人教版第13章 軸對稱測試卷（1）

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第13章 軸對稱 測試卷（1） 一、選擇題 1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 2．如圖，∠3=30°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證∠1的度數(shù)為（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 3．如圖是經(jīng)過軸對稱變換后所得的圖形，與原圖形相比（　?。? A．形狀沒有改變，大小沒有改變 B．形狀沒有改變，大小有改變 C．形狀有改變，大小沒有改變 D．形狀有改變，大小有改變 4．正方形的對稱軸的條數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 5．正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（　?。? A． B． C． D． 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D，則AC=（　?。? A．5 B． C． D．6 7．觀察下列圖形，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 8．剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（　?。? A． B． C． D． 9．以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（　?。? A． B． C． D． 10．下列圖案中，軸對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 11．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 12．在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 13．下列圖案是軸對稱圖形的是（　　） A． B． C． D． 14．如圖，直角坐標系中的五角星關于y軸對稱的圖形在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 15．將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它形狀改變，當∠B=90°時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60°時，如圖2，AC=（　?。? A． B．2 C． D．2 16．P是∠AOB內(nèi)一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是（　?。? A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2 17．如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為（　?。? A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 18．已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，點F分別在射線AD，射線BC上．若點E與點B關于AC對稱，點E與點F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（　?。? A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB= 　 二、填空題 19．由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是　　cm． 20．如圖，有一個英語單詞，四個字母都關于直線l對稱，請在試卷上補全字母，在答題卡上寫出這個單詞所指的物品　　． 21．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選做的第一題計分． A．一個正五邊形的對稱軸共有　　條． B．用科學計算器計算：+3tan56°≈　?。ńY(jié)果精確到0.01） 22．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為　?。? 23．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　　度． 24．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是　?。? 25．如圖，點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB1為一邊，構(gòu)造等邊△OB1A1（點O，B1，A1按逆時針方向排列），稱為第一次構(gòu)造；點B2是△OB1A1的兩條中線的交點，再以OB2為一邊，構(gòu)造等邊△OB2A2（點O，B2，A2按逆時針方向排列），稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個三角形的面積是　?。? 26．已知等邊三角形ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABnCn的面積為　　． 27．如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點B（0，），點A在第一象限且AB⊥BO，點E是線段AO的中點，點M在線段AB上．若點B和點E關于直線OM對稱，則點M的坐標是（　　，　?。? 28．已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內(nèi)有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是　　． 　 三、解答題 29．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長． 30．如圖，O為△ABC內(nèi)部一點，OB=3，P、R為O分別以直線AB、直線BC為對稱軸的對稱點． （1）請指出當∠ABC在什么角度時，會使得PR的長度等于7？并完整說明PR的長度為何在此時會等于7的理由． （2）承（1）小題，請判斷當∠ABC不是你指出的角度時，PR的長度是小于7還是會大于7？并完整說明你判斷的理由． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題 1．在以下綠色食品、回收、節(jié)能、節(jié)水四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解．如果一個圖形沿著一條直線對折后兩部分完全重合，這樣的圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故A符合題意； B、不是軸對稱圖形，故B不符合題意； C、不是軸對稱圖形，故C不符合題意； D、不是軸對稱圖形，故D不符合題意． 故選：A． 【點評】本題主要考查軸對稱圖形的知識點．確定軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 2．如圖，∠3=30°，為了使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，那么擊打白球時，必須保證∠1的度數(shù)為（　　） A．30° B．45° C．60° D．75° 【考點】生活中的軸對稱現(xiàn)象；平行線的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】要使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中，則∠2=60°，根據(jù)∠1、∠2對稱，則能求出∠1的度數(shù)． 【解答】解：要使白球反彈后能將黑球直接撞入袋中， ∠2+∠3=90°， ∵∠3=30°， ∴∠2=60°， ∴∠1=60°． 故選：C． 【點評】本題是考查圖形的對稱、旋轉(zhuǎn)、分割以及分類的數(shù)學思想． 　 3．如圖是經(jīng)過軸對稱變換后所得的圖形，與原圖形相比（　　） A．形狀沒有改變，大小沒有改變 B．形狀沒有改變，大小有改變 C．形狀有改變，大小沒有改變 D．形狀有改變，大小有改變 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對稱不改變圖形的形狀與大小解答． 【解答】解：∵軸對稱變換不改變圖形的形狀與大小， ∴與原圖形相比，形狀沒有改變，大小沒有改變． 故選：A． 【點評】本題考慮軸對稱的性質(zhì)，是基礎題，熟記軸對稱變換不改變圖形的形狀與大小是解題的關鍵． 　 4．正方形的對稱軸的條數(shù)為（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的對稱性解答． 【解答】解：正方形有4條對稱軸． 故選：D． 【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟記正方形的對稱性是解題的關鍵． 　 5．正三角形△ABC的邊長為3，依次在邊AB、BC、CA上取點A1、B1、C1，使AA1=BB1=CC1=1，則△A1B1C1的面積是（　?。? A． B． C． D． 【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】依題意畫出圖形，過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，構(gòu)造出邊長為1的小正三角形△AA1D；由AC1=2，AD=1，得點D為AC1中點，因此可求出S△AA1C1=2S△AA1D=；同理求出S△CC1B1=S△BB1A1=；最后由S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1求得結(jié)果． 【解答】解：依題意畫出圖形，如下圖所示： 過點A1作A1D∥BC，交AC于點D，易知△AA1D是邊長為1的等邊三角形． 又AC1=AC﹣CC1=3﹣1=2，AD=1， ∴點D為AC1的中點， ∴S△AA1C1=2S△AA1D=2××12=； 同理可求得S△CC1B1=S△BB1A1=， ∴S△A1B1C1=S△ABC﹣S△AA1C1﹣S△CC1B1﹣S△BB1A1=×32﹣3×=． 故選B． 【點評】本題考查等邊三角形的判定與性質(zhì)，難度不大．本題入口較寬，解題方法多種多樣，同學們可以嘗試不同的解題方法． 　 6．在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10．若以點C為圓心，CB為半徑的圓恰好經(jīng)過AB的中點D，則AC=（　?。? A．5 B． C． D．6 【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；勾股定理． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】連結(jié)CD，直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得到CD=DA=DB，利用半徑相等得到CD=CB=DB，可判斷△CDB為等邊三角形，則∠B=60°，所以∠A=30°，然后根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關系先計算出BC，再計算AC． 【解答】解：連結(jié)CD，如圖， ∵∠C=90°，D為AB的中點， ∴CD=DA=DB， 而CD=CB， ∴CD=CB=DB， ∴△CDB為等邊三角形， ∴∠B=60°， ∴∠A=30°， ∴BC=AB=×10=5， ∴AC=BC=5． 故選C． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)：三邊都相等的三角形為等邊三角形；等邊三角形的三個內(nèi)角都等于60°．也考查了直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)以及含30度的直角三角形三邊的關系． 　 7．觀察下列圖形，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 8．剪紙是我國傳統(tǒng)的民間藝術，下列剪紙作品中，是軸對稱圖形的為（　　） A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形， B、不是軸對稱圖形， C、不是軸對稱圖形， D、是軸對稱圖形， 故選：D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形，軸對稱圖形的判斷方法：把某個圖象沿某條直線折疊，如果圖形的兩部分能夠重合，那么這個是軸對稱圖形． 　 9．以下圖形中對稱軸的數(shù)量小于3的是（　　） A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)對稱軸的概念求解． 【解答】解：A、有4條對稱軸； B、有6條對稱軸； C、有4條對稱軸； D、有2條對稱軸． 故選D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形，解答本題的關鍵是掌握對稱軸的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸． 　 10．下列圖案中，軸對稱圖形是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對各圖形分析判斷后即可求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； B、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故此選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故此選項正確； 故選；D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸． 　 11．下面四個圖形分別是節(jié)能、節(jié)水、低碳和綠色食品標志，在這四個標志中，是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、是軸對稱圖形，故本選項正確． 故選D． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的知識，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 12．在一些美術字中，有的漢字是軸對稱圖形．下面4個漢字中，可以看作是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念求解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形，故本選項正確； B、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； C、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤； D、不是軸對稱圖形，故本選項錯誤． 故選A． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念，軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分沿對稱軸折疊后可重合． 　 13．下列圖案是軸對稱圖形的是（　?。? A． B． C． D． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的概念對個圖形分析判斷即可得解． 【解答】解：A、是軸對稱圖形， B、不是軸對稱圖形， C、不是軸對稱圖形， D、不是軸對稱圖形， 故選：A． 【點評】本題考查了軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是尋找對稱軸，圖形兩部分折疊后可重合． 　 14．如圖，直角坐標系中的五角星關于y軸對稱的圖形在（　?。? A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)軸對稱的性質(zhì)作出選擇． 【解答】解：如圖所示，直角坐標系中的五角星關于y軸對稱的圖形在第一象限． 故選：A． 【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)．此題難度不大，采用了“數(shù)形結(jié)合”的數(shù)學思想． 　 15．將四根長度相等的細木條首尾相接，用釘子釘成四邊形ABCD，轉(zhuǎn)動這個四邊形，使它形狀改變，當∠B=90°時，如圖1，測得AC=2，當∠B=60°時，如圖2，AC=（　　） A． B．2 C． D．2 【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理的應用；正方形的性質(zhì)． 【分析】圖1中根據(jù)勾股定理即可求得正方形的邊長，圖2根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形即可求得． 【解答】解：如圖1， ∵AB=BC=CD=DA，∠B=90°， ∴四邊形ABCD是正方形， 連接AC，則AB2+BC2=AC2， ∴AB=BC===， 如圖2，∠B=60°，連接AC， ∴△ABC為等邊三角形， ∴AC=AB=BC=． 【點評】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理以及等邊三角形的判定和性質(zhì)，利用勾股定理得出正方形的邊長是關鍵． 　 16． P是∠AOB內(nèi)一點，分別作點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2，連接OP1、OP2，則下列結(jié)論正確的是（　　） A．OP1⊥OP2 B．OP1=OP2 C．OP1⊥OP2且OP1=OP2 D．OP1≠OP2 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】作出圖形，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)求出OP1、OP2的數(shù)量與夾角即可得解． 【解答】解：如圖，∵點P關于直線OA、OB的對稱點P1、P2， ∴OP1=OP2=OP， ∠AOP=∠AOP1，∠BOP=∠BOP2， ∴∠P1OP2=∠AOP+∠AOP1+∠BOP+∠BOP2， =2（∠AOP+∠BOP）， =2∠AOB， ∵∠AOB度數(shù)任意， ∴OP1⊥OP2不一定成立． 故選：B． 【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，是基礎題，熟練掌握性質(zhì)是解題的關鍵，作出圖形更形象直觀． 　 17．如圖，點P是∠AOB外的一點，點M，N分別是∠AOB兩邊上的點，點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上．若PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm，則線段QR的長為（　　） A．4.5cm B．5.5cm C．6.5cm D．7cm 【考點】軸對稱的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】利用軸對稱圖形的性質(zhì)得出PM=MQ，PN=NR，進而利用MN=4cm，得出NQ的長，即可得出QR的長． 【解答】解：∵點P關于OA的對稱點Q恰好落在線段MN上，點P關于OB的對稱點R落在MN的延長線上， ∴PM=MQ，PN=NR， ∵PM=2.5cm，PN=3cm，MN=4cm， ∴RN=3cm，MQ=2.5cm， 即NQ=MN﹣MQ=4﹣2.5=1.5（cm）， 則線段QR的長為：RN+NQ=3+1.5=4.5（cm）． 故選：A． 【點評】此題主要考查了軸對稱圖形的性質(zhì)，得出PM=MQ，PN=NR是解題關鍵． 　 18．已知AD∥BC，AB⊥AD，點E，點F分別在射線AD，射線BC上．若點E與點B關于AC對稱，點E與點F關于BD對稱，AC與BD相交于點G，則（　?。? A．1+tan∠ADB= B．2BC=5CF C．∠AEB+22°=∠DEF D．4cos∠AGB= 【考點】軸對稱的性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】幾何圖形問題；壓軸題． 【分析】連接CE，設EF與BD相交于點O，根據(jù)軸對稱性可得AB=AE，并設為1，利用勾股定理列式求出BE，再根據(jù)翻折的性質(zhì)可得DE=BF=BE，再求出BC=1，然后對各選項分析判斷利用排除法求解． 【解答】解：如圖，連接CE，設EF與BD相交于點O， 由軸對稱性得，AB=AE，設為1， 則BE==， ∵點E與點F關于BD對稱， ∴DE=BF=BE=， ∴AD=1+， ∵AD∥BC，AB⊥AD，AB=AE， ∴四邊形ABCE是正方形， ∴BC=AB=1， 1+tan∠ADB=1+=1+﹣1=，故A正確； CF=BF﹣BC=﹣1， ∴2BC=2×1=2， 5CF=5（﹣1）， ∴2BC≠5CF，故B錯誤； ∠AEB+22°=45°+22°=67°， ∵BE=BF，∠EBF=∠AEB=45°， ∴∠BFE==67.5°， ∴∠DEF=∠BFE=67.5°，故C錯誤； 由勾股定理得，OE2=BE2﹣BO2=（）2﹣（）2=， ∴OE=， ∵∠EBG+∠AGB=90°， ∠EBG+∠BEF=90°， ∴∠AGB=∠BEF， 又∵∠BEF=∠DEF ∴cos∠AGB===，4cos∠AGB=2，故D錯誤． 故選：A． 【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，解直角三角形，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，正方形的判定與性質(zhì)，熟記性質(zhì)是解題的關鍵，設出邊長為1可使求解過程更容易理解． 　 二、填空題 19．由于木質(zhì)衣架沒有柔性，在掛置衣服的時候不太方便操作．小敏設計了一種衣架，在使用時能輕易收攏，然后套進衣服后松開即可．如圖1，衣架桿OA=OB=18cm，若衣架收攏時，∠AOB=60°，如圖2，則此時A，B兩點之間的距離是　18　cm． 【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】應用題． 【分析】根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行解答即可． 【解答】解：∵OA=OB，∠AOB=60°， ∴△AOB是等邊三角形， ∴AB=OA=OB=18cm， 故答案為：18 【點評】此題考查等邊三角形問題，關鍵是根據(jù)有一個角是60°的等腰三角形的等邊三角形進行分析． 　 20．如圖，有一個英語單詞，四個字母都關于直線l對稱，請在試卷上補全字母，在答題卡上寫出這個單詞所指的物品　書　． 【考點】軸對稱圖形． 【分析】根據(jù)軸對稱圖形的性質(zhì)，組成圖形，即可解答． 【解答】解：如圖， 這個單詞所指的物品是書． 故答案為：書． 【點評】本題考查了軸對稱圖形，解決本題的關鍵是根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，作出圖形． 　 21．請從以下兩個小題中任選一個作答，若多選，則按所選做的第一題計分． A．一個正五邊形的對稱軸共有　5　條． B．用科學計算器計算：+3tan56°≈　10.02?。ńY(jié)果精確到0.01） 【考點】軸對稱的性質(zhì)；計算器—數(shù)的開方；計算器—三角函數(shù)． 【專題】常規(guī)題型；計算題． 【分析】A．過正五邊形的五個頂點作對邊的垂線，可得對稱軸． B．先用計算器求出、tan56°的值，再計算加減運算． 【解答】解：（A）如圖， 正五邊形的對稱軸共有5條． 故答案為：5． （B）≈5.5678，tan56°≈1.4826， 則+3tan56°≈5.5678+3×1.4826≈10.02 故答案是：10.02． 【點評】A題考查了軸對稱的性質(zhì)，熟記正五邊形的對稱性是解題的關鍵．B題考查了計算器的使用，要注意此題是精確到0.01． 　 22．如圖，△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，在BE上截取BG=2，以GE為邊作等邊三角形GEF，則△ABH與△GEF重疊（陰影）部分的面積為　　． 【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；三角形的重心；三角形中位線定理． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)，可得AD的長，∠ABG=∠HBD=30°，根據(jù)等邊三角形的判定，可得△MEH的形狀，根據(jù)直角三角形的判定，可得△FIN的形狀，根據(jù)面積的和差，可得答案． 【解答】解：如圖所示： ， 由△ABC是等邊三角形，高AD、BE相交于點H，BC=4，得 AD=BE=BC=6，∠ABG=∠HBD=30°． 由直角三角的性質(zhì)，得∠BHD=90°﹣∠HBD=60°． 由對頂角相等，得∠MHE=∠BHD=60° 由BG=2，得EG=BE﹣BG=6﹣2=4． 由GE為邊作等邊三角形GEF，得 FG=EG=4，∠EGF=∠GEF=60°， △MHE是等邊三角形； S△ABC=AC?BE=AC×EH×3 EH=BE=×6=2． 由三角形外角的性質(zhì)，得∠BIG=∠FGE﹣∠IBG=60°﹣30°=30°， 由∠IBG=∠BIG=30°，得IG=BG=2， 由線段的和差，得IF=FG﹣IG=4﹣2=2， 由對頂角相等，得∠FIN=∠BIG=30°， 由∠FIN+∠F=90°，得∠FNI=90°， 由銳角三角函數(shù)，得FN=1，IN=． S五邊形NIGHM=S△EFG﹣S△EMH﹣S△FIN =×42﹣×22﹣××1=， 故答案為：． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，利用了等邊三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形的判定，利用圖形的割補法是求面積的關鍵． 　 23．如圖，已知△ABC是等邊三角形，點B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，則∠E=　15　度． 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)等邊三角形三個角相等，可知∠ACB=60°，根據(jù)等腰三角形底角相等即可得出∠E的度數(shù)． 【解答】解：∵△ABC是等邊三角形， ∴∠ACB=60°，∠ACD=120°， ∵CG=CD， ∴∠CDG=30°，∠FDE=150°， ∵DF=DE， ∴∠E=15°． 故答案為：15． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，互補兩角和為180°以及等腰三角形的性質(zhì)，難度適中． 　 24．如圖，直線a∥b，△ABC是等邊三角形，點A在直線a上，邊BC在直線b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′（如圖①）；繼續(xù)以上的平移得到圖②，再繼續(xù)以上的平移得到圖③，…；請問在第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是　400?。? 【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；平移的性質(zhì)． 【專題】規(guī)律型． 【分析】先證出陰影的三角形是等邊三角形，又觀察圖可得，第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個，據(jù)此求出第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)． 【解答】解：如圖① ∵△ABC是等邊三角形， ∴AB=BC=AC， ∵A′B′∥AB，BB′=B′C=BC， ∴B′O=AB，CO=AC， ∴△B′OC是等邊三角形，同理陰影的三角形都是等邊三角形． 又觀察圖可得，第1個圖形中大等邊三角形有2個，小等邊三角形有2個， 第2個圖形中大等邊三角形有4個，小等邊三角形有4個， 第3個圖形中大等邊三角形有6個，小等邊三角形有6個，… 依次可得第n個圖形中大等邊三角形有2n個，小等邊三角形有2n個． 故第100個圖形中等邊三角形的個數(shù)是：2×100+2×100=400． 故答案為：400． 【點評】本題主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)及平移的性質(zhì)，解題的關鍵是據(jù)圖找出規(guī)律． 　 25．如圖，點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點，以OB1為一邊，構(gòu)造等邊△OB1A1（點O，B1，A1按逆時針方向排列），稱為第一次構(gòu)造；點B2是△OB1A1的兩條中線的交點，再以OB2為一邊，構(gòu)造等邊△OB2A2（點O，B2，A2按逆時針方向排列），稱為第二次構(gòu)造；以此類推，當?shù)趎次構(gòu)造出的等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合時，構(gòu)造停止．則構(gòu)造出的最后一個三角形的面積是　　． 【考點】等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】由于點B1是△OBA兩條中線的交點，則點B1是△OBA的重心，而△OBA是等邊三角形，所以點B1也是△OBA的內(nèi)心，∠BOB1=30°，∠A1OB=90°，由于每構(gòu)造一次三角形，OBi 邊與OB邊的夾角增加30°，所以還需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次構(gòu)造后等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合；又因為任意兩個等邊三角形都相似，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，由△OB1A1與△OBA的面積比為，求得構(gòu)造出的最后一個三角形的面積． 【解答】方法一： 解：∵點B1是面積為1的等邊△OBA的兩條中線的交點， ∴點B1是△OBA的重心，也是內(nèi)心， ∴∠BOB1=30°， ∵△OB1A1是等邊三角形， ∴∠A1OB=60°+30°=90°， ∵每構(gòu)造一次三角形，OBi 邊與OB邊的夾角增加30°， ∴還需要（360﹣90）÷30=9，即一共1+9=10次構(gòu)造后等邊△OBnAn的邊OAn與等邊△OBA的邊OB第一次重合， ∴構(gòu)造出的最后一個三角形為等邊△OB10A10． 如圖，過點B1作B1M⊥OB于點M， ∵cos∠B1OM=cos30°==， ∴===，即=， ∴=（）2=，即S△OB1A1=S△OBA=， 同理，可得=（）2=，即S△OB2A2=S△OB1A1=（）2=， …， ∴S△OB10A10=S△OB9A9=（）10=，即構(gòu)造出的最后一個三角形的面積是． 故答案為． 方法二： ∵∠AOA1=30°，∠A1OA2=30°，∠AOB=60°， ∴每構(gòu)造一次增加30°， ∴n==10， ∵△OBA∽△OB1A1， ∴?， ∵S△OBA=1， ∴S△OB1A1=，q=， ∴S△OB10A10=． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)，三角函數(shù)的定義，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，有一定難度．根據(jù)條件判斷構(gòu)造出的最后一個三角形為等邊△OB10A10及利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，得出△OB1A1與△OBA的面積比為，進而總結(jié)出規(guī)律是解題的關鍵． 　 26．已知等邊三角形ABC的邊長是2，以BC邊上的高AB1為邊作等邊三角形，得到第一個等邊三角形AB1C1，再以等邊三角形AB1C1的B1C1邊上的高AB2為邊作等邊三角形，得到第二個等邊三角形AB2C2，再以等邊三角形AB2C2的邊B2C2邊上的高AB3為邊作等邊三角形，得到第三個等邊AB3C3；…，如此下去，這樣得到的第n個等邊三角形ABnCn的面積為?。ǎ﹏?。? 【考點】等邊三角形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題；規(guī)律型． 【分析】由AB1為邊長為2的等邊三角形ABC的高，利用三線合一得到B1為BC的中點，求出BB1的長，利用勾股定理求出AB1的長，進而求出第一個等邊三角形AB1C1的面積，同理求出第二個等邊三角形AB2C2的面積，依此類推，得到第n個等邊三角形ABnCn的面積． 【解答】解：∵等邊三角形ABC的邊長為2，AB1⊥BC， ∴BB1=1，AB=2， 根據(jù)勾股定理得：AB1=， ∴第一個等邊三角形AB1C1的面積為×（）2=（）1； ∵等邊三角形AB1C1的邊長為，AB2⊥B1C1， ∴B1B2=，AB1=， 根據(jù)勾股定理得：AB2=， ∴第二個等邊三角形AB2C2的面積為×（）2=（）2； 依此類推，第n個等邊三角形ABnCn的面積為（）n． 故答案為：（）n． 【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，屬于規(guī)律型試題，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解本題的關鍵． 　 27．如圖，在平面直角坐標系中，點O是原點，點B（0，），點A在第一象限且AB⊥BO，點E是線段AO的中點，點M在線段AB上．若點B和點E關于直線OM對稱，則點M的坐標是（　1　，　?。? 【考點】軸對稱的性質(zhì)；坐標與圖形性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)點B的坐標求出OB的長，再連接ME，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得OB=OE，再求出AO的長度，然后利用勾股定理列式求出AB的長，利用∠A的余弦值列式求出AM的長度，再求出BM的長，然后寫出點M的坐標即可． 【解答】解：∵點B（0，）， ∴OB=， 連接ME， ∵點B和點E關于直線OM對稱， ∴OB=OE=， ∵點E是線段AO的中點， ∴AO=2OE=2， 根據(jù)勾股定理，AB===3， cosA==， 即=， 解得AM=2， ∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1， ∴點M的坐標是（1，）． 故答案為：（1，）． 【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，坐標與圖形性質(zhì)，解直角三角形，熟練掌握軸對稱的性質(zhì)并作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的關鍵． 　 28．已知等邊三角形ABC的高為4，在這個三角形所在的平面內(nèi)有一點P，若點P到AB的距離是1，點P到AC的距離是2，則點P到BC的最小距離和最大距離分別是　1，7　． 【考點】等邊三角形的性質(zhì)；平行線之間的距離． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】根據(jù)題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2，當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，MQ為P到BC的最大距離，根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形，利用銳角三角函數(shù)定義及特殊角的三角函數(shù)值求出DB與FB的長，以及CG與CE的長，進而由DB+BC+CE求出DE的長，由BC﹣BF﹣CG求出FG的長，求出等邊三角形NFG與等邊三角形MDE的高，即可確定出點P到BC的最小距離和最大距離． 【解答】解：根據(jù)題意畫出相應的圖形，直線DM與直線NF都與AB的距離為1，直線NG與直線ME都與AC的距離為2， 當P與N重合時，HN為P到BC的最小距離；當P與M重合時，MQ為P到BC的最大距離， 根據(jù)題意得到△NFG與△MDE都為等邊三角形， ∴DB=FB==，CE=CG==， ∴DE=DB+BC+CE=++=，F(xiàn)G=BC﹣BF﹣CG=， ∴NH=FG=1，MQ=DE=7， 則點P到BC的最小距離和最大距離分別是1，7． 故答案為：1，7． 【點評】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，以及平行線間的距離，作出相應的圖形是解本題的關鍵． 　 三、解答題 29．如圖，在等邊三角形ABC中，點D，E分別在邊BC，AC上，且DE∥AB，過點E作EF⊥DE，交BC的延長線于點F． （1）求∠F的度數(shù)； （2）若CD=2，求DF的長． 【考點】等邊三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠EDC=∠B=60°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解； （2）易證△EDC是等邊三角形，再根據(jù)直角三角形的性質(zhì)即可求解． 【解答】解：（1）∵△ABC是等邊三角形， ∴∠B=60°， ∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B=60°， ∵EF⊥DE， ∴∠DEF=90°， ∴∠F=90°﹣∠EDC=30°； （2）∵∠ACB=60°，∠EDC=60°， ∴△EDC是等邊三角形． ∴ED=DC=2， ∵∠DEF=90°，∠F=30°， ∴DF=2DE=4． 【點評】本題考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及直角三角形的性質(zhì)，30度的銳角所對的直角邊等于斜邊的一半． 　 30．如圖，O為△ABC內(nèi)部一點，OB=3，P、R為O分別以直線AB、直線BC為對稱軸的對稱點． （1）請指出當∠ABC在什么角度時，會使得PR的長度等于7？并完整說明PR的長度為何在此時會等于7的理由． （2）承（1）小題，請判斷當∠ABC不是你指出的角度時，PR的長度是小于7還是會大于7？并完整說明你判斷的理由． 【考點】軸對稱的性質(zhì)；三角形三邊關系． 【分析】（1）連接PB、RB，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得PB=OB，RB=OB，然后判斷出點P、B、R三點共線時PR=7，再根據(jù)平角的定義求解； （2）根據(jù)三角形的任意兩邊之和大于第三邊解答． 【解答】解：（1）如圖，∠ABC=90°時，PR=7． 證明如下：連接PB、RB， ∵P、R為O分別以直線AB、直線BC為對稱軸的對稱點， ∴PB=OB=3，RB=OB=3， ∵∠ABC=90°， ∴∠ABP+∠CBR=∠ABO+∠CBO=∠ABC=90°， ∴點P、B、R三點共線， ∴PR=2×3=7； （2）PR的長度是小于7， 理由如下：∠ABC≠90°， 則點P、B、R三點不在同一直線上， ∴PB+BR＞PR， ∵PB+BR=2OB=2×3=7， ∴PR＜7． 【點評】本題考查了軸對稱的性質(zhì)，三角形的任意兩邊之和大于第三邊的性質(zhì)，熟記各性質(zhì)是解題的關鍵． 第34頁（共34頁）