二項分布經(jīng)典例題+練習題.doc

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。 二項分布 1．次獨立重復(fù)試驗 一般地，由次試驗構(gòu)成，且每次試驗相互獨立完成，每次試驗的結(jié)果僅有兩種對立的狀態(tài)，即與，每次試驗中。我們將這樣的試驗稱為次獨立重復(fù)試驗，也稱為伯努利試驗。 （1）獨立重復(fù)試驗滿足的條件 第一：每次試驗是在同樣條件下進行的；第二：各次試驗中的事件是互相獨立的；第三：每次試驗都只有兩種結(jié)果。 （2）次獨立重復(fù)試驗中事件恰好發(fā)生次的概率。 2．二項分布 若隨機變量的分布列為，其中則稱服從參數(shù)為的二項分布，記作。 1．一盒零件中有9個正品和3個次品，每次取一個零件，如果取出的次品不再放回，求在取得正品前已取出的次品數(shù)的概率分布。 3.甲乙兩人各進行3次射擊，甲每次擊中目標的概率為，乙每次擊中目標的概率為. （1）記甲擊中目標的此時為，求的分布列及數(shù)學期望； （2）求乙至多擊中目標2次的概率； （3）求甲恰好比乙多擊中目標2次的概率. 【鞏固練習】 1.（2012年高考（浙江理））已知箱中裝有4個白球和5個黑球,且規(guī)定:取出一個白球的2分,取出一個黑球的1分.現(xiàn)從該箱中任取(無放回,且每球取到的機會均等)3個球,記隨機變量X為取出3球所得分數(shù)之和. (Ⅰ)求X的分布列; (Ⅱ)求X的數(shù)學期望E(X). 2．（2012年高考（重慶理））(本小題滿分13分,(Ⅰ)小問5分,(Ⅱ)小問8分.) 甲、乙兩人輪流投籃,每人每次投一球,.約定甲先投且先投中者獲勝,一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束.設(shè)甲每次投籃投中的概率為,乙每次投籃投中的概率為,且各次投籃互不影響. (Ⅰ) 求甲獲勝的概率; (Ⅱ) 求投籃結(jié)束時甲的投籃次數(shù)的分布列與期望 3．設(shè)籃球隊與進行比賽，每場比賽均有一隊勝，若有一隊勝場則比賽宣告結(jié)束，假定在每場比賽中獲勝的概率都是，試求需要比賽場數(shù)的期望． 3．（2012年高考（遼寧理））電視傳媒公司為了了解某地區(qū)電視觀眾對某類體育節(jié)目的收視情況,隨機抽取了100名觀眾進行調(diào)查.下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的觀眾日均收看該體育節(jié)目時間的頻率分布直方圖; 將日均收看該體育節(jié)目時間不低于40分鐘的觀眾稱為“體育迷”. (Ⅰ)根據(jù)已知條件完成下面的列聯(lián)表,并據(jù)此資料你是否認為“體育迷”與性別 有關(guān)? (Ⅱ)將上述調(diào)查所得到的頻率視為概率.現(xiàn)在從該地區(qū)大量電視觀眾中,采用隨機抽 樣方法每次抽取1名觀眾,抽取3次,記被抽取的3名觀眾中的“體育迷”人數(shù)為X.若每次抽取的結(jié)果是相互獨立的,求X的分布列,期望和方差. 5.（2007陜西理）某項選拔共有三輪考核，每輪設(shè)有一個問題，能正確回答問題者進入下一輪考試，否則即被淘汰，已知某選手能正確回答第一、二、三輪的問題的概率分別為、、，且各輪問題能否正確回答互不影響. （Ⅰ）求該選手被淘汰的概率； （Ⅱ）該選手在選拔中回答問題的個數(shù)記為ξ，求隨機變量ξ的分布列與數(shù)數(shù)期望.（注：本小題結(jié)果可用分數(shù)表示 6. 一批產(chǎn)品共10件，其中7件正品，3件次品，每次從這批產(chǎn)品中任取一件，在下述三種情況下，分別求直至取得正品時所需次數(shù)的概率分別布. (1)每次取出的產(chǎn)品不再放回去； （2）每次取出的產(chǎn)品仍放回去； （3）每次取出一件次品后，總是另取一件正品放回到這批產(chǎn)品中. 7. （2007?山東）設(shè)b和c分別是先后拋擲一枚骰子得到的點數(shù)，用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)（重根按一個計）． （I）求方程x2+bx+c=0有實根的概率； （II）求ξ的分布列和數(shù)學期望； 8.（本題滿分12分）某商場為吸引顧客消費推出一項優(yōu)惠活動.活動規(guī)則如下：消費額每滿100元可轉(zhuǎn)動如圖所示的轉(zhuǎn)盤一次，并獲得相應(yīng)金額的返券，假定指針等可能地停在任一位置. 若指針停在A區(qū)域返券60元；停在B區(qū)域返券30元；停在C區(qū)域不返券. 例如：消費218元，可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次，所獲得的返券金額是兩次金額之和. （I）若某位顧客消費128元，求返券金額不低于30元的概率； （II）若某位顧客恰好消費280元，并按規(guī)則參與了活動，他獲得返券的金額記為（元），求隨機變量的分布列和數(shù)學期望. 9. (本題滿分12分)中國黃石第三屆國際礦冶文化旅游節(jié)將于2012年8月20日在黃石鐵山舉行，為了搞好接待工作，組委會準備在湖北理工學院和湖北師范學院分別招募8名和12名志愿者，將這20名志愿者的身高編成如下莖葉圖（單位：cm） 湖北理工學院 湖北師范學院 9 9 6　5　0 7　2 1 15 16 17 18 19 8　9 1　2　5　8　9 3　4　6 0　1 若身高在175cm以上（包括175cm）定義為“高個子”，身高在175cm以下（不包括175cm）定義為“非高個子”，且只有湖北師范學院的“高個子”才能擔任“兼職導(dǎo)游”。 （1）根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖指出湖北師范學院志愿者身高的中位數(shù)； （2）如果用分層抽樣的方法從“高個子”和“非高個子”中抽取5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“高個子”的概率是多少？ （3）若從所有“高個子”中選3名志愿者，用表示所選志愿者中能擔任“兼職導(dǎo)游”的人數(shù)，試寫出的分布列，并求的數(shù)學期望。 10.某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標準分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，……，8，其中X≥5為標準A，X≥3為標準B，已知甲廠執(zhí)行標準A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標準B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠得產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標準 （I）已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下所示： 5 6 7 8 P 0．4 a b 0．1 且X1的數(shù)字期望EX1=6，求a，b的值； （II）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學期望. 11. 受轎車在保修期內(nèi)維修費等因素的影響，企業(yè)產(chǎn)生每輛轎車的利潤與該轎車首次出現(xiàn)故障的時間有關(guān)，某轎車制造廠生產(chǎn)甲、乙兩種品牌轎車，保修期均為2年，現(xiàn)從該廠已售出的兩種品牌轎車中隨機抽取50輛，統(tǒng)計書數(shù)據(jù)如下： 將頻率視為概率，解答下列問題： （I）從該廠生產(chǎn)的甲品牌轎車中隨機抽取一輛，求首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率； （II）若該廠生產(chǎn)的轎車均能售出，記住生產(chǎn)一輛甲品牌轎車的利潤為，生產(chǎn)一輛乙品牌轎車的利潤為，分別求，的分布列； （III）該廠預(yù)計今后這兩種品牌轎車銷量相當，由于資金限制，只能生產(chǎn)其中一種品牌轎車，若從經(jīng)濟效益的角度考慮，你認為應(yīng)該產(chǎn)生哪種品牌的轎車？說明理由。 鞏固練習答案 【解析】本題主要考察分布列,數(shù)學期望等知識點. (Ⅰ) X的可能取值有:3,4,5,6. ; ; ; . 故,所求X的分布列為 X 3 4 5 6 P (Ⅱ) 所求X的數(shù)學期望E(X)為: E(X)=. 【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ) . 【考點定位】本題考查離散隨機變量的分布列和期望與相互獨立事件的概率,考查運用概率知識解決實際問題的能力,相互獨立事件是指兩事件發(fā)生的概率互不影響,注意應(yīng)用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式. 解:設(shè)分別表示甲、乙在第次投籃投中,則 ,, (1)記“甲獲勝”為事件C,由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知, (2)的所有可能為: 由獨立性知: 綜上知,有分布列 1 2 3 從而,(次) 3. 解：（1）事件“”表示，勝場或勝場（即負場或負場），且兩兩互斥． ； （2）事件“”表示，在第5場中取勝且前場中勝3場，或在第5場中取勝且前場中勝3場（即第5場負且場中負了3場），且這兩者又是互斥的，所以 （3）類似地，事件“”、 “”的概率分別為 ， 比賽場數(shù)的分布列為 4 5 6 7 故比賽的期望為（場） 這就是說，在比賽雙方實力相當?shù)那闆r下，平均地說，進行6場才能分出勝負． 4.【答案及解析】 (I)由頻率頒布直方圖可知,在抽取的100人中,“體育迷”有25人,從而2×2列聯(lián)表如下: 由2×2列聯(lián)表中數(shù)據(jù)代入公式計算,得: 因為3.030<3.841,所以,沒有理由認為“體育迷”與性別有關(guān). (II)由頻率頒布直方圖知抽到“體育迷”的頻率為0.25,將頻率視為概率,即從觀眾中抽取一名“體育迷”的概率為,由題意, ,從而X的分布列為: 【點評】本題主要考查統(tǒng)計中的頻率分布直方圖、獨立性檢驗、離散型隨機變量的分布列,期望和方差,考查分析解決問題的能力、運算求解能力,難度適中.準確讀取頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)是解題的關(guān)鍵. 5.（Ⅰ）解法一：記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為， 則，，， 該選手被淘汰的概率 ． （Ⅰ）解法二：記“該選手能正確回答第輪的問題”的事件為， 則，，． 該選手被淘汰的概率 ． （Ⅱ）的可能值為，， ， ． 的分布列為 1 2 3 ． 6.（1）X的所有可能值為1，2，3，4。X的分布列為 P(X=1)=7/10， P(X=2)=3/10×7/9=7/30， P(X=3)=3/10×2/9×7/8=7/120， P(X=4)=3/10×2/9×1/8=1/120。 （2）X的所有可能值為1，2，3，4。X的分布列為 P(X=k)= ，k=1，2，3，…… （3）X的所有可能值為1，2，3，4。X的分布列為 P(X=1)=7/10， P(X=2)=3/10×8/10=6/25， P(X=3)=3/10×2/10×9/10=27/500， P(X=4)=3/10×2/10×1/10=3/500。 7. 解：（I）由題意知，本題是一個等可能事件的概率， 試驗發(fā)生包含的基本事件總數(shù)為6×6=36， 滿足條件的事件是使方程有實根，則△=b2-4c≥0，即b≥ 下面針對于c的取值進行討論 當c=1時，b=2，3，4，5，6； 當c=2時，b=3，4，5，6； 當c=3時，b=4，5，6； 當c=4時，b=4，5，6； 當c=5時，b=5，6； 當c=6時，b=5，6， 目標事件個數(shù)為5+4+3+3+2+2=19， 因此方程x2+bx+c=0有實根的概率為 （II）由題意知用隨機變量ξ表示方程x2+bx+c=0實根的個數(shù)得到ξ=0，1，2 根據(jù)第一問做出的結(jié)果得到 則P(ξ=0)= ，P(ξ=1)= =，P(ξ=2)= ， ∴ξ的分布列為 ∴ξ的數(shù)學期望Eξ=0×+1×+2×=1， 8.設(shè)指針落在A,B,C區(qū)域分別記為事件A,B,C. 則. ………………3分 （Ⅰ）若返券金額不低于30元，則指針落在A或B區(qū)域. ………………4分 即消費128元的顧客，返券金額不低于30元的概率是. （Ⅱ）由題意得，該顧客可轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤2次. 隨機變量的可能值為0，30，60，90，120. ………………5分 …………10分 所以，隨機變量的分布列為： 0 30 60 90 120 …………11分 其數(shù)學期望 …………12分 9、解：（1）根據(jù)志愿者的身高編莖葉圖知湖北師范學院志愿者身高的中位數(shù)為：.…2分 （2）由莖葉圖可知，“高個子”有8人，“非高個子”有12人， 按照分層抽樣抽取的5人中“高個子”為人，“非高個子”為人； 則至少有1人為高個子的概率＝1－……6分 （3）由題可知：湖北師范學院的高個子只有3人，則的可能取值為0,1，2,3； 故，，，， 即的分布列為： 0 1 2[來源:Z+xx+k.Com] 3 ＝0＋1＋2＋3＝。 答：（略） ………………12分 10. 解：（I）因為 又由X1的概率分布列得 由 （II）由已知得，樣本的頻率分布表如下： 3 4 5 6 7 8 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下： 3 4 5 6 7 8 P 0．3 0．2 0．2 0．1 0．1 0．1 所以 即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學期望等于4.8. （III）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下： 因為甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的期望數(shù)學等于6，價格為6元/件，所以其性價比為 因為乙廠產(chǎn)呂的等級系數(shù)的期望等于4.8，價格為4元/件，所以其性價比為 據(jù)此，乙廠的產(chǎn)品更具可購買性。 11. （I）首次出現(xiàn)故障發(fā)生在保修期內(nèi)的概率為 （II）隨機變量的分布列為 隨機變量的分布列為 （III）(萬元) (萬元) 所以應(yīng)該生產(chǎn)甲品牌汽車。  THANKS !!! 致力為企業(yè)和個人提供合同協(xié)議，策劃案計劃書，學習課件等等 打造全網(wǎng)一站式需求 歡迎您的下載，資料僅供參考 -可編輯修改-