數(shù)學(xué)：《綜合測試題》（新人教A版選修2-3）

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高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-3）綜合測試題（1） 一、選擇題 1．已知，則方程所表示的不同的圓的個(gè)數(shù)有（　?。? Ａ．3×4×2=24 Ｂ．3×4+2=14 Ｃ．(3+4)×2=14 Ｄ．3+4+2=9 答案：Ａ 2．神六航天員由翟志剛、聶海勝等六人組成，每兩人為一組，若指定翟志剛、聶海勝兩人一定同在一個(gè)小組，則這六人的不同分組方法有（　　） Ａ．48種 Ｂ．36種 Ｃ．6種 Ｄ．3種 答案：Ｄ 3．的展開式中，第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)比第2項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)大44，則展開式中的常數(shù)項(xiàng)是（　?。? Ａ．第3項(xiàng) Ｂ．第4項(xiàng) Ｃ．第7項(xiàng) Ｄ．第8項(xiàng) 答案：Ｂ 4．從標(biāo)有1，2，3，…，9的9張紙片中任取2張，數(shù)字之積為偶數(shù)的概率為（　?。? Ａ．12 Ｂ．718 Ｃ．1318 Ｄ．1118 答案：Ｃ 5．在10個(gè)球中有6個(gè)紅球和4個(gè)白球（各不相同），不放回地依次摸出2個(gè)球，在第一次摸出紅球的條件下，第2次也摸到紅球的概率為（　?。? Ａ．35 Ｂ．25 Ｃ．110 Ｄ．59 答案：Ｄ 6．正態(tài)總體的概率密度函數(shù)為，則總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別為（　　） Ａ．0，8 B．0，4 Ｃ．0，2 Ｄ．0，2 答案：Ｄ 7．在一次試驗(yàn)中，測得的四組值分別是，則y與x之間的回歸直線方程為（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 8．用0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)字組成無重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中恰有一個(gè)偶數(shù)數(shù)字夾在兩個(gè)奇數(shù)數(shù)字之間的五位數(shù)的個(gè)數(shù)是（　?。? Ａ．48 Ｂ．36 Ｃ．28 Ｄ．20 答案：Ｃ 9．若隨機(jī)變量η的分布列如下： 0 1 2 3 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 則當(dāng)時(shí)，實(shí)數(shù)x的取值范圍是（　?。? Ａ．x≤2 Ｂ．1≤x≤2 Ｃ．1＜x≤2 Ｄ．1＜x＜2 答案：Ｃ 10．春節(jié)期間，國人發(fā)短信拜年已成為一種時(shí)尚，若小李的40名同事中，給其發(fā)短信拜年的概率為1，0.8，0.5，0的人數(shù)分別為8，15，14，3（人），則通常情況下，小李應(yīng)收到同事的拜年短信數(shù)為（　?。? Ａ．27 Ｂ．37 Ｃ．38 Ｄ．8 答案：Ａ 11．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為6581，則事件A在1次試驗(yàn)中出現(xiàn)的概率為（　　） Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 12．已知隨機(jī)變量則使取得最大值的k值為（　?。? Ａ．2 Ｂ．3 Ｃ．4 Ｄ．5 答案：Ａ 二、填空題 13．某儀表顯示屏上一排有7個(gè)小孔，每個(gè)小孔可顯示出0或1，若每次顯示其中三個(gè)孔，但相鄰的兩孔不能同時(shí)顯示，則這顯示屏可以顯示的不同信號的種數(shù)有　　　　種． 答案：80 14．已知平面上有20個(gè)不同的點(diǎn)，除去七個(gè)點(diǎn)在一條直線上以外，沒有三個(gè)點(diǎn)共線，過這20個(gè)點(diǎn)中的每兩個(gè)點(diǎn)可以連　　　　條直線． 答案：170 15．某射手射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.9，他連續(xù)射擊4次，且各次射擊是否擊中目標(biāo)相互之間沒有影響，有下列結(jié)論： ①他第3次擊中目標(biāo)的概率是0.9； ②他恰好擊中目標(biāo)3次的概率是0.93×0.1； ③他至少擊中目標(biāo)1次的概率是． 其中正確結(jié)論的序號是　　　　?。▽懗鏊姓_結(jié)論的序號）． 答案：①③ 16．口袋內(nèi)裝有10個(gè)相同的球，其中5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字0，5個(gè)球標(biāo)有數(shù)字1，若從袋中摸出5個(gè)球，那么摸出的5個(gè)球所標(biāo)數(shù)字之和小于2或大于3的概率是　　　?。ㄒ詳?shù)值作答）． 答案： 三、解答題 17．有4個(gè)不同的球，四個(gè)不同的盒子，把球全部放入盒內(nèi)． （1）共有多少種放法？ （2）恰有一個(gè)盒子不放球，有多少種放法？ （3）恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球，有多少種放法？ （4）恰有兩個(gè)盒不放球，有多少種放法？ 解：（1）一個(gè)球一個(gè)球地放到盒子里去，每只球都可有4種獨(dú)立的放法，由分步乘法計(jì)數(shù)原理，放法共有：種． （2）為保證“恰有一個(gè)盒子不放球”，先從四個(gè)盒子中任意拿出去1個(gè)，即將4個(gè)球分成2，1，1的三組，有種分法；然后再從三個(gè)盒子中選一個(gè)放兩個(gè)球，其余兩個(gè)球，兩個(gè)盒子，全排列即可.由分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有放法：種． （3）“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2個(gè)球”，即另外三個(gè)盒子中恰有一個(gè)空盒.因此，“恰有一個(gè)盒內(nèi)放2球”與“恰有一個(gè)盒子不放球”是一回事.故也有144種放法. （4）先從四個(gè)盒子中任意拿走兩個(gè)有種，問題轉(zhuǎn)化為：“4個(gè)球，兩個(gè)盒子，每盒必放球，有幾種放法？”從放球數(shù)目看，可分為（3，1），（2，2）兩類.第一類：可從4個(gè)球中先選3個(gè)，然后放入指定的一個(gè)盒子中即可，有種放法；第二類：有種放法.因此共有種.由分步乘法計(jì)數(shù)原理得“恰有兩個(gè)盒子不放球”的放法有：種． 18．求的展開式中的系數(shù)． 解：解法一：先變形，再部分展開，確定系數(shù). ． 所以是由第一個(gè)括號內(nèi)的1與第二括號內(nèi)的的相乘和第一個(gè)括號內(nèi)的與第二個(gè)括號內(nèi)的相乘后再相加而得到，故的系數(shù)為． 解法二：利用通項(xiàng)公式，因的通項(xiàng)公式為， 的通項(xiàng)公式為， 其中，令， 則或或 故的系數(shù)為． 19．為了調(diào)查胃病是否與生活規(guī)律有關(guān)，某地540名40歲以上的人的調(diào)查結(jié)果如下： 患胃病 未患胃病 合計(jì) 生活不規(guī)律 60 260 320 生活有規(guī)律 20 200 220 合計(jì) 80 460 540 根據(jù)以上數(shù)據(jù)比較這兩種情況，40歲以上的人患胃病與生活規(guī)律有關(guān)嗎？ 解：由公式得 ． ， 我們有99.5%的把握認(rèn)為40歲以上的人患胃病與生活是否有規(guī)律有關(guān)，即生活不規(guī)律的人易患胃病. 20．一個(gè)醫(yī)生已知某種病患者的痊愈率為25%，為實(shí)驗(yàn)一種新藥是否有效，把它給10個(gè)病人服用，且規(guī)定若10個(gè)病人中至少有4個(gè)被治好，則認(rèn)為這種藥有效；反之，則認(rèn)為無效，試求： （1）雖新藥有效，且把痊愈率提高到35%，但通過實(shí)驗(yàn)被否認(rèn)的概率； （2）新藥完全無效，但通過實(shí)驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率． 解：記一個(gè)病人服用該藥痊愈率為事件A，且其概率為p，那么10個(gè)病人服用該藥相當(dāng)于10次獨(dú)立重復(fù)實(shí)驗(yàn). (1) 因新藥有效且p=0.35，故由n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生k次的概率公式知，實(shí)驗(yàn)被否定（即新藥無效）的概率為： ． （2）因新藥無效，故p=0.25，實(shí)驗(yàn)被認(rèn)為有效的概率為： ． 即新藥有效，但被否定的概率約為0.514； 新藥無效，但被認(rèn)為有效的概率約為0.224. 21．兩個(gè)代表隊(duì)進(jìn)行乒乓球?qū)官?，每?duì)三名隊(duì)員，隊(duì)隊(duì)員是，隊(duì)隊(duì)員是，按以往多次比賽的統(tǒng)計(jì)，對陣隊(duì)員之間的勝負(fù)概率如下： 對陣隊(duì)員 隊(duì)隊(duì)員勝的概率 隊(duì)隊(duì)員負(fù)的概率 對 對 對 現(xiàn)按表中對陣方式出場，每場勝隊(duì)得1分，負(fù)隊(duì)得0分，設(shè)A隊(duì)，B隊(duì)最后所得總分分別為． (1)求的概率分布列； (2)求，． 解：（1）的可能取值分別為3，2，1，0． ；； ； ． 由題意知， 所以； ； ； ． 的分布列為 3 2 1 0 的分布列為 0 1 2 3 （2）， 因?yàn)?，所以? 22．某工業(yè)部門進(jìn)行一項(xiàng)研究，分析該部門的產(chǎn)量與生產(chǎn)費(fèi)用之間的關(guān)系，從這個(gè)工業(yè)部門內(nèi)隨機(jī)抽選了10個(gè)企業(yè)作樣本，有如下資料： 產(chǎn)量（千件） 生產(chǎn)費(fèi)用 （千元） 40 150 42 140 48 160 55 170 65 150 產(chǎn)量（千件） 生產(chǎn)費(fèi)用 （千元） 79 162 88 185 100 165 120 190 140 185 完成下列要求： （1）計(jì)算x與y的相關(guān)系數(shù)； （2）對這兩個(gè)變量之間是否線性相關(guān)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)； （3）設(shè)回歸直線方程為，求系數(shù)，． 解：利用回歸分析檢驗(yàn)的步驟，先求相關(guān)系數(shù)，再確定． (1)制表 1 40 150 1600 22500 6000 2 42 140 1764 19600 5880 3 48 160 2304 25600 7680 4 55 170 3025 28900 9350 5 65 150 4225 22500 9750 6 79 162 6241 26244 12798 7 88 185 7744 34225 16280 8 100 165 10000 27225 16500 9 120 190 14400 36100 22800 10 140 185 19600 34225 25900 合計(jì) 777 1657 70903 277119 132938 ， ，， ． 即與的相關(guān)關(guān)系． （2）因?yàn)椋? 所以與之間具有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系． （3），． 高中新課標(biāo)數(shù)學(xué)選修（2-3）綜合測試題（2） 一、選擇題 1．假定有一排蜂房，形狀如圖所示，一只蜜蜂在左下角的蜂房中，由于受了點(diǎn)傷，只能爬，不能飛，而且只能永遠(yuǎn)向右方（包括右上，右下）爬行，從一間蜂房爬到與之相鄰的右方蜂房中去，若從最初位置爬到4號蜂房中，則不同的爬法有（　?。? Ａ．4種 Ｂ．6種 Ｃ．8種 Ｄ．10種 答案：Ｃ 2．乒乓球運(yùn)動(dòng)員10人，其中男女運(yùn)動(dòng)員各5人，從這10名運(yùn)動(dòng)員中選出4人進(jìn)行男女混合雙打比賽，選法種數(shù)為（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 3．已知集合，，從M中選3個(gè)元素，N中選2個(gè)元素，組成一個(gè)含有5個(gè)元素的集合T，則這樣的集合T共有（　?。? Ａ．126個(gè) Ｂ．120個(gè) Ｃ．90個(gè) Ｄ．26個(gè) 答案：Ｃ 4．的展開式中的系數(shù)是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｄ 5．被2006除，所得余數(shù)是（　?。? Ａ．2009 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1 答案：Ｂ 6．市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到一個(gè)是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是（　?。? Ａ．0.665 B．0.56 Ｃ．0.24 Ｄ．0.285 答案：Ａ 7．拋擲甲、乙兩顆骰子，若事件A：“甲骰子的點(diǎn)數(shù)大于4”；事件B：“甲、乙兩骰子的點(diǎn)數(shù)之和等于7”，則的值等于（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ｃ 8．在一次智力競賽的“風(fēng)險(xiǎn)選答”環(huán)節(jié)中，一共為選手準(zhǔn)備了A，B，C三類不同的題目，選手每答對一個(gè)A類、B類、C類的題目，將分別得到300分、200分、100分，但如果答錯(cuò)，則要扣去300分、200分、100分，而選手答對一個(gè)A類、B類、C類題目的概率分別為0.6，0.7，0.8，則就每一次答題而言，選手選擇（　?。╊}目得分的期望值更大一些（　?。? Ａ．A類 Ｂ．B類 Ｃ．C類 Ｄ．都一樣 答案：Ｂ 9．已知ξ的分布列如下： 1 2 3 4 并且，則方差（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 答案：Ａ 10．若且，則等于（　　） Ａ．0.1 Ｂ．0.2 Ｃ．0.3 Ｄ．0.4 答案：Ａ 11．已知x，y之間的一組數(shù)據(jù)： 0 1 2 3 1 3 5 7 則y與x的回歸方程必經(jīng)過（　?。? Ａ．（2，2） Ｂ．（1，3） Ｃ．（1.5，4） Ｄ．(2，5) 答案：Ｃ 12．對于，當(dāng)時(shí)，就約有的把握認(rèn)為“x與y有關(guān)系”（　?。? Ａ．99% Ｂ．99.5% Ｃ．95% Ｄ．90% 答案：Ｄ 二、填空題 13．的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為　　　　（用數(shù)字作答）． 答案：672 14．某國際科研合作項(xiàng)目成員由11個(gè)美國人，4個(gè)法國人和5個(gè)中國人組成．現(xiàn)從中隨機(jī)選出兩位作為成果發(fā)布人，則此兩人不屬于同一個(gè)國家的概率為　　　?。ńY(jié)果用分?jǐn)?shù)表示）． 答案： 15．兩名狙擊手在一次射擊比賽中，狙擊手甲得1分、2分、3分的概率分別為0.4，0.1，0.5；狙擊手乙得1分、2分、3分的概率分別為0.1，0.6，0.3，那么兩名狙擊手獲勝希望大的是　　　?。? 答案：乙 16．空間有6個(gè)點(diǎn)，其中任何三點(diǎn)不共線，任何四點(diǎn)不共面，以其中的四點(diǎn)為頂點(diǎn)共可作出個(gè)四面體，經(jīng)過其中每兩點(diǎn)的直線中，有　　　　對異面直線． 答案：15，45 三、解答題 17．某人手中有5張撲克牌，其中2張為不同花色的2，3張為不同花色的A，他有5次出牌機(jī)會，每次只能出一種點(diǎn)數(shù)的牌，但張數(shù)不限，則有多少種不同的出牌方法？ 解：由于張數(shù)不限，2張2，3張A可以一起出，亦可分幾次出，故考慮按此分類.出牌的方法可分為以下幾類： （1）5張牌全部分開出，有種方法； （2）2張2一起出，3張A一起出，有種方法； （3）2張2一起出，3張A分開出，有種方法； （4）2張2一起出，3張A分兩次出，有種方法； （5）2張2分開出，3張A一起出，有種方法； （6）2張2分開出，3張A分兩次出，有種方法； 因此共有不同的出牌方法種． 18．已知數(shù)列的通項(xiàng)是二項(xiàng)式與的展開式中所有x的次數(shù)相同的各項(xiàng)的系數(shù)之和，求數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和． 解：按及兩個(gè)展開式的升冪表示形式，寫出的各整數(shù)次冪，可知只有當(dāng)中出現(xiàn)的偶數(shù)次冪時(shí)，才能與的的次數(shù)相比較． 由， 可得 ， ， ， ． 19．某休閑場館舉行圣誕酬賓活動(dòng)，每位會員交會員費(fèi)50元，可享受20元的消費(fèi)，并參加一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)，從一個(gè)裝有標(biāo)號分別為1，2，3，4，5，6的6只均勻小球的抽獎(jiǎng)箱中，有放回的抽兩次球，抽得的兩球標(biāo)號之和為12，則獲一等獎(jiǎng)價(jià)值a元的禮品，標(biāo)號之和為11或10，獲二等獎(jiǎng)價(jià)值100元的禮品，標(biāo)號之和小于10不得獎(jiǎng)． (1)求各會員獲獎(jiǎng)的概率； (2)設(shè)場館收益為ξ元，求ξ的分布列；假如場館打算不賠錢，a最多可設(shè)為多少元？ 解：(1)抽兩次得標(biāo)號之和為12的概率為； 抽兩次得標(biāo)號之和為11或10的概率為， 故各會員獲獎(jiǎng)的概率為． （2） 30 由， 得元． 所以最多可設(shè)為580元． 20．在研究某種新藥對豬白痢的防治效果時(shí)到如下數(shù)據(jù)： 存活數(shù) 死亡數(shù) 合計(jì) 未用新藥 101 38 139 用新藥 129 20 149 合計(jì) 230 58 288 試分析新藥對防治豬白痢是否有效？ 解：由公式計(jì)算得， 由于，故可以有的把握認(rèn)為新藥對防治豬白痢是有效的． 21．甲有一個(gè)箱子，里面放有x個(gè)紅球，y個(gè)白球（x，y≥0，且x+y=4）；乙有一個(gè)箱子，里面放有2個(gè)紅球，1個(gè)白球，1個(gè)黃球．現(xiàn)在甲從箱子里任取2個(gè)球，乙從箱子里任取1個(gè)球．若取出的3個(gè)球顏色全不相同，則甲獲勝． (1)試問甲如何安排箱子里兩種顏色球的個(gè)數(shù)，才能使自己獲勝的概率最大？ (2)在（1）的條件下，求取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)的期望． 解：(1)要想使取出的3個(gè)球顏色全不相同，則乙必須取出黃球，甲取出的兩個(gè)球?yàn)橐粋€(gè)紅球一個(gè)白球，乙取出黃球的概率是，甲取出的兩個(gè)球?yàn)橐粋€(gè)紅球一個(gè)白球的概率是 ，所以取出的3個(gè)球顏色全不相同的概率是，即甲獲勝的概率為，由，且，所以，當(dāng)時(shí)取等號，即甲應(yīng)在箱子里放2個(gè)紅球2個(gè)白球才能使自己獲勝的概率最大. (2)設(shè)取出的3個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)為ξ，則ξ的取值為0，1，2，3. ， ， ， ， 所以取出的3個(gè)球中紅球個(gè)數(shù)的期望：． 22．規(guī)定，其中，m為正整數(shù)，且，這是排列數(shù) (n，m是正整數(shù)，且m≤n)的一種推廣． （1）求的值； （2）排列數(shù)的兩個(gè)性質(zhì)：①，② (其中m，n是正整數(shù))．是否都能推廣到(，m是正整數(shù))的情形？若能推廣，寫出推廣的形式并給予證明；若不能，則說明理由； （3）確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間． 解：（1）； （2）性質(zhì)①、②均可推廣，推廣的形式分別是 ①， ②． 事實(shí)上，在①中，當(dāng)時(shí)，左邊， 右邊，等式成立； 在②中，當(dāng)時(shí)，左邊右邊，等式成立； 當(dāng)時(shí)，左邊 右邊， 因此②成立． （3）先求導(dǎo)數(shù)，得． 令，解得或． 因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為增函數(shù)， 當(dāng)時(shí)，函數(shù)也為增函數(shù)， 令，解得， 因此，當(dāng)時(shí)，函數(shù)為減函數(shù)， 函數(shù)的增區(qū)間為，；減區(qū)間為． - 16 -