高考圓錐曲線題型歸類總結.doc
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圓錐曲線的七種??碱}型 題型一:定義的應用 1、 圓錐曲線的定義: (1)橢圓 (2)雙曲線 (3)拋物線 2、定義的應用 (1)尋找符合條件的等量關系 (2)等價轉換,數(shù)形結合 3、定義的適用條件: 典型例題 例1、動圓M與圓C1:內切,與圓C2:外切,求圓心M的軌跡方程。 例2、方程表示的曲線是 題型二:圓錐曲線焦點位置的判斷(首先化成標準方程,然后再判斷): 1、 橢圓:由分母的大小決定,焦點在分母大的坐標軸上。 2、 雙曲線:由系數(shù)的正負決定,焦點在系數(shù)為正的坐標軸上; 3、 拋物線:焦點在一次項的坐標軸上,一次項的符號決定開口方向。 典型例題 例1、已知方程表示焦點在y軸上的橢圓,則m的取值范圍是 例2、當k為何值時,方程表示的曲線: (1)是橢圓;(2)是雙曲線. 題型三:圓錐曲線焦點三角形(橢圓或雙曲線上的一點與兩焦點所構成的三角形)問題 1、 常利用定義和正弦、余弦定理求解 2、 ,四者的關系在圓錐曲線中的應用 典型例題 例1、橢圓上一點P與兩個焦點的張角, 求的面積。 例2、已知雙曲線的離心率為2,F(xiàn)1、F2是左右焦點,P為雙曲線上一點,且,.求該雙曲線的標準方程 題型四:圓錐曲線中離心率,漸近線的求法 1、a,b,c三者知道任意兩個或三個的相等關系式,可求離心率,漸進線的值; 2、a,b,c三者知道任意兩個或三個的不等關系式,可求離心率,漸進線的最值或范圍; 3、注重數(shù)形結合思想不等式解法 典型例題 例1、已知、是雙曲線()的兩焦點,以線段為邊作正三角形,若邊的中點在雙曲線上,則雙曲線的離心率是( ) A. B. C. D. 例2、雙曲線的兩個焦點為F1、F2,若P為其上一點,且|PF1|=2|PF2|,則雙曲線離心率的取值范圍為 A. (1,3) B. C.(3,+) D. 例3、橢圓:的兩焦點為,橢圓上存在 點使. 求橢圓離心率的取值范圍; 例4、已知雙曲線的右焦點為F,若過點F且傾斜角為的直線 與雙曲線的右支有且只有一個交點,則此雙曲線離心率的取值范圍是 (A) ?。˙) ?。–) ?。―) 題型五:點、直線與圓錐的位置關系判斷 1、 點與橢圓的位置關系 點在橢圓內 點在橢圓上 點在橢圓外 2、直線與圓錐曲線有無公共點或有幾個公共點的問題: >0相交 =0相切 (需要注意二次項系數(shù)為0的情況) <0相離 3、弦長公式: 4、圓錐曲線的中點弦問題: 1、 韋達定理: 2、 點差法: (1) 帶點進圓錐曲線方程,做差化簡 (2) 得到中點坐標比值與直線斜率的等式關系 典型例題 例1、雙曲線x2-4y2=4的弦AB-被點M(3,-1)平分,求直線AB的方程. 例2、已知中心在原點,對稱軸在坐標軸上的橢圓與直線l:x+y=1交于A,B兩點,C是AB的中點,若|AB|=2,O為坐標原點,OC的斜率為,求橢圓的方程。 題型六:動點軌跡方程: 1、求軌跡方程的步驟:建系、設點、列式、化簡、確定點的范圍;? 2、求軌跡方程的常用方法: (1)直接法:直接利用條件建立之間的關系; 例1、如已知動點P到定點F(1,0)和直線的距離之和等于4,求P的軌跡方程. (2) 待定系數(shù)法:已知所求曲線的類型,求曲線方程――先根據(jù)條件設出所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù)。 例2、如線段AB過x軸正半軸上一點M(m,0),端點A、B到x軸距離之積為2m,以x軸為對稱軸,過A、O、B三點作拋物線,則此拋物線方程為????????????????? (3) 定義法:先根據(jù)條件得出動點的軌跡是某種已知曲線,再由曲線的定義直接寫出動點的軌跡方程; 例3、由動點P向圓作兩條切線PA、PB,切點分別為A、B,∠APB=600,則動點P的軌跡方程為??????? ??????????? 例4、點M與點F(4,0)的距離比它到直線的距離小于1,則點M的軌跡方程是_______ 例5、一動圓與兩圓⊙M:和⊙N:都外切,則動圓圓心的軌跡為????? ?? ? (4) 代入轉移法:動點依賴于另一動點的變化而變化,并且又在某已知曲線上,則可先用的代數(shù)式表示,再將代入已知曲線得要求的軌跡方程: 例6、如動點P是拋物線上任一點,定點為,點M分所成的比為2,則M的軌跡方程為__________ ? (5)參數(shù)法:當動點坐標之間的關系不易直接找到,也沒有相關動點可用時,可考慮將均用一中間變量(參數(shù))表示,得參數(shù)方程,再消去參數(shù)得普通方程)。 例7、過拋物線的焦點F作直線交拋物線于A、B兩點,則弦AB的中點M的軌跡方程是 題型七:(直線與圓錐曲線常規(guī)解題方法) 一、設直線與方程;(提醒:①設直線時分斜率存在與不存在;②設為y=kx+b與x=my+n的區(qū)別) 二、設交點坐標;(提醒:之所以要設是因為不去求出它,即“設而不求”) 三、聯(lián)立方程組; 四、消元韋達定理;(提醒:拋物線時經常是把拋物線方程代入直線方程反而簡單) 五、根據(jù)條件重轉化;常有以下類型: ①“以弦AB為直徑的圓過點0”(提醒:需討論K是否存在) ②“點在圓內、圓上、圓外問題” “直角、銳角、鈍角問題” “向量的數(shù)量積大于、等于、小于0問題” >0; ③“等角、角平分、角互補問題” 斜率關系(或); ④“共線問題” (如: 數(shù)的角度:坐標表示法;形的角度:距離轉化法); (如:A、O、B三點共線直線OA與OB斜率相等); ⑤“點、線對稱問題” 坐標與斜率關系; ⑥“弦長、面積問題” 轉化為坐標與弦長公式問題(提醒:注意兩個面積公式的合理選擇); 六、化簡與計算; 七、細節(jié)問題不忽略; ①判別式是否已經考慮;②拋物線問題中二次項系數(shù)是否會出現(xiàn)0. 基本解題思想: 1、“常規(guī)求值”問題:需要找等式,“求范圍”問題需要找不等式; 2、“是否存在”問題:當作存在去求,若不存在則計算時自然會無解; 3、證明定值問題的方法:⑴常把變動的元素用參數(shù)表示出來,然后證明計算結果與參數(shù)無關;⑵也可先在特殊條件下求出定值,再給出一般的證明。 4、處理定點問題的方法:⑴常把方程中參數(shù)的同次項集在一起,并令各項的系數(shù)為零,求出定點;⑵也可先取參數(shù)的特殊值探求定點,然后給出證明 5、求最值問題時:將對象表示為變量的函數(shù),幾何法、配方法(轉化為二次函數(shù)的最值)、三角代換法(轉化為三角函數(shù)的最值)、利用切線的方法、利用均值不等式的方法等再解決; 6、轉化思想:有些題思路易成,但難以實施。這就要優(yōu)化方法,才能使計算具有可行性,關鍵是積累“轉化”的經驗; 7、思路問題:大多數(shù)問題只要忠實、準確地將題目每個條件和要求表達出來,即可自然而然產生思路。 典型例題: 例1、已知點,直線:,為平面上的動點,過點作直線的垂線,垂足為,且. (1)求動點的軌跡的方程; (2)已知圓過定點,圓心在軌跡上運動,且圓與軸交于、兩點,設,,求的最大值. 例2、如圖半圓,AB為半圓直徑,O為半圓圓心,且OD⊥AB,Q為線段OD的中點,已知|AB|=4,曲線C過Q點,動點P在曲線C上運動且保持|PA|+|PB|的值不變. (1)建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担笄€C的方程; (2)過D點的直線l與曲線C相交于不同的兩點M、N,且M在D、N之間,設=λ,求λ的取值范圍. 例3、設、分別是橢圓:的左右焦點。 (1)設橢圓上點到兩點、距離和等于,寫出橢圓的方程和焦點坐標; (2)設是(1)中所得橢圓上的動點,求線段的中點的軌跡方程; (3)設點是橢圓上的任意一點,過原點的直線與橢圓相交于,兩點,當直線 , 的斜率都存在,并記為,?,試探究的值是否與點及直線有關,并證明你的結論。 例4、已知橢圓的中心在坐標原點,焦點在軸上,橢圓上的點到焦點距離的最大值為,最小值為. (Ⅰ)求橢圓的標準方程; (Ⅱ)若直線與橢圓相交于,兩點(不是左右頂點),且以為直徑的圓過橢圓的右頂點,求證:直線過定點,并求出該定點的坐標. 例5、已知橢圓兩焦點、在軸上,短軸長為,離心率為,是橢圓在第一 象限弧上一點,且,過P作關于直線F1P對稱的兩條直線PA、PB分別交橢圓 于A、B兩點。 (1)求P點坐標; (2)求證直線AB的斜率為定值; 典型例題: 例1、 由①、②解得,. 不妨設,, ∴,. ∴ , ③ 當時,由③得,. 當且僅當時,等號成立. 當時,由③得,. 故當時,的最大值為. 例2、解:(1)以AB、OD所在直線分別為x軸、y軸,O為原點,建立平面直角坐標系, ∵|PA|+|PB|=|QA|+|QB|=2>|AB|=4. ∴曲線C為以原點為中心,A、B為焦點的橢圓. 設其長半軸為a,短半軸為b,半焦距為c,則2a=2,∴a=,c=2,b=1. ∴曲線C的方程為+y2=1. (2)設直線l的方程為y=kx+2, 代入+y2=1,得(1+5k2)x2+20kx+15=0. Δ=(20k)2-4×15(1+5k2)>0,得k2>.由圖可知=λ 由韋達定理得 將x1=λx2代入得 兩式相除得 ① M在D、N中間,∴λ<1 ② 又∵當k不存在時,顯然λ= (此時直線l與y軸重合) 綜合得:1/3 ≤λ<1. 例3、解:(1)由于點在橢圓上,得2=4, …2分 橢圓C的方程為 ,焦點坐標分別為 ……4分 (2)設的中點為B(x, y)則點 ………………………5分 把K的坐標代入橢圓中得……………7分 線段的中點B的軌跡方程為 ………………………8分 (3)過原點的直線L與橢圓相交的兩點M,N關于坐標原點對稱 設, 在橢圓上,應滿足橢圓方程,得 ……10分 == ……………………………13分 故:的值與點P的位置無關,同時與直線L無關, ………………14分 例4、解:(Ⅰ)橢圓的標準方程為. …………(5分) (Ⅱ)設,, 聯(lián)立得, 又, 因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點, ,即, ,, . 解得:,,且均滿足, 1、當時,的方程為,直線過定點,與已知矛盾; 2、當時,的方程為,直線過定點. 所以,直線過定點,定點坐標為. …………(14分) 例5、解(1)。 ,設 則 點在曲線上,則 從而,得,則點的坐標為 (2)由(1)知軸,直線PA、PB斜率互為相反數(shù),設PB斜率為, 則PB的直線方程為: 由得 設則 同理可得,則 所以:AB的斜率為定值 例6、 解:(1)由, 得……………………3分 ∴夾角的取值范圍是()……6分 (2) ………8分 ………………10分 ∴當且僅當 或 …………12分 橢圓長軸 或 故所求橢圓方程為.或 …………14分- 配套講稿:
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- 高考 圓錐曲線 題型 歸類 總結
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