2013年九年級(jí)上數(shù)學(xué)《相似三角形》期末復(fù)習(xí)題及答案解析.doc
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九年級(jí)數(shù)學(xué)《相似三角形》提優(yōu)訓(xùn)練題 一.選擇題(共10小題) 1.(2013?自貢)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線(xiàn)交BC于E,交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,BG⊥AE于G,BG=,則△EFC的周長(zhǎng)為( ?。? A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 2.(2013?重慶)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在A(yíng)D上,連接CE并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F,若AE=2ED,CD=3cm,則AF的長(zhǎng)為( ) A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 3.(2013?孝感)如圖,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b(a>b).在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE.則EF等于( ?。? A. B. C. D. 4.(2013?咸寧)如圖,正方形ABCD是一塊綠化帶,其中陰影部分EOFB,GHMN都是正方形的花圃.已知自由飛翔的小鳥(niǎo),將隨機(jī)落在這塊綠化帶上,則小鳥(niǎo)在花圃上的概率為( ?。? A. B. C. D. 5.(2013?綏化)如圖,點(diǎn)A,B,C,D為⊙O上的四個(gè)點(diǎn),AC平分∠BAD,AC交BD于點(diǎn)E,CE=4,CD=6,則AE的長(zhǎng)為( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6.(2013?內(nèi)江)如圖,在?ABCD中,E為CD上一點(diǎn),連接AE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,S△DEF:S△ABF=4:25,則DE:EC=( ?。? A. 2:5 B. 2:3 C. 3:5 D. 3:2 7.(2013?黑龍江)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E,在BC上截取BF=AE,連接AF交CE于點(diǎn)G,連接DG交AC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC,垂足為N,AN交CE于點(diǎn)M.則下列結(jié)論;①CM=AF;②CE⊥AF;③△ABF∽△DAH;④GD平分∠AGC,其中正確的個(gè)數(shù)是( ?。? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8.(2013?恩施州)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,E為OD的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F,則DF:FC=( ) A. 1:4 B. 1:3 C. 2:3 D. 1:2 9.(2013?德陽(yáng))如圖,在⊙O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P,位于直徑AB的異側(cè),過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線(xiàn),與PB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)Q,已知:⊙O半徑為,tan∠ABC=,則CQ的最大值是( ) A. 5 B. C. D. 10.(2012?岳陽(yáng))如圖,AB為半圓O的直徑,AD、BC分別切⊙O于A(yíng)、B兩點(diǎn),CD切⊙O于點(diǎn)E,AD與CD相交于D,BC與CD相交于C,連接OD、OC,對(duì)于下列結(jié)論:①OD2=DE?CD;②A(yíng)D+BC=CD;③OD=OC;④S梯形ABCD=CD?OA;⑤∠DOC=90°,其中正確的是( ) A. ①②⑤ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤ 二.填空題(共10小題) 11.(2013?昭通)如圖,AB是⊙O的直徑,弦BC=4cm,F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn),∠ABC=60°.若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)在A(yíng)B上沿著A→B→A運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0≤t<16),連接EF,當(dāng)△BEF是直角三角形時(shí),t(s)的值為 _________?。ㄌ畛鲆粋€(gè)正確的即可) 12.(2013?南通)如圖,在?ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,BG⊥AE,垂足為G,BG=4cm,則EF+CF的長(zhǎng)為 _________ cm. 13.(2013?菏澤)如圖所示,在△ABC中,BC=6,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在射線(xiàn)EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分線(xiàn)交CE于Q,當(dāng)CQ=CE時(shí),EP+BP= _________ . 14.(2013?巴中)如圖,小明在打網(wǎng)球時(shí),使球恰好能打過(guò)網(wǎng),而且落在離網(wǎng)4米的位置上,則球拍擊球的高度h為 _________ . 15.(2012?自貢)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm,M、N分別是BC、CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且始終保持AM⊥MN,當(dāng)BM= _________ cm時(shí),四邊形ABCN的面積最大,最大面積為 _________ cm2. 16.(2012?宜賓)如圖,在⊙O中,AB是直徑,點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C是的中點(diǎn),弦CE⊥AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,連接AD,分別交CF、BC于點(diǎn)P、Q,連接AC.給出下列結(jié)論: ①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點(diǎn)P是△ACQ的外心;④AP?AD=CQ?CB. 其中正確的是 _________?。▽?xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)). 17.(2012?泉州)在△ABC中,P是AB上的動(dòng)點(diǎn)(P異于A(yíng)、B),過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似,我們不妨稱(chēng)這種直線(xiàn)為過(guò)點(diǎn)P的△ABC的相似線(xiàn),簡(jiǎn)記為P(lx)(x為自然數(shù)). (1)如圖①,∠A=90°,∠B=∠C,當(dāng)BP=2PA時(shí),P(l1)、P(l2)都是過(guò)點(diǎn)P的△ABC的相似線(xiàn)(其中l(wèi)1⊥BC,l2∥AC),此外,還有 _________ 條; (2)如圖②,∠C=90°,∠B=30°,當(dāng)= _________ 時(shí),P(lx)截得的三角形面積為△ABC面積的. 18.(2012?嘉興)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接CD,過(guò)點(diǎn)B作BG丄CD,分別交CD、CA于點(diǎn)E、F,與過(guò)點(diǎn)A且垂直于A(yíng)B的直線(xiàn)相交于點(diǎn)G,連接DF.給出以下四個(gè)結(jié)論: ①; ②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn); ③AF=AB; ④S△ABC=5S△BDF,其中正確的結(jié)論序號(hào)是 _________?。? 19.(2012?瀘州)如圖,n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線(xiàn)上,點(diǎn)M1,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點(diǎn),△B1C1M1的面積為S1,△B2C2M2的面積為S2,…△BnCnMn的面積為Sn,則Sn= _________?。ㄓ煤琻的式子表示) 20.(2013?荊州)如圖,△ABC是斜邊AB的長(zhǎng)為3的等腰直角三角形,在△ABC內(nèi)作第1個(gè)內(nèi)接正方形A1B1D1E1(D1、E1在A(yíng)B上,A1、B1分別在A(yíng)C、BC上),再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個(gè)內(nèi)接正方形A2B2D2E2,…如此下去,操作n次,則第n個(gè)小正方形AnBnDnEn 的邊長(zhǎng)是 _________?。? 三.解答題(共8小題) 21.(2013?珠海)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn),將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′),當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí),點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線(xiàn)上,此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E. (1)求證:∠CBP=∠ABP; (2)求證:AE=CP; (3)當(dāng),BP′=5時(shí),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng). 22.(2013?湛江)如圖,已知AB是⊙O的直徑,P為⊙O外一點(diǎn),且OP∥BC,∠P=∠BAC. (1)求證:PA為⊙O的切線(xiàn); (2)若OB=5,OP=,求AC的長(zhǎng). 23.(2013?宜賓)如圖,AB是⊙O的直徑,∠B=∠CAD. (1)求證:AC是⊙O的切線(xiàn); (2)若點(diǎn)E是的中點(diǎn),連接AE交BC于點(diǎn)F,當(dāng)BD=5,CD=4時(shí),求AF的值. 24.(2013?襄陽(yáng))如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑.∠ACB的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)PD交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F. (1)求證:DP∥AB; (2)若AC=6,BC=8,求線(xiàn)段PD的長(zhǎng). 25.(2013?紹興)在△ABC中,∠CAB=90°,AD⊥BC于點(diǎn)D,點(diǎn)E為AB的中點(diǎn),EC與AD交于點(diǎn)G,點(diǎn)F在BC上. (1)如圖1,AC:AB=1:2,EF⊥CB,求證:EF=CD. (2)如圖2,AC:AB=1:,EF⊥CE,求EF:EG的值. 26.(2013?汕頭)如圖,⊙O是Rt△ABC的外接圓,∠ABC=90°,弦BD=BA,AB=12,BC=5,BE⊥DC交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E. (1)求證:∠BCA=∠BAD; (2)求DE的長(zhǎng); (3)求證:BE是⊙O的切線(xiàn). 27.(2013?朝陽(yáng))如圖,直線(xiàn)AB與⊙O相切于點(diǎn)A,直徑DC的延長(zhǎng)線(xiàn)交AB于點(diǎn)B,AB=8,OB=10 (1)求⊙O的半徑. (2)點(diǎn)E在⊙O上,連接AE,AC,EC,并且AE=AC,判斷直線(xiàn)EC與AB有怎樣的位置關(guān)系?并證明你的結(jié)論. (3)求弦EC的長(zhǎng). 28.(2013?成都)如圖,點(diǎn)B在線(xiàn)段AC上,點(diǎn)D,E在A(yíng)C同側(cè),∠A=∠C=90°,BD⊥BE,AD=BC. (1)求證:AC=AD+CE; (2)若AD=3,CE=5,點(diǎn)P為線(xiàn)段AB上的動(dòng)點(diǎn),連接DP,作PQ⊥DP,交直線(xiàn)BE于點(diǎn)Q; (i)當(dāng)點(diǎn)P與A,B兩點(diǎn)不重合時(shí),求的值; (ii)當(dāng)點(diǎn)P從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到AC的中點(diǎn)時(shí),求線(xiàn)段DQ的中點(diǎn)所經(jīng)過(guò)的路徑(線(xiàn)段)長(zhǎng).(直接寫(xiě)出結(jié)果,不必寫(xiě)出解答過(guò)程) 九年級(jí)數(shù)學(xué)《相似三角形》提優(yōu)訓(xùn)練題 參考答案與試題解析 一.選擇題(共10小題) 1.(2013?自貢)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=6,AD=9,∠BAD的平分線(xiàn)交BC于E,交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于F,BG⊥AE于G,BG=,則△EFC的周長(zhǎng)為( ) A. 11 B. 10 C. 9 D. 8 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;平行四邊形的性質(zhì).4387773 分析: 判斷出△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形,DF的長(zhǎng)度,繼而得到EC的長(zhǎng)度,在Rt△BGE中求出GE,繼而得到AE,求出△ABE的周長(zhǎng),根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比,可得出△EFC的周長(zhǎng). 解答: 解:∵在?ABCD中,AB=CD=6,AD=BC=9,∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E, ∴∠BAF=∠DAF, ∵AB∥DF,AD∥BC, ∴∠BAF=∠F=∠DAF,∠BAE=∠AEB, ∴AB=BE=6,AD=DF=9, ∴△ADF是等腰三角形,△ABE是等腰三角形, ∵AD∥BC, ∴△EFC是等腰三角形,且FC=CE, ∴EC=FC=9﹣6=3, 在△ABG中,BG⊥AE,AB=6,BG=4, ∴AG==2, ∴AE=2AG=4, ∴△ABE的周長(zhǎng)等于16, 又∵△CEF∽△BEA,相似比為1:2, ∴△CEF的周長(zhǎng)為8. 故選D. 點(diǎn)評(píng): 本題主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性質(zhì),注意掌握相似三角形的周長(zhǎng)之比等于相似比,此題難度較大. 2.(2013?重慶)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在A(yíng)D上,連接CE并延長(zhǎng)與BA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)F,若AE=2ED,CD=3cm,則AF的長(zhǎng)為( ?。? A. 5cm B. 6cm C. 7cm D. 8cm 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).4387773 分析: 由邊形ABCD是平行四邊形,可得AB∥CD,即可證得△AFE∽△DEC,然后由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例,求得答案. 解答: 解:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB∥CD, ∴△AFE∽△DEC, ∴AE:DE=AF:CD, ∵AE=2ED,CD=3cm, ∴AF=2CD=6cm. 故選B. 點(diǎn)評(píng): 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用. 3.(2013?孝感)如圖,在△ABC中,AB=AC=a,BC=b(a>b).在△ABC內(nèi)依次作∠CBD=∠A,∠DCE=∠CBD,∠EDF=∠DCE.則EF等于( ) A. B. C. D. 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 壓軸題. 分析: 依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例的知識(shí),可得出EF的長(zhǎng)度. 解答: 解:∵AB=AC, ∴∠ABC=∠ACB, 又∵∠CBD=∠A, ∴△ABC∽△BDC, 同理可得:△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE, ∴=,=,=,=, ∵AB=AC, ∴CD=CE, 解得:CD=CE=,DE=,EF=. 故選C. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),本題中相似三角形比較容易找到,難點(diǎn)在于根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求解線(xiàn)段的長(zhǎng)度,注意仔細(xì)對(duì)應(yīng),不要出錯(cuò). 4.(2013?咸寧)如圖,正方形ABCD是一塊綠化帶,其中陰影部分EOFB,GHMN都是正方形的花圃.已知自由飛翔的小鳥(niǎo),將隨機(jī)落在這塊綠化帶上,則小鳥(niǎo)在花圃上的概率為( ?。? A. B. C. D. 考點(diǎn): 相似三角形的應(yīng)用;正方形的性質(zhì);幾何概率.4387773 專(zhuān)題: 壓軸題. 分析: 求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥(niǎo)在花圃上的概率; 解答: 解:設(shè)正方形的ABCD的邊長(zhǎng)為a, 則BF=BC=,AN=NM=MC=a, ∴陰影部分的面積為()2+(a)2=a2, ∴小鳥(niǎo)在花圃上的概率為= 故選C. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了正方形的性質(zhì)及幾何概率,關(guān)鍵是表示出大正方形的邊長(zhǎng),從而表示出兩個(gè)陰影正方形的邊長(zhǎng),最后表示出面積. 5.(2013?綏化)如圖,點(diǎn)A,B,C,D為⊙O上的四個(gè)點(diǎn),AC平分∠BAD,AC交BD于點(diǎn)E,CE=4,CD=6,則AE的長(zhǎng)為( ?。? A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 考點(diǎn): 圓周角定理;圓心角、弧、弦的關(guān)系;相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 分析: 根據(jù)圓周角定理∠CAD=∠CDB,繼而證明△ACD∽△DCE,設(shè)AE=x,則AC=x+4,利用對(duì)應(yīng)邊成比例,可求出x的值. 解答: 解:設(shè)AE=x,則AC=x+4, ∵AC平分∠BAD, ∴∠BAC=∠CAD, ∵∠CDB=∠BAC(圓周角定理), ∴∠CAD=∠CDB, ∴△ACD∽△DCE, ∴=,即=, 解得:x=5. 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了圓周角定理、相似三角形的判定與性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是得出∠CAD=∠CDB,證明△ACD∽△DCE. 6.(2013?內(nèi)江)如圖,在?ABCD中,E為CD上一點(diǎn),連接AE、BD,且AE、BD交于點(diǎn)F,S△DEF:S△ABF=4:25,則DE:EC=( ?。? A. 2:5 B. 2:3 C. 3:5 D. 3:2 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).4387773 分析: 先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF,再根據(jù)S△DEF:S△ABF=4:25即可得出其相似比,由相似三角形的性質(zhì)即可求出 DE:AB的值,由AB=CD即可得出結(jié)論. 解答: 解:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴AB∥CD, ∴∠EAB=∠DEF,∠AFB=∠DFE, ∴△DEF∽△BAF, ∵S△DEF:S△ABF=4:25, ∴DE:AB=2:5, ∵AB=CD, ∴DE:EC=2:3. 故選B. 點(diǎn)評(píng): 本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì),熟知相似三角形邊長(zhǎng)的比等于相似比,面積的比等于相似比的平方是解答此題的關(guān)鍵. 7.(2013?黑龍江)如圖,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠ABC=45°,AD=CD,CE平分∠ACB交AB于點(diǎn)E,在BC上截取BF=AE,連接AF交CE于點(diǎn)G,連接DG交AC于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)A作AN⊥BC,垂足為N,AN交CE于點(diǎn)M.則下列結(jié)論;①CM=AF;②CE⊥AF;③△ABF∽△DAH;④GD平分∠AGC,其中正確的個(gè)數(shù)是( ?。? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);直角梯形.4387773 專(zhuān)題: 壓軸題. 分析: 如解答圖所示: 結(jié)論①正確:證明△ACM≌△ABF即可; 結(jié)論②正確:由△ACM≌△ABF得∠2=∠4,進(jìn)而得∠4+∠6=90°,即CE⊥AF; 結(jié)論③正確:證法一:利用四點(diǎn)共圓;證法二:利用三角形全等; 結(jié)論④正確:證法一:利用四點(diǎn)共圓;證法二:利用三角形全等. 解答: 解:(1)結(jié)論①正確.理由如下: ∵∠1=∠2,∠1+∠CMN=90°,∠2+∠6=90°, ∴∠6=∠CMN,又∵∠5=∠CMN, ∴∠5=∠6, ∴AM=AE=BF. 易知ADCN為正方形,△ABC為等腰直角三角形,∴AB=AC. 在△ACM與△ABF中, , ∴△ACM≌△ABF(SAS), ∴CM=AF; (2)結(jié)論②正確.理由如下: ∵△ACM≌△ABF,∴∠2=∠4, ∵∠2+∠6=90°,∴∠4+∠6=90°, ∴CE⊥AF; (3)結(jié)論③正確.理由如下: 證法一:∵CE⊥AF,∴∠ADC+∠AGC=180°,∴A、D、C、G四點(diǎn)共圓, ∴∠7=∠2,∵∠2=∠4, ∴∠7=∠4,又∵∠DAH=∠B=45°, ∴△ABF∽△DAH; 證法二:∵CE⊥AF,∠1=∠2, ∴△ACF為等腰三角形,AC=CF,點(diǎn)G為AF中點(diǎn). 在Rt△ANF中,點(diǎn)G為斜邊AF中點(diǎn), ∴NG=AG,∴∠MNG=∠3,∴∠DAG=∠CNG. 在△ADG與△NCG中, , ∴△ADG≌△NCG(SAS), ∴∠7=∠1,又∵∠1=∠2=∠4, ∴∠7=∠4,又∵∠DAH=∠B=45°, ∴△ABF∽△DAH; (4)結(jié)論④正確.理由如下: 證法一:∵A、D、C、G四點(diǎn)共圓, ∴∠DGC=∠DAC=45°,∠DGA=∠DCA=45°, ∴∠DGC=∠DGA,即GD平分∠AGC. 證法二:∵AM=AE,CE⊥AF,∴∠3=∠4,又∠2=∠4,∴∠3=∠2 則∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°. ∵△ADG≌△NCG, ∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC, ∴GD平分∠AGC. 綜上所述,正確的結(jié)論是:①②③④,共4個(gè). 故選D. 點(diǎn)評(píng): 本題是幾何綜合題,考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定與性質(zhì)、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知識(shí)點(diǎn),有一定的難度.解答中四點(diǎn)共圓的證法,僅供同學(xué)們參考. 8.(2013?恩施州)如圖所示,在平行四邊形ABCD中,AC與BD相交于點(diǎn)O,E為OD的中點(diǎn),連接AE并延長(zhǎng)交DC于點(diǎn)F,則DF:FC=( ?。? A. 1:4 B. 1:3 C. 2:3 D. 1:2 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);平行四邊形的性質(zhì).4387773 分析: 首先證明△DFE∽△BAE,然后利用對(duì)應(yīng)變成比例,E為OD的中點(diǎn),求出DF:AB的值,又知AB=DC,即可得出DF:FC的值. 解答: 解:在平行四邊形ABCD中,AB∥DC, 則△DFE∽△BAE, ∴=, ∵O為對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn), ∴DO=BO, 又∵E為OD的中點(diǎn), ∴DE=DB, 則DE:EB=1:3, ∴DF:AB=1:3, ∵DC=AB, ∴DF:DC=1:3, ∴DF:FC=1:2. 故選D. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì),難度適中,解答本題的關(guān)鍵是根據(jù)平行證明△DFE∽△BAE,然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例求值. 9.(2013?德陽(yáng))如圖,在⊙O上有定點(diǎn)C和動(dòng)點(diǎn)P,位于直徑AB的異側(cè),過(guò)點(diǎn)C作CP的垂線(xiàn),與PB的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)Q,已知:⊙O半徑為,tan∠ABC=,則CQ的最大值是( ) A. 5 B. C. D. 考點(diǎn): 圓周角定理;圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì);相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 根據(jù)圓周角定理的推論由AB為⊙O的直徑得到∠ACB=90°,再根據(jù)正切的定義得到tan∠ABC==,然后根據(jù)圓周角定理得到∠A=∠P,則可證得△ACB∽△PCQ,利用相似比得CQ=?PC=PC,PC為直徑時(shí),PC最長(zhǎng),此時(shí)CQ最長(zhǎng),然后把PC=5代入計(jì)算即可. 解答: 解:∵AB為⊙O的直徑, ∴AB=5,∠ACB=90°, ∵tan∠ABC=, ∴=, ∵CP⊥CQ, ∴∠PCQ=90°, 而∠A=∠P, ∴△ACB∽△PCQ, ∴=, ∴CQ=?PC=PC, 當(dāng)PC最大時(shí),CQ最大,即PC為⊙O的直徑時(shí),CQ最大,此時(shí)CQ=×5=. 故選D. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.也考查了三角形相似的判定與性質(zhì). 10.(2012?岳陽(yáng))如圖,AB為半圓O的直徑,AD、BC分別切⊙O于A(yíng)、B兩點(diǎn),CD切⊙O于點(diǎn)E,AD與CD相交于D,BC與CD相交于C,連接OD、OC,對(duì)于下列結(jié)論:①OD2=DE?CD;②A(yíng)D+BC=CD;③OD=OC;④S梯形ABCD=CD?OA;⑤∠DOC=90°,其中正確的是( ) A. ①②⑤ B. ②③④ C. ③④⑤ D. ①④⑤ 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì);切線(xiàn)長(zhǎng)定理;相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 連接OE,由AD,DC,BC都為圓的切線(xiàn),根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得到三個(gè)角為直角,且利用切線(xiàn)長(zhǎng)定理得到DE=DA,CE=CB,由CD=DE+EC,等量代換可得出CD=AD+BC,選項(xiàng)②正確;由AD=ED,OD為公共邊,利用HL可得出直角三角形ADO與直角三角形EDO全等,可得出∠AOD=∠EOD,同理得到∠EOC=∠BOC,而這四個(gè)角之和為平角,可得出∠DOC為直角,選項(xiàng)⑤正確;由∠DOC與∠DEO都為直角,再由一對(duì)公共角相等,利用兩對(duì)對(duì)應(yīng)角相等的兩三角形相似,可得出三角形DEO與三角形DOC相似,由相似得比例可得出OD2=DE?CD,選項(xiàng)①正確;又ABCD為直角梯形,利用梯形的面積計(jì)算后得到梯形ABCD的面積為AB(AD+BC),將AD+BC化為CD,可得出梯形面積為AB?CD,選項(xiàng)④錯(cuò)誤,而OD不一定等于OC,選項(xiàng)③錯(cuò)誤,即可得到正確的選項(xiàng). 解答: 解:連接OE,如圖所示: ∵AD與圓O相切,DC與圓O相切,BC與圓O相切, ∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°, ∴DA=DE,CE=CB,AD∥BC, ∴CD=DE+EC=AD+BC,選項(xiàng)②正確; 在Rt△ADO和Rt△EDO中, , ∴Rt△ADO≌Rt△EDO(HL), ∴∠AOD=∠EOD, 同理Rt△CEO≌Rt△CBO, ∴∠EOC=∠BOC, 又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°, ∴2(∠DOE+∠EOC)=180°,即∠DOC=90°,選項(xiàng)⑤正確; ∴∠DOC=∠DEO=90°,又∠EDO=∠ODC, ∴△EDO∽△ODC, ∴=,即OD2=DC?DE,選項(xiàng)①正確; 而S梯形ABCD=AB?(AD+BC)=AB?CD,選項(xiàng)④錯(cuò)誤; 由OD不一定等于OC,選項(xiàng)③錯(cuò)誤, 則正確的選項(xiàng)有①②⑤. 故選A 點(diǎn)評(píng): 此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì),切線(xiàn)長(zhǎng)定理,相似三角形的判定與性質(zhì),全等三角形的判定與性質(zhì),以及梯形面積的求法,利用了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想,熟練掌握定理及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵. 二.填空題(共10小題) 11.(2013?昭通)如圖,AB是⊙O的直徑,弦BC=4cm,F(xiàn)是弦BC的中點(diǎn),∠ABC=60°.若動(dòng)點(diǎn)E以1cm/s的速度從A點(diǎn)出發(fā)在A(yíng)B上沿著A→B→A運(yùn)動(dòng),設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)(0≤t<16),連接EF,當(dāng)△BEF是直角三角形時(shí),t(s)的值為 4s?。ㄌ畛鲆粋€(gè)正確的即可) 考點(diǎn): 圓周角定理;垂徑定理;相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 壓軸題;開(kāi)放型. 分析: 根據(jù)圓周角定理得到∠C=90°,由于∠ABC=60°,BC=4cm,根據(jù)含30度的直角三角形三邊的關(guān)系得到AB=2BC=8cm,而F是弦BC的中點(diǎn),所以當(dāng)EF∥AC時(shí),△BEF是直角三角形,此時(shí)E為AB的中點(diǎn),易得t=4s;當(dāng)從A點(diǎn)出發(fā)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)名,再運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)時(shí),此時(shí)t=12s;也可以過(guò)F點(diǎn)作AB的垂線(xiàn),點(diǎn)E點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到垂足時(shí),△BEF是直角三角形. 解答: 解:∵AB是⊙O的直徑, ∴∠C=90°, 而∠ABC=60°,BC=4cm, ∴AB=2BC=8cm, ∵F是弦BC的中點(diǎn), ∴當(dāng)EF∥AC時(shí),△BEF是直角三角形, 此時(shí)E為AB的中點(diǎn),即AE=AO=4cm, ∴t==4(s). 故答案為4s. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了圓周角定理:在同圓或等圓中,同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等,都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.也考查了圓周角定理的推論以及含30度的直角三角形三邊的關(guān)系. 12.(2013?南通)如圖,在?ABCD中,AB=6cm,AD=9cm,∠BAD的平分線(xiàn)交BC于點(diǎn)E,交DC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F,BG⊥AE,垂足為G,BG=4cm,則EF+CF的長(zhǎng)為 5 cm. 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;平行四邊形的性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 壓軸題. 分析: 首先,由于A(yíng)E平分∠BAD,那么∠BAE=∠DAE,由AD∥BC,可得內(nèi)錯(cuò)角∠DAE=∠BEA,等量代換后可證得AB=BE,即△ABE是等腰三角形,根據(jù)等腰三角形“三線(xiàn)合一”的性質(zhì)得出AE=2AG,而在Rt△ABG中,由勾股定理可求得AG的值,即可求得AE的長(zhǎng);然后,利用平行線(xiàn)分線(xiàn)段成比例的性質(zhì)分別得出EF,F(xiàn)C的長(zhǎng),即可得出答案. 解答: 解:∵AE平分∠BAD, ∴∠DAE=∠BAE; 又∵AD∥BC, ∴∠BEA=∠DAE=∠BAE, ∴AB=BE=6cm, ∴EC=9﹣6=3(cm), ∵BG⊥AE,垂足為G, ∴AE=2AG. 在Rt△ABG中,∵∠AGB=90°,AB=6cm,BG=4cm, ∴AG==2(cm), ∴AE=2AG=4cm; ∵EC∥AD, ∴====, ∴=,=, 解得:EF=2(cm),F(xiàn)C=3(cm), ∴EF+CF的長(zhǎng)為5cm. 故答案為:5. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了平行四邊形的性質(zhì),相似三角形的判定與性質(zhì),勾股定理等知識(shí)的掌握程度和靈活運(yùn)用能力,同時(shí)也體現(xiàn)了對(duì)數(shù)學(xué)中的數(shù)形結(jié)合思想的考查,難度適中. 13.(2013?菏澤)如圖所示,在△ABC中,BC=6,E、F分別是AB、AC的中點(diǎn),動(dòng)點(diǎn)P在射線(xiàn)EF上,BP交CE于D,∠CBP的平分線(xiàn)交CE于Q,當(dāng)CQ=CE時(shí),EP+BP= 12 . 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);等腰三角形的判定與性質(zhì);三角形中位線(xiàn)定理.4387773 專(zhuān)題: 壓軸題. 分析: 延長(zhǎng)BQ交射線(xiàn)EF于M,根據(jù)三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊可得EF∥BC,根據(jù)兩直線(xiàn)平行,內(nèi)錯(cuò)角相等可得∠M=∠CBM,再根據(jù)角平分線(xiàn)的定義可得∠PBM=∠CBM,從而得到∠M=∠PBM,根據(jù)等角對(duì)等邊可得BP=PM,求出EP+BP=EM,再根據(jù)CQ=CE求出EQ=2CQ,然后根據(jù)△MEQ和△BCQ相似,利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求解即可. 解答: 解:如圖,延長(zhǎng)BQ交射線(xiàn)EF于M, ∵E、F分別是AB、AC的中點(diǎn), ∴EF∥BC, ∴∠M=∠CBM, ∵BQ是∠CBP的平分線(xiàn), ∴∠PBM=∠CBM, ∴∠M=∠PBM, ∴BP=PM, ∴EP+BP=EP+PM=EM, ∵CQ=CE, ∴EQ=2CQ, 由EF∥BC得,△MEQ∽△BCQ, ∴==2, ∴EM=2BC=2×6=12, 即EP+BP=12. 故答案為:12. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì),角平分線(xiàn)的定義,平行線(xiàn)的性質(zhì),延長(zhǎng)BQ構(gòu)造出相似三角形,求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解題的關(guān)鍵,也是本題的難點(diǎn). 14.(2013?巴中)如圖,小明在打網(wǎng)球時(shí),使球恰好能打過(guò)網(wǎng),而且落在離網(wǎng)4米的位置上,則球拍擊球的高度h為 1.5米?。? 考點(diǎn): 相似三角形的應(yīng)用.4387773 分析: 根據(jù)球網(wǎng)和擊球時(shí)球拍的垂直線(xiàn)段平行即DE∥BC可知,△ADE∽△ACB,根據(jù)其相似比即可求解. 解答: 解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ACB,即=, 則=, ∴h=1.5m. 故答案為:1.5米. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了相似三角形在測(cè)量高度時(shí)的應(yīng)用,解題時(shí)關(guān)鍵是找出相似的三角形,然后根據(jù)對(duì)應(yīng)邊成比例列出方程,建立適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型來(lái)解決問(wèn)題. 15.(2012?自貢)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1cm,M、N分別是BC、CD上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn),且始終保持AM⊥MN,當(dāng)BM= cm時(shí),四邊形ABCN的面積最大,最大面積為 cm2. 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);二次函數(shù)的最值;正方形的性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 壓軸題. 分析: 設(shè)BM=xcm,則MC=1﹣xcm,當(dāng)AM⊥MN時(shí),利用互余關(guān)系可證△ABM∽△MCN,利用相似比求CN,根據(jù)梯形的面積公式表示四邊形ABCN的面積,用二次函數(shù)的性質(zhì)求面積的最大值. 解答: 解:設(shè)BM=xcm,則MC=1﹣xcm, ∵∠AMN=90°, ∴∠AMB+∠NMC=90°,∠NMC+∠MNC=90°, ∴∠AMB=∠MNC, 又∵∠B=∠C ∴△ABM∽△MCN,則,即, 解得CN==x(1﹣x), ∴S四邊形ABCN=×1×[1+x(1﹣x)]=﹣x2+x+, ∵﹣<0, ∴當(dāng)x=﹣=cm時(shí),S四邊形ABCN最大,最大值是﹣×()2+×+=cm2. 故答案是:,. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用.關(guān)鍵是根據(jù)已知條件判斷相似三角形,利用相似比求函數(shù)關(guān)系式. 16.(2012?宜賓)如圖,在⊙O中,AB是直徑,點(diǎn)D是⊙O上一點(diǎn),點(diǎn)C是的中點(diǎn),弦CE⊥AB于點(diǎn)F,過(guò)點(diǎn)D的切線(xiàn)交EC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G,連接AD,分別交CF、BC于點(diǎn)P、Q,連接AC.給出下列結(jié)論: ①∠BAD=∠ABC;②GP=GD;③點(diǎn)P是△ACQ的外心;④AP?AD=CQ?CB. 其中正確的是?、冖邰堋。▽?xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì);圓周角定理;三角形的外接圓與外心;相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 計(jì)算題;壓軸題. 分析: 連接BD,由GD為圓O的切線(xiàn),根據(jù)弦切角等于夾弧所對(duì)的圓周角得到∠GDP=∠ABD,再由AB為圓的直徑,根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角為直角得到∠ACB為直角,由CE垂直于A(yíng)B,得到∠AFP為直角,再由一對(duì)公共角,得到三角形APF與三角形ABD相似,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等可得出∠APF等于∠ABD,根據(jù)等量代換及對(duì)頂角相等可得出∠GPD=∠GDP,利用等角對(duì)等邊可得出GP=GD,選項(xiàng)②正確;由直徑AB垂直于弦CE,利用垂徑定理得到A為的中點(diǎn),得到兩條弧相等,再由C為的中點(diǎn),得到兩條弧相等,等量代換得到三條弧相等,根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等可得出∠CAP=∠ACP,利用等角對(duì)等邊可得出AP=CP,又AB為直徑得到∠ACQ為直角,利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC,得出CP=PQ,即P為直角三角形ACQ斜邊上的中點(diǎn),即為直角三角形ACQ的外心,選項(xiàng)③正確;利用等弧所對(duì)的圓周角相等得到一對(duì)角相等,再由一對(duì)公共角相等,得到三角形ACQ與三角形ABC相似,根據(jù)相似得比例得到AC2=CQ?CB,連接CD,同理可得出三角形ACP與三角形ACD相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例可得出AC2=AP?AD,等量代換可得出AP?AD=CQ?CB,選項(xiàng)④正確. 解答: 解:∠BAD與∠ABC不一定相等,選項(xiàng)①錯(cuò)誤; 連接BD,如圖所示: ∵GD為圓O的切線(xiàn), ∴∠GDP=∠ABD, 又AB為圓O的直徑,∴∠ADB=90°, ∵CE⊥AB,∴∠AFP=90°, ∴∠ADB=∠AFP,又∠PAF=∠BAD, ∴△APF∽△ABD, ∴∠ABD=∠APF,又∠APF=∠GPD, ∴∠GDP=∠GPD, ∴GP=GD,選項(xiàng)②正確; ∵直徑AB⊥CE, ∴A為的中點(diǎn),即=, 又C為的中點(diǎn),∴=, ∴=, ∴∠CAP=∠ACP, ∴AP=CP, 又AB為圓O的直徑,∴∠ACQ=90°, ∴∠PCQ=∠PQC, ∴PC=PQ, ∴AP=PQ,即P為Rt△ACQ斜邊AQ的中點(diǎn), ∴P為Rt△ACQ的外心,選項(xiàng)③正確; 連接CD,如圖所示: ∵=, ∴∠B=∠CAD,又∠ACQ=∠BCA, ∴△ACQ∽△BCA, ∴=,即AC2=CQ?CB, ∵=, ∴∠ACP=∠ADC,又∠CAP=∠DAC, ∴△ACP∽△ADC, ∴=,即AC2=AP?AD, ∴AP?AD=CQ?CB,選項(xiàng)④正確, 則正確的選項(xiàng)序號(hào)有②③④. 故答案為:②③④ 點(diǎn)評(píng): 此題考查了切線(xiàn)的性質(zhì),圓周角定理,相似三角形的判定與性質(zhì),以及三角形的外接圓與圓心,熟練掌握性質(zhì)及定理是解本題的關(guān)鍵. 17.(2012?泉州)在△ABC中,P是AB上的動(dòng)點(diǎn)(P異于A(yíng)、B),過(guò)點(diǎn)P的直線(xiàn)截△ABC,使截得的三角形與△ABC相似,我們不妨稱(chēng)這種直線(xiàn)為過(guò)點(diǎn)P的△ABC的相似線(xiàn),簡(jiǎn)記為P(lx)(x為自然數(shù)). (1)如圖①,∠A=90°,∠B=∠C,當(dāng)BP=2PA時(shí),P(l1)、P(l2)都是過(guò)點(diǎn)P的△ABC的相似線(xiàn)(其中l(wèi)1⊥BC,l2∥AC),此外,還有 1 條; (2)如圖②,∠C=90°,∠B=30°,當(dāng)= 或或 時(shí),P(lx)截得的三角形面積為△ABC面積的. 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 壓軸題. 分析: (1)過(guò)點(diǎn)P作l3∥BC交AC于Q,則△APQ∽△ABC,l3是第3條相似線(xiàn); (2)按照相似線(xiàn)的定義,找出所有符合條件的相似線(xiàn).總共有4條,注意不要遺漏. 解答: 解:(1)存在另外 1 條相似線(xiàn). 如圖1所示,過(guò)點(diǎn)P作l3∥BC交AC于Q,則△APQ∽△ABC; 故答案為:1; (2)設(shè)P(lx)截得的三角形面積為S,S=S△ABC,則相似比為1:2. 如圖2所示,共有4條相似線(xiàn): ①第1條l1,此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn),l1∥AC,∴=; ②第2條l2,此時(shí)P為斜邊AB中點(diǎn),l2∥BC,∴=; ③第3條l3,此時(shí)BP與BC為對(duì)應(yīng)邊,且=,∴==; ④第4條l4,此時(shí)AP與AC為對(duì)應(yīng)邊,且=,∴==,∴=. 故答案為:或或. 點(diǎn)評(píng): 本題引入“相似線(xiàn)”的新定義,考查相似三角形的判定與性質(zhì)和解直角三角形的運(yùn)算;難點(diǎn)在于找出所有的相似線(xiàn),不要遺漏. 18.(2012?嘉興)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BA=BC.點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),連接CD,過(guò)點(diǎn)B作BG丄CD,分別交CD、CA于點(diǎn)E、F,與過(guò)點(diǎn)A且垂直于A(yíng)B的直線(xiàn)相交于點(diǎn)G,連接DF.給出以下四個(gè)結(jié)論: ①; ②點(diǎn)F是GE的中點(diǎn); ③AF=AB; ④S△ABC=5S△BDF,其中正確的結(jié)論序號(hào)是 ①③?。? 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;等腰直角三角形.4387773 專(zhuān)題: 壓軸題. 分析: 首先根據(jù)題意易證得△AFG∽△CFB,根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例與BA=BC,繼而證得正確;由點(diǎn)D是AB的中點(diǎn),易證得BC=2BD,由等角的余角相等,可得∠DBE=∠BCD,即可得AG=AB,繼而可得FG=BF;即可得AF=AC,又由等腰直角三角形的性質(zhì),可得AC=AB,即可求得AF=AB;則可得S△ABC=6S△BDF. 解答: 解:∵在Rt△ABC中,∠ABC=90°, ∴AB⊥BC,AG⊥AB, ∴AG∥BC, ∴△AFG∽△CFB, ∴, ∵BA=BC, ∴, 故①正確; ∵∠ABC=90°,BG⊥CD, ∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°, ∴∠DBE=∠BCD, ∵AB=CB,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn), ∴BD=AB=CB, ∵tan∠BCD==, ∴在Rt△ABG中,tan∠DBE==, ∵=, ∴FG=FB, ∵GE≠BF, ∴點(diǎn)F不是GE的中點(diǎn). 故②錯(cuò)誤; ∵△AFG∽△CFB, ∴AF:CF=AG:BC=1:2, ∴AF=AC, ∵AC=AB, ∴AF=AB, 故③正確; ∵BD=AB,AF=AC, ∴S△ABC=6S△BDF, 故④錯(cuò)誤. 故答案為:①③. 點(diǎn)評(píng): 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)以及三角函數(shù)等知識(shí).此題難度適中,解題的關(guān)鍵是證得△AFG∽△CFB,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用. 19.(2012?瀘州)如圖,n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線(xiàn)上,點(diǎn)M1,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點(diǎn),△B1C1M1的面積為S1,△B2C2M2的面積為S2,…△BnCnMn的面積為Sn,則Sn= .(用含n的式子表示) 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 壓軸題;規(guī)律型. 分析: 由n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線(xiàn)上,點(diǎn)M1,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點(diǎn),即可求得△B1C1Mn的面積,又由BnCn∥B1C1,即可得△BnCnMn∽△B1C1Mn,然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方,求得答案. 解答: 解:∵n個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線(xiàn)上,點(diǎn)M1,M2,M3,…Mn分別為邊B1B2,B2B3,B3B4,…,BnBn+1的中點(diǎn), ∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=, S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=, S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=, S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=, S△B1C1Mn=×B1C1×B1Mn=×1×=, ∵BnCn∥B1C1, ∴△BnCnMn∽△B1C1Mn, ∴S△BnCnMn:S△B1C1Mn=()2=()2, 即Sn:=, ∴Sn=. 故答案為:. 點(diǎn)評(píng): 此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及直角三角形面積的公式.此題難度較大,注意掌握相似三角形面積的比等于相似比的平方定理的應(yīng)用是解此題的關(guān)鍵. 20.(2013?荊州)如圖,△ABC是斜邊AB的長(zhǎng)為3的等腰直角三角形,在△ABC內(nèi)作第1個(gè)內(nèi)接正方形A1B1D1E1(D1、E1在A(yíng)B上,A1、B1分別在A(yíng)C、BC上),再在△A1B1C內(nèi)接同樣的方法作第2個(gè)內(nèi)接正方形A2B2D2E2,…如此下去,操作n次,則第n個(gè)小正方形AnBnDnEn 的邊長(zhǎng)是 . 考點(diǎn): 相似三角形的判定與性質(zhì);等腰直角三角形.4387773 專(zhuān)題: 規(guī)律型. 分析: 求出第一個(gè)、第二個(gè)、第三個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng),總結(jié)規(guī)律可得出第n個(gè)小正方形AnBnDnEn 的邊長(zhǎng). 解答: 解:∵∠A=∠B=45°, ∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B, ∴第一個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)=AB=1; 同理可得: 第二個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)=A1B1=AB=; 第三個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng)=A2B2=AB=; 故可推出第n個(gè)小正方形AnBnDnEn 的邊長(zhǎng)=AB=. 故答案為:. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是求出前幾個(gè)內(nèi)接正方形的邊長(zhǎng),得出一般規(guī)律. 三.解答題(共8小題) 21.(2013?珠海)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,點(diǎn)P為AC邊上的一點(diǎn),將線(xiàn)段AP繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)(點(diǎn)P對(duì)應(yīng)點(diǎn)P′),當(dāng)AP旋轉(zhuǎn)至AP′⊥AB時(shí),點(diǎn)B、P、P′恰好在同一直線(xiàn)上,此時(shí)作P′E⊥AC于點(diǎn)E. (1)求證:∠CBP=∠ABP; (2)求證:AE=CP; (3)當(dāng),BP′=5時(shí),求線(xiàn)段AB的長(zhǎng). 考點(diǎn): 全等三角形的判定與性質(zhì);角平分線(xiàn)的性質(zhì);勾股定理;相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 幾何綜合題;壓軸題. 分析: (1)根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得AP=AP′,根據(jù)等邊對(duì)等角的性質(zhì)可得∠APP′=∠AP′P,再根據(jù)等角的余角相等證明即可; (2)過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D,根據(jù)角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得CP=DP,然后求出∠PAD=∠AP′E,利用“角角邊”證明△APD和△P′AE全等,根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE=DP,從而得證; (3)設(shè)CP=3k,PE=2k,表示出AE=CP=3k,AP′=AP=5k,然后利用勾股定理列式求出P′E=4k,再求出△ABP′和△EPP′相似,根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例列式求出P′A=AB,然后在Rt△ABP′中,利用勾股定理列式求解即可. 解答: (1)證明:∵AP′是AP旋轉(zhuǎn)得到, ∴AP=AP′, ∴∠APP′=∠AP′P, ∵∠C=90°,AP′⊥AB, ∴∠CBP+∠BPC=90°,∠ABP+∠AP′P=90°, 又∵∠BPC=∠APP′(對(duì)頂角相等), ∴∠CBP=∠ABP; (2)證明:如圖,過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB于D, ∵∠CBP=∠ABP,∠C=90°, ∴CP=DP, ∵P′E⊥AC, ∴∠EAP′+∠AP′E=90°, 又∵∠PAD+∠EAP′=90°, ∴∠PAD=∠AP′E, 在△APD和△P′AE中,, ∴△APD≌△P′AE(AAS), ∴AE=DP, ∴AE=CP; (3)解:∵=, ∴設(shè)CP=3k,PE=2k, 則AE=CP=3k,AP′=AP=3k+2k=5k, 在Rt△AEP′中,P′E==4k, ∵∠C=90°,P′E⊥AC, ∴∠CBP+∠BPC=90°,∠EP′P+∠EPP′=90°, ∵∠BPC=∠EPP′(對(duì)頂角相等), ∴∠CBP=∠EP′P, 又∵∠BAP′=∠P′EP=90°, ∴△ABP′∽△EPP′, ∴=, 即=, 解得P′A=AB, 在Rt△ABP′中,AB2+P′A2=BP′2, 即AB2+AB2=(5)2, 解得AB=10. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),旋轉(zhuǎn)的性質(zhì),角平分線(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì),勾股定理,相似三角形的判定與性質(zhì),(2)作輔助線(xiàn)構(gòu)造出過(guò)渡線(xiàn)段DP并得到全等三角形是解題的關(guān)鍵,(3)利用相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求出P′A=AB是解題的關(guān)鍵. 22.(2013?湛江)如圖,已知AB是⊙O的直徑,P為⊙O外一點(diǎn),且OP∥BC,∠P=∠BAC. (1)求證:PA為⊙O的切線(xiàn); (2)若OB=5,OP=,求AC的長(zhǎng). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定;勾股定理;相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 分析: (1)欲證明PA為⊙O的切線(xiàn),只需證明OA⊥AP; (2)通過(guò)相似三角形△ABC∽△PAO的對(duì)應(yīng)邊成比例來(lái)求線(xiàn)段AC的長(zhǎng)度. 解答: (1)證明:∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ACB=90°, ∴∠BAC+∠B=90°. 又∵OP∥BC, ∴∠AOP=∠B, ∴∠BAC+∠AOP=90°. ∵∠P=∠BAC. ∴∠P+∠AOP=90°, ∴由三角形內(nèi)角和定理知∠PAO=90°,即OA⊥AP. 又∵OA是的⊙O的半徑, ∴PA為⊙O的切線(xiàn); (2)解:由(1)知,∠PAO=90°.∵OB=5, ∴OA=OB=5. 又∵OP=, ∴在直角△APO中,根據(jù)勾股定理知PA==, 由(1)知,∠ACB=∠PAO=90°. ∵∠BAC=∠P, ∴△ABC∽△POA, ∴=. ∴=, 解得AC=8.即AC的長(zhǎng)度為8. 點(diǎn)評(píng): 本題考查的知識(shí)點(diǎn)有切線(xiàn)的判定與性質(zhì),三角形相似的判定與性質(zhì),得到兩個(gè)三角形中的兩組對(duì)應(yīng)角相等,進(jìn)而得到兩個(gè)三角形相似,是解答(2)題的關(guān)鍵. 23.(2013?宜賓)如圖,AB是⊙O的直徑,∠B=∠CAD. (1)求證:AC是⊙O的切線(xiàn); (2)若點(diǎn)E是的中點(diǎn),連接AE交BC于點(diǎn)F,當(dāng)BD=5,CD=4時(shí),求AF的值. 考點(diǎn): 切線(xiàn)的判定;相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 壓軸題. 分析: (1)證明△ADC∽△BAC,可得∠BAC=∠ADC=90°,繼而可判斷AC是⊙O的切線(xiàn). (2)根據(jù)(1)所得△ADC∽△BAC,可得出CA的長(zhǎng)度,繼而判斷∠CFA=∠CAF,利用等腰三角形的性質(zhì)得出AF的長(zhǎng)度,繼而得出DF的長(zhǎng),在Rt△AFD中利用勾股定理可得出AF的長(zhǎng). 解答: 解:(1)∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=∠ADC=90°, ∵∠B=∠CAD,∠C=∠C, ∴△ADC∽△BAC, ∴∠BAC=∠ADC=90°, ∴BA⊥AC, ∴AC是⊙O的切線(xiàn). (2)∵△ADC∽△BAC(已證), ∴=,即AC2=BC×CD=36, 解得:AC=6, 在Rt△ACD中,AD==2, ∵∠CAF=∠CAD+∠DAE=∠ABF+∠BAE=∠AFD, ∴CA=CF=6, ∴DF=CA﹣CD=2, 在Rt△AFD中,AF==2. 點(diǎn)評(píng): 本題考查了切線(xiàn)的判定、相似三角形的判定與性質(zhì),解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握切線(xiàn)的判定定理、相似三角形的性質(zhì),勾股定理的表達(dá)式. 24.(2013?襄陽(yáng))如圖,△ABC內(nèi)接于⊙O,且AB為⊙O的直徑.∠ACB的平分線(xiàn)交⊙O于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線(xiàn)PD交CA的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)A作AE⊥CD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)B作BF⊥CD于點(diǎn)F. (1)求證:DP∥AB; (2)若AC=6,BC=8,求線(xiàn)段PD的長(zhǎng). 考點(diǎn): 切線(xiàn)的性質(zhì);全等三角形的判定與性質(zhì);勾股定理;相似三角形的判定與性質(zhì).4387773 專(zhuān)題: 證明題;壓軸題. 分析: (1)連結(jié)OD,由AB為⊙O的直徑,根據(jù)圓周角定理得AB為⊙O的直徑得∠ACB=90°,再由ACD=∠BCD=45°,則∠DAB=∠ABD=45°,所以△DAB為等腰直角三角形,所以DO⊥AB,根據(jù)切線(xiàn)的性質(zhì)得OD⊥PD,于是可得到DP∥AB; (2)先根據(jù)勾股定理計(jì)算出AB=10,由于△DAB為等腰直角三角形,可得到AD==5;由△ACE為等腰直角三角形,得到AE=CE==3,在Rt△AED中利用勾股定理計(jì)算出DE=4,則CD=7,易證得∴△PDA∽△PCD,得到===,所以PA=- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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