法,第2步,從11到20中選2個連續(xù)的號,有9種選法,第3步,從21到30中選1個號,有10種選法,第4步,從31到36中選1個號,有6種選法,共有N891064320個號,共需要8910628640元,8640,下圖中一共有多少個矩形(頂點不完全相同就視作不同的矩形),混淆分步、分類致誤,典例5,錯解按橫行進行分類:第一類,由A行和B行組成的矩形有15個第二類,由B行和C行組成的矩形有15個第三類,由C行和D行組成的矩形有15個由分類加法原理知,不同的矩形共有15151545個辨析完成一個矩形,既要考慮橫線由哪兩條構(gòu)成,也要考慮豎線由哪兩條構(gòu)成,只有當(dāng)兩條橫線與兩條豎線都確定時,這個矩形才算完成,故這是分步乘法計數(shù)原理,正解我們只要在A、B、C、D四條橫線中選取2條,在1、2、3、4、5、6這6條豎線中選取兩條,就能確定一個矩形,如圖中矩形B2D2D5B5是由橫線B2B5、D2D5和豎線B2D2、B5D5圍成的,選取橫線有AB、AC、AD、BC、BD、CD共6種不同方法,選取豎線有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15種不同方法,由分步乘計數(shù)原理知,共有不同的矩形61590個點評解答計數(shù)原理問題時,一定要分清完成“這件事”是分步,還是分類,每一步(類)的具體情形如何計算本例中任意兩條橫線與兩條豎線都能圍成一個矩形,而不是只有相鄰的橫線和豎線的情形,跟蹤練習(xí)5從3,2,1,0,1,2,3中,任取3個不同的數(shù)作為拋物線方程yax2bxc的系數(shù),如果拋物線經(jīng)過原點,且頂點在第一象限,則這樣的拋物線共有多少條?,由c0,解得a0,所以a3,2,1,b1,2,3,這樣要求的拋物線的條數(shù)可由a,b,c的取值來確定:第一步:確定a的值,有3種方法;第二步:確定b的值,有3種方法;第三步:確定c的值,有1種方法由分步乘法計數(shù)原理知,表示的不同的拋物線有N3319條,1一個袋子里放有6個球,另一個袋子里放有8個球,每個球各不相同,從兩袋子里各取一個球,不同取法的種數(shù)為()A182B14C48D91解析由分步乘法計數(shù)原理得不同取法的種數(shù)為6848,故選C,C,D,15,3用1、2、3這3個數(shù)字可以寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)_個解析分三類:第一類為一位整數(shù),有3個;第二類為兩位整數(shù),有12,21,13,31,23,32,共6個;第三類為三位整數(shù),有123,132,321,312,231,213,共6個,可寫出沒有重復(fù)數(shù)字的整數(shù)36615個,- 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