高一數(shù)學(xué)(人教A版)必修2能力強化提升:2-3-3 直線與平面垂直的性質(zhì)
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一、選擇題 1.如果直線l與平面α不垂直,那么在平面α內(nèi)( ) A.不存在與l垂直的直線 B.存在一條與l垂直的直線 C.存在無數(shù)條與l垂直的直線 D.任意一條都與l垂直 [答案] C [解析] 若l?α,顯然在α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直;若l∥α,過l作平面β∩α=l′,則l∥l′, ∵在α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l′垂直,從而在α內(nèi)存在無數(shù)條直線與l垂直; 若l與α斜交,設(shè)交點為A,在l上任取一點P, 過P作PQ⊥α,垂足為Q,在α內(nèi)存在無數(shù)條直線與AQ垂直,從而存在無數(shù)條直線與直線PA(即l)垂直. 2.過一點和已知平面垂直的直線條數(shù)為( ) A.1條 B.2條 C.無數(shù)條 D.不能確定 [答案] A [解析] 已知:平面α和一點P. 求證:過點P與α垂直的直線只有一條. 證明:不論點P在平面α外或平面α內(nèi),設(shè)PA⊥α,垂足為A(或P).如果過點P還有一條直線PB⊥α,設(shè)PA、PB確定的平面為β,且α∩β=a,于是在平面β內(nèi)過點P有兩條直線PA、PB垂直于交線a,這是不可能的.所以過點P與α垂直的直線只有一條. 3.若兩直線a與b異面,則過a且與b垂直的平面( ) A.有且只有一個 B.可能存在也可能不存在 C.有無數(shù)多個 D.一定不存在 [答案] B [解析] 當(dāng)a⊥b時,有且只有一個. 當(dāng)a與b不垂直時,不存在. 4.已知一平面平行于兩條異面直線,一直線與兩異面直線都垂直,那么這個平面與這條直線的位置關(guān)系是( ) A.平行 B.垂直 C.斜交 D.不能確定 [答案] B [解析] 設(shè)a,b為異面直線,a∥平面α,b∥α,直線l⊥a,l⊥b. 過a作平面β∩α=a′,則a∥a′,∴l(xiāng)⊥a′. 同理過b作平面γ∩α=b′,則l⊥b′, ∵a,b異面,∴a′與b′相交,∴l(xiāng)⊥α. 5.(2012-2013·杭州高二檢測)如下圖,設(shè)平面α∩β=EF,AB⊥α,CD⊥α,垂足分別是B、D,如果增加一個條件,就能推出BD⊥EF,這個條件不可能是下面四個選項中的( ) A.AC⊥β B.AC⊥EF C.AC與BD在β內(nèi)的射影在同一條直線上 D.AC與α、β所成的角相等 [答案] D 6.設(shè)m,n是兩條不同的直線,α,β是兩個不重合的平面,給定下列四個命題,其中真命題的是( ) ①若m⊥n,n?α,則m⊥α; ②若a⊥α,a?β,則α⊥β; ③若m⊥α,n⊥α,則m∥n; ④若m?α,n?β,α∥β,則m∥n. A.①和② B.②和③ C.③和④ D.①和④ [答案] B [解析]?、僦校本€m垂直于平面α內(nèi)的一條直線n,則直線m與平面α不一定垂直,所以①不是真命題;②是平面與平面垂直的判定定理,所以②是真命題.③是直線與平面垂直的性質(zhì)定理,所以③是真命題;④中m與n可能是異面直線,所以④不正確. 7.如下圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若E是A1C1的中點,則直線CE垂直于( ) A.AC B.BD C.A1D D.A1D1 [答案] B [解析] 易得BD⊥面ACC1A1,又CE?面ACC1A1, ∴CE⊥BD. 8.如圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,點P在側(cè)面BCC1B1及其邊界上運動,并且總是保持AP⊥BD1,則動點P的軌跡是( ) A.線段B1C B.線段BC1 C.BB1中點與CC1中點連成的線段 D.BC中點與B1C1中點連成的線段 [答案] A [解析] ∵DD1⊥平面ABCD, ∴D1D⊥AC, 又AC⊥BD,∴AC⊥平面BDD1, ∴AC⊥BD1.同理BD1⊥B1C. 又∵B1C∩AC=C, ∴BD1⊥平面AB1C. 而AP⊥BD1,∴AP?平面AB1C. 又P∈平面BB1C1C,∴P點軌跡為平面AB1C與平面BB1C1C的交線B1C.故選A. 二、填空題 9.已知直線m?平面α,直線n?平面α,m∩n=M,直線a⊥m,a⊥n,直線b⊥m,b⊥n,則直線a,b的位置關(guān)系是________. [答案] 平行 [解析] 由于直線a垂直于平面α內(nèi)的兩條相交直線m,n,則a⊥α.同理,b⊥α,則a∥b. 10.已知AF⊥平面ABCD,DE⊥平面ABCD,如右圖所示,且AF=DE,AD=6,則EF=________. [答案] 6 [解析] ∵AF⊥平面AC,DE⊥平面AC,∴AF∥DE. 又∵AF=DE,∴四邊形ADEF是平行四邊形. ∴EF=AD=6. 11.如圖,PA⊥平面ABC,∠ACB=90°,EF∥PA,則圖中直角三角形的個數(shù)是________. [答案] 6 [解析] 由PA⊥平面ABC,得PA⊥AB,PA⊥AC,PA⊥BC, 又∵BC⊥AC,AC∩PA=A, ∴BC⊥平面PAC,∴BC⊥PC. ∵EF∥PA,PA⊥平面ABC, ∴EF⊥平面ABC, ∴EF⊥BE,EF⊥EC. ∴△PAB,△PAC,△ABC,△PBC,△EFC,△BEF均為直角三角形. 12.△ABC的三個頂點A、B、C到平面α的距離分別為2 cm、3 cm、4cm,且它們在α的同側(cè),則△ABC的重心到平面α的距離為________. [答案] 3 cm [解析] 如圖,設(shè)A、B、C在平面α上的射影分別為A′、B′、C′, △ABC的重心為G,連接CG并延長交AB于中點E, 又設(shè)E、G在平面α上的射影分別為E′、G′, 則E′∈A′B′,G′∈C′E′,EE′=(A′A+B′B)=,CC′=4,CGGE=21,在直角梯形EE′C′C中,可求得GG′=3. 三、解答題 13.如圖,已知AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD,△ACD為等邊三角形,AD=DE=2AB,F(xiàn)為CD的中點. 求證:平面BCE⊥平面CDE. [分析] 由題意易知AF⊥平面CDE,只需在平面BCE中找一直線與AF平行即可. [證明] 取CE的中點G,連接FG,BG,AF. ∵F為CD的中點, ∴GF∥DE,且GF=DE. ∵AB⊥平面ACD,DE⊥平面ACD, ∴AB∥DE.則GF∥AB. 又∵AB=DE,∴GF=AB. 則四邊形GFAB為平行四邊形.于是AF∥BG. ∵△ACD為等邊三角形,F(xiàn)為CD的中點, ∴AF⊥CD. ∵DE⊥平面ACD,AF?平面ACD,∴DE⊥AF. 又∵CD∩DE=D,CD,DE?平面CDE, ∴AF⊥平面CDE. ∵BG∥AF,∴BG⊥平面CDE. ∵BG?平面BCE,∴平面BCE⊥平面CDE. 規(guī)律總結(jié):此類問題是證明兩個平面垂直比較難的問題.證明時要綜合題目中的條件,利用條件和已知定理來證.或者從結(jié)論出發(fā)逆推分析. 14.在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,且四邊形ABCD是矩形,AE⊥PD于E,l⊥平面PCD.求證:l∥AE. [分析] 轉(zhuǎn)化為證明AE⊥平面PCD,進而轉(zhuǎn)化為證明AE垂直于平面PCD內(nèi)的兩條相交直線PD和CD. [證明] ∵PA⊥平面ABCD,CD?平面ABCD, ∴PA⊥CD. 又四邊形ABCD是矩形,∴CD⊥AD,PA∩AD=A,PA?平面PAD,AD?平面PAD, ∴CD⊥平面PAD. 又AE?平面PAD,∴AE⊥DC. 又AE⊥PD,PD∩CD=D,PD?平面PCD,CD?平面PCD,∴AE⊥平面PCD. 又l⊥平面PCD,∴l(xiāng)∥AE. 15.如下圖,正方體ABCD-A1B1C1D1中,EF與異面直線AC,A1D都垂直相交.求證:EF∥BD1. [分析] 轉(zhuǎn)化為證明EF⊥平面AB1C,BD1⊥平面AB1C. [證明] 連接AB1,B1C,BD,B1D1,如圖所示. ∵DD1⊥平面ABCD,AC?平面ABCD, ∴DD1⊥AC. 又AC⊥BD,BD∩DD1=D, ∴AC⊥平面BDD1B1. ∴AC⊥BD1, 同理BD1⊥B1C,又AC∩B1C=C, ∴BD1⊥平面AB1C. ∵EF⊥A1D,且A1D∥B1C, ∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC,AC∩B1C=C, ∴EF⊥平面AB1C.∴EF∥BD1. 規(guī)律總結(jié):當(dāng)題中垂直條件很多,但又需證兩直線的平行關(guān)系時,就要考慮直線與平面垂直的性質(zhì)定理,從而完成垂直向平行的轉(zhuǎn)化. 16.如圖,已知四邊形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分別是AB、PC的中點. (1)求證:MN⊥AB; (2)若PA=AD,求證:MN⊥平面PCD. [證明] (1)取CD的中點E,連接EM、EN, 則CD⊥EM,且EN∥PD. ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD, 又AD⊥DC,PA∩AD=A, ∴CD⊥平面PAD, ∴CD⊥PD,從而CD⊥EN. 又EM∩EN=E,∴CD⊥平面MNE. 因此,MN⊥CD,而CD∥AB, 故MN⊥AB. (2)在Rt△PAD中有PA=AD, 取PD的中點K,連接AK,KN, 則KN綊DC綊AM,且AK⊥PD. ∴四邊形AMNK為平行四邊形,從而MN∥AK. 因此MN⊥PD.由(1)知MN⊥DC,又PD∩DC=D, ∴MN⊥平面PCD.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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