數(shù)學(xué)：第一章《計(jì)數(shù)原理》測(cè)試（2）（新人教A版選修2-3）

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第一章 計(jì)數(shù)原理單元測(cè)試題 時(shí)間:120分鐘,滿分150分 本套題難度適中,主要考查學(xué)生的基本知識(shí)、基本方法、基本能力,如1—9題和13題都是這一部分的基本題目類型,對(duì)排列、組合和二項(xiàng)式定理的基本知識(shí)考查比較全面,且在考查基本知識(shí)的同時(shí),也注重學(xué)生數(shù)學(xué)思想的考查,如10、12、18題考查了學(xué)生分類討論的思想方法,11,14,17,21,22考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法,這些題目需要大家有較高的分析能力和運(yùn)算能力,以及綜合應(yīng)用能力. 一、選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分） 1．5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有（ ） A．10種 B．20種 C．25種 D．32種 2．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有 A．36種 B．48種 C．96種 D．192種 3. 記者要為5名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成一排，2位老人相鄰但不排在兩端，不同的排法共有（　?。? A．1440種 B．960種 C．720種 D．480種 4. 某城市的汽車牌照號(hào)碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成，其中4個(gè)數(shù)字互不相同的牌照號(hào)碼共有（　?。? Ａ．個(gè) Ｂ．個(gè) Ｃ．個(gè) Ｄ．個(gè) 5. 從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有 A 40種 B 60種 C 100種 D 120種 6. 由數(shù)字0，1，2，3，4，5可以組成無重復(fù)數(shù)字且奇偶數(shù)字相間的六位數(shù)的個(gè)數(shù)有( ) A.72　　　　 B.60　　　　 C.48　　　　 D.52 7.用0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的全部五位數(shù)中，若按從小到大的順序排列，則數(shù)字12340應(yīng)是第（　 ）個(gè)數(shù). A.6　　　 B.9　　 C.10　 　　D.8 8.AB和CD為平面內(nèi)兩條相交直線，AB上有m個(gè)點(diǎn)，CD上有n個(gè)點(diǎn)，且兩直線上各有一個(gè)與交點(diǎn)重合，則以這m+n-1個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形的個(gè)數(shù)是( ) A. B. C. D. 9.設(shè),則 的值為( ) A.0　　　　 B.-1　　　　 C.1　　　　　 D. 10. 2006年世界杯參賽球隊(duì)共32支,現(xiàn)分成8個(gè)小組進(jìn)行單循環(huán)賽,決出16強(qiáng)(各組的前2名小組出線),這16個(gè)隊(duì)按照確定的程序進(jìn)行淘汰賽,決出8強(qiáng),再?zèng)Q出4強(qiáng),直到?jīng)Q出冠、亞軍和第三名、第四名，則比賽進(jìn)行的總場(chǎng)數(shù)為( ) A.64 B.72 C.60 D.56 11.用二項(xiàng)式定理計(jì)算9.985，精確到1的近似值為( ) A.99000　 B.99002　　 C.99004　　　 D.99005 12. 從不同號(hào)碼的五雙靴中任取4只，其中恰好有一雙的取法種數(shù)為 （ ） A.120 B.240 C.360 D.72 二、 填空題（本大題共4小題，每小題4分，共16分） 13. 今有2個(gè)紅球、3個(gè)黃球、4個(gè)白球，同色球不加以區(qū)分，將這9個(gè)球排成一列 有　　種不同的方法（用數(shù)字作答）. 14. 用數(shù)字0，1，2，3，4組成沒有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，則其中數(shù)字1，2相鄰的偶數(shù)有　　　個(gè)（用數(shù)字作答）． 15. 若(2x3+)n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，則最小的正整數(shù)n等于 . 16. 從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，則不同的選法共有_____種。（用數(shù)字作答） 三、解答題（本大題共6小題，共74分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。） 17．如圖，電路中共有7個(gè)電阻與一個(gè)電燈A，若燈A不亮，分析因電阻斷路的可能性共有多少種情況。 18．從1到9的九個(gè)數(shù)字中取三個(gè)偶數(shù)四個(gè)奇數(shù)，試問： 　?、倌芙M成多少個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的七位數(shù)？ 　?、谏鲜銎呶粩?shù)中三個(gè)偶數(shù)排在一起的有幾個(gè)？ 　?、墼冖僦械钠呶粩?shù)中，偶數(shù)排在一起、奇數(shù)也排在一起的有幾個(gè)？ 　?、茉冖僦腥我鈨膳既欢疾幌噜彽钠呶粩?shù)有幾個(gè)？ 19．把1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，并把它們按由小到大的順序排列成一個(gè)數(shù)列. （1） 43251是這個(gè)數(shù)列的第幾項(xiàng)？ （2） 這個(gè)數(shù)列的第96項(xiàng)是多少？ （3） 求這個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)和. 20.（本小題滿分12分）求證：能被25整除。 21. （本小題滿分14分）已知的展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和等于展開式中的常數(shù)項(xiàng)，求展開式中含的項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù). 22. （本小題滿分14分）若某一等差數(shù)列的首項(xiàng)為,公差為展開式中的常數(shù)項(xiàng),其中m是除以19的余數(shù)，則此數(shù)列前多少項(xiàng)的和最大？并求出這個(gè)最大值. 單元測(cè)試卷參考答案 排列、組合、二項(xiàng)式定理 一、選擇題：（每題5分，共60分） 1、D　解析：5位同學(xué)報(bào)名參加兩個(gè)課外活動(dòng)小組，每位同學(xué)限報(bào)其中的一個(gè)小組，則不同的報(bào)名方法共有25=32種，選D 2、C　解析．甲、乙、丙3位同學(xué)選修課程，從4門課程中，甲選修2門，乙、丙各選修3門，則不同的選修方案共有種，選C 3、解析：5名志愿者先排成一排，有種方法，2位老人作一組插入其中，且兩位老人有左右順序，共有=960種不同的排法，選B 4、A　解析：某城市的汽車牌照號(hào)碼由2個(gè)英文字母后接4個(gè)數(shù)字組成，其中4個(gè)數(shù)字互不相同的牌照號(hào)碼共有個(gè)，選A 5、B解析：從5位同學(xué)中選派4位同學(xué)在星期五、星期六、星期日參加公益活動(dòng)，每人一天，要求星期五有2人參加，星期六、星期日各有1人參加，則不同的選派方法共有種，選B 6、B 解析:只考慮奇偶相間,則有種不同的排法,其中0在首位的有種不符合題意,所以共有種. 7、C　　解析: 比12340小的分三類:第一類是千位比2小為0,有個(gè); 第二類是千位為2 ,百位比3小為0,有個(gè); 第三類是十位比4小為0,有1個(gè).共有6+2+1=9個(gè),所以12340是第10個(gè)數(shù). 8、D　　解析:在一條線上取2個(gè)點(diǎn)時(shí),另一個(gè)點(diǎn)一定在另一條直線上,且不能是交點(diǎn). 9、C 解析: 由可得: 當(dāng)時(shí), 當(dāng)時(shí), . 10、A 解析:先進(jìn)行單循環(huán)賽,有場(chǎng),在進(jìn)行第一輪淘汰賽,16個(gè)隊(duì)打8場(chǎng),在決出4強(qiáng),打4場(chǎng),再分別舉行2場(chǎng)決出勝負(fù),兩勝者打1場(chǎng)決出冠、亞軍,兩負(fù)者打1場(chǎng)決出三、四名,共舉行:48+8+4+2+1+1=64場(chǎng). 11、C　　解析: . 12、A 解析:先取出一雙有種取法,再?gòu)氖Ｏ碌?雙鞋中取出2雙,而后從每雙中各取一只,有種不同的取法,共有種不同的取法. 二、 填空題(每小題4分，共16分） 13、1260　　解析：　由題意可知，因同色球不加以區(qū)分，實(shí)際上是一個(gè)組合問題，共有 14、24　解析：可以分情況討論：① 若末位數(shù)字為0，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，4，各為1個(gè)數(shù)字，共可以組成個(gè)五位數(shù)；② 若末位數(shù)字為2，則1與它相鄰，其余3個(gè)數(shù)字排列，且0不是首位數(shù)字，則有個(gè)五位數(shù)；③ 若末位數(shù)字為4，則1，2，為一組，且可以交換位置，3，0，各為1個(gè)數(shù)字，且0不是首位數(shù)字，則有=8個(gè)五位數(shù)，所以全部合理的五位數(shù)共有24個(gè) 15、7　解析：若(2x3+)n的展開式中含有常數(shù)項(xiàng)，為常數(shù)項(xiàng)，即=0，當(dāng)n=7，r=6時(shí)成立，最小的正整數(shù)n等于7. 16、36種　　解析．從班委會(huì)5名成員中選出3名，分別擔(dān)任班級(jí)學(xué)習(xí)委員、文娛委員與體育委員，其中甲、乙二人不能擔(dān)任文娛委員，先從其余3人中選出1人擔(dān)任文娛委員，再?gòu)?人中選2人擔(dān)任學(xué)習(xí)委員和體育委員，不同的選法共有種 三、解答題（共六個(gè)小題，滿分74分） 17.解：每個(gè)電阻都有斷路與通路兩種狀態(tài)，圖中從上到下的三條支線路，分別記為支線a、b、c，支線a，b中至少有一個(gè)電阻斷路情況都有22―1=3種；………………………4分 支線c中至少有一個(gè)電阻斷路的情況有22―1=7種，…………………………………6分 每條支線至少有一個(gè)電阻斷路，燈A就不亮， 因此燈A不亮的情況共有3×3×7=63種情況.………………………………………10分 18. 解：①分步完成：第一步在4個(gè)偶數(shù)中取3個(gè)，可有種情況； 第二步在5個(gè)奇數(shù)中取4個(gè)，可有種情況； 第三步3個(gè)偶數(shù)，4個(gè)奇數(shù)進(jìn)行排列，可有種情況， 所以符合題意的七位數(shù)有個(gè)．………3分 　　 ②上述七位數(shù)中，三個(gè)偶數(shù)排在一起的有個(gè)．……6分 ③上述七位數(shù)中，3個(gè)偶數(shù)排在一起，4個(gè)奇數(shù)也排在一起的有 個(gè)．……………………………………………9分 ④上述七位數(shù)中，偶數(shù)都不相鄰，可先把4個(gè)奇數(shù)排好，再將3個(gè)偶數(shù)分別插入5個(gè)空檔，共有個(gè).…………………………………12分 19.解：⑴先考慮大于43251的數(shù)，分為以下三類 第一類：以5打頭的有： =24 第二類：以45打頭的有： =6 第三類：以435打頭的有： =2………………………………2分 故不大于43251的五位數(shù)有：（個(gè)） 即43251是第88項(xiàng).…………………………………………………………………4分 ⑵數(shù)列共有A=120項(xiàng)，96項(xiàng)以后還有120-96=24項(xiàng)， 即比96項(xiàng)所表示的五位數(shù)大的五位數(shù)有24個(gè)， 所以小于以5打頭的五位數(shù)中最大的一個(gè)就是該數(shù)列的第96項(xiàng).即為45321.…8分 ⑶因?yàn)?，2，3，4，5各在萬(wàn)位上時(shí)都有A個(gè)五位數(shù)，所以萬(wàn)位上數(shù)字的和為：（1+2+3+4+5）·A·10000……………………………………………………………10分 同理它們?cè)谇?、十位、個(gè)位上也都有A個(gè)五位數(shù)，所以這個(gè)數(shù)列各項(xiàng)和為： （1+2+3+4+5）·A·（1+10+100+1000+10000） =15×24×11111=3999960……………………………………………………………12分 20.證明:因 ………………3分 ……………………8分 ……………………………………10分 顯然能被25整除,25n能被25整除, 所以能被25整除.…………………………………………………12分 21. 設(shè)的展開式的通項(xiàng)為 .………………………………6分 若它為常數(shù)項(xiàng),則,代入上式. 即常數(shù)項(xiàng)是27，從而可得中n=7，…………………10分 同理由二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式知，含的項(xiàng)是第4項(xiàng)， 其二項(xiàng)式系數(shù)是35.…………………………………………………………14分 22. 由已知得：,又,………………………………2分 所以首項(xiàng).……………………………………………………………………4分 ,所以除以19的余數(shù)是5,即………6分 的展開式的通項(xiàng) , 若它為常數(shù)項(xiàng),則,代入上式. 從而等差數(shù)列的通項(xiàng)公式是：，……………………………………10分 設(shè)其前k項(xiàng)之和最大，則，解得k=25或k=26， 故此數(shù)列的前25項(xiàng)之和與前26項(xiàng)之和相等且最大，.………………………………………14分 8