2018-2019學年高中數(shù)學 第四章 定積分 4.1 定積分的概念 4.1.1 定積分的背景——面積和路程問題課件 北師大版選修2-2.ppt

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第四章定積分,1定積分的概念,1.1定積分的背景——面積和路程問題,1.了解過剩估計值與不足估計值.2.通過分割自變量的區(qū)間,會用過剩估計值和不足估計值估計曲邊梯形的面積、物體運動的路程.,1.定義:由直線x=a,x=b(a≠b),y=0及曲線y=f(x)所圍成的圖形稱為曲邊梯形.如圖中陰影部分.2.求解估計面積或路程問題的步驟:(1)分割區(qū)間;(2)求面積或路程的過剩估計值;(3)求面積或路程的不足估計值;(4)求估計值的誤差.,,,題型一,題型二,【例1】估計由曲線y=-x2+2,直線x=1,x=0及y=0圍成的圖形的面積,并求出估計值的誤差.(將區(qū)間[0,1]10等分)解首先將區(qū)間[0,1]10等分,如圖①,所求圖形的面積(即曲邊梯形的面積)S的過剩估計值S1=0.2+0.199+0.196+0.191+0.184+0.175+0.164+0.151+0.136+0.119=1.715,如圖②,曲邊梯形的面積S的不足估計值S2=0.199+0.196+…+0.119+0.1=1.615,S1-S2=1.715-1.615=0.1.無論用S1還是用S2來表示曲邊梯形的面積S,誤差都不會超過0.1.,,題型一,題型二,反思當函數(shù)y=f(x)是增函數(shù)時,用第一個分點的函數(shù)值為高作第一個矩形,依次作下去,所得矩形的面積為過剩估計值;用區(qū)間左端點的函數(shù)值為高作第一個矩形,依次作下去,所得矩形的面積為不足估計值.當函數(shù)y=f(x)是減函數(shù)時,正好相反.,題型一,題型二,【變式訓練1】試求由直線y=2x,x=2,x軸圍成的三角形的面積的過剩估計值、不足估計值及估計值的誤差.(將區(qū)間[0,2]6等分),,題型一,題型二,【例2】有一輛汽車在筆直的公路上變速行駛,在時刻t的速度為v(t)=3t2+2(單位:km/h),估計該汽車在0≤t≤2(單位:h)這段時間內行駛的路程S.(將區(qū)間[0,2]10等分)分析:汽車在0≤t≤2這段時間內行駛的路程就是曲線v(t)=3t2+2與直線t=0,t=2,v(t)=0圍成的圖形的面積,所以用估計曲邊梯形面積的方法估計汽車行駛的路程.,,題型一,題型二,解:將區(qū)間[0,2]10等分,則汽車行駛路程的過剩估計值為S1=[3(0.22+0.42+0.62+0.82+12+1.22+1.42+1.62+1.82+22)+20]0.2=13.24(km),不足估計值為s1=[3(0+0.22+0.42+0.62+0.82+12+1.22+1.42+1.62+1.82)+20]0.2=10.84(km).估計值的誤差為S1-s1=13.24-10.84=2.4(km).所以無論用S1還是用s1來表示汽車行駛的路程,誤差都不會超過2.4km.,題型一,題型二,【變式訓練2】一個物體運動的速度為v(t)=20t,t∈[1,2],試估計該物體在這段時間內經過的路程.(將區(qū)間[1,2]5等分)解:將區(qū)間[1,2]5等分,則該物體在這段時間內經過的路程的過剩估計值為S1=20(1.2+1.4+1.6+1.8+2)0.2=32,不足估計值為s1=20(1+1.2+1.4+1.6+1.8)0.2=28.估計值的誤差為S1-s1=32-28=4.所以無論用S1還是用s1來表示該物體在這段時間內經過的路程,誤差都不會超過4.,,12345,,,,,,,12345,,,,,,,12345,,,,,,3在求曲線y=f(x)與直線x=a,x=b(b>a),x軸圍成的平面圖形的面積的估計值時,在分割后的小區(qū)間[xi,xi+1]上的矩形的高()A.只能是f(xi)B.只能是f(xi+1)C.可以為f(xi)或f(xi+1)D.可以為f(a-1)答案:C,,12345,,,,,,4在區(qū)間[0,3]內插入2015個分點,則可得個小區(qū)間,小區(qū)間的長度是.,,12345,,,,,,5在估計由拋物線f(x)=2x2,直線x=0.1,x=0.9以及x軸所圍成的平面圖形的面積時,若將區(qū)間[0.1,0.9]4等分,如圖所示,以小區(qū)間右端點的縱坐標為高,所有小矩形的面積之和為.解析:由題意得S=2(0.32+0.52+0.72+0.92)0.2=0.656.答案:0.656,,,