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Parrondo悖論表明（1）（2），交替進(jìn)行的2個(gè)輸?shù)牟┺挠螒驎?huì)最終導(dǎo)致贏。但這個(gè)令人驚奇的結(jié)果只是用來解答簡單的博弈架構(gòu)。而對于棘齒勢（3），特別是脈沖式棘齒勢（4）（5）能夠維持一個(gè)粒子在兩個(gè)外在勢能下交替運(yùn)動(dòng)，且其中任何一個(gè)都無法產(chǎn)生純粹的運(yùn)動(dòng)。盡管這種現(xiàn)象和Parrondo悖論有性質(zhì)上的矛盾，但二者之間的關(guān)系一直很“融洽”（事實(shí)上，這促成了我們對于博弈游戲的啟發(fā)），而最近在致力于推導(dǎo)出兩者之間的關(guān)系（6）（7）。
在這里，我們重新列出了主方程，利用脈沖棘齒勢中Fokker–Planck方程來清晰地描述它們的關(guān)系。這樣，我們就能夠按照博弈游戲中的概率定義給出動(dòng)力學(xué)表達(dá)式以及電學(xué)表達(dá)式，同樣，給出棘齒勢，我們就能對應(yīng)博弈游戲來構(gòu)建出它的勢能。
Parrondo悖論中，參與者投擲不同的硬幣出現(xiàn)正（反）面則贏（輸）得一單位的資金，盡管提出了許多可能性(8)(9)(10)（11）（12）（13）（14），這里我們只考慮最原始的那種贏的可能性。定義為資金的實(shí)際價(jià)值，i為系數(shù)，來給出完全指定的集合或概率。則對于任意Pk都是一個(gè)公平的博弈，輸贏都相等，有:
。
這個(gè)悖論表明了交替進(jìn)行（隨機(jī)或者周期）兩個(gè)公平的博弈游戲可以產(chǎn)生贏的結(jié)果。舉例來說，定義交替的博弈游戲A為定義游戲B為且p0=1/10,p1=p2=3/4,這樣產(chǎn)生了贏的結(jié)果，盡管游戲A和游戲B都是公平的游戲。
定義一個(gè)離散次數(shù)τ，則每投擲一次硬幣τ增加1。如果我們定義Pi為次數(shù)τ下i所對應(yīng)的資產(chǎn)的概率，能夠得到下列方程：
（1）
這里指當(dāng)資產(chǎn)為時(shí)贏的概率，指當(dāng)資產(chǎn)為時(shí)輸?shù)母怕?，并且為了完整性，我們已?jīng)介紹了為資產(chǎn)i不變時(shí)的概率（一個(gè)基本沒有考慮Parrondo悖論的博弈游戲）。這里注意，之前按照規(guī)則的描述，我們已經(jīng)設(shè)定了概率{，，}并不取決于次數(shù)，很明顯這滿足：++=1 。 （2）
確保這個(gè)概率為：
。
這樣可以連續(xù)寫出主方程：
， （3）
當(dāng)前給出
=， （4）
且： ， （5）
這是與Fokker–Plank離散方程(15)中一個(gè)電流的概率P(x, t)一致的形式
（6）
以及電流
（7）
這里有一般的趨勢，及其映射。如果和分別是時(shí)間和空間的離散變量，那么有，,可以清晰的得到
， . （8）
這里離散和連續(xù)的概率與有關(guān)，并且考慮到連續(xù)極限有極值，在這種情況下且。
現(xiàn)在，我們考慮了的情況，因于是有：
， （9）
并且電流只不過是到1的概率變化。
因恒定電流，我們發(fā)現(xiàn)從（4）導(dǎo)出的固定的能夠解決邊界情況下的循環(huán)關(guān)系：
（10）
則電流
（11）
是從得到的歸一化常數(shù)，這些表達(dá)式中我們介紹了勢能按照博弈游戲形式的概率
(12)
零電流的情況下,暗示了周期的勢能。這種情況再次出現(xiàn)在這樣公平的博弈中，那么得出指數(shù)函數(shù)注意方程（12）分為極限到或,即為推力和移動(dòng)系數(shù)之間的一個(gè)通常的關(guān)系。
按照勢能，獲取博弈概率的逆運(yùn)算需要解出方程（12）在（17）這種極限情況：
(13)
通過已給的概率集合，利用（12）這些結(jié)果可以得到隨機(jī)概率（和電流），利用（12）；以及逆運(yùn)算：獲得了隨機(jī)的勢能下博弈游戲的概率，利用（13）。注意交替進(jìn)行的博弈結(jié)果，γ表示時(shí)游戲A的概率，以及
圖1：左邊：因公平的博弈B，從12中可以定義在時(shí)的勢能。右邊：在時(shí)博弈B的勢能，結(jié)果來自于隨機(jī)變化的博弈B和一個(gè)博弈A在概率的情況，。
通過，定義一個(gè)博弈B的集合對應(yīng)了一個(gè)概率集合，又因變量，得到這種關(guān)系：
（14）
并且相關(guān)概率服從（12）。
我們給出了兩個(gè)應(yīng)用了上述形式的例子，在第一個(gè)中我們計(jì)算了公平的博弈和贏的博弈的隨機(jī)概率，概率時(shí)博弈B和博弈A的隨機(jī)結(jié)合是不變的概率，而悖論（1）最基本的解釋中，產(chǎn)生了圖1的結(jié)果，這里注意組合博弈的勢能是如何顯示區(qū)域中那種大幅增加的不對稱性。
圖2：左邊：在時(shí)的棘齒勢。那些零星的離散值適用于博弈B的定義。右邊：從概率的博弈A和博弈B得到了組合博弈的勢能離散值,其中的線是在條件下的預(yù)估。
第2個(gè)應(yīng)用即為輸入勢能
（15）已被廣泛應(yīng)用于棘齒原型。設(shè)，，將時(shí)的概率離散化，利用（13）我們可以得到一個(gè)概率集合。因勢能是周期性的，則博弈的B的結(jié)果取決于這些概率是公平的且當(dāng)前為零。博弈A也同樣取決于，。我們繪制了圖2博弈和博弈的勢能，時(shí)博弈A和博弈B的隨機(jī)組合，再次注意，與贏的博弈B一樣，已經(jīng)傾斜了。如圖3所示電流基于交替進(jìn)行的博弈A和B。
圖3：方程（11）得出的電流，作為交替進(jìn)行的博弈A和B的概率函數(shù)。博弈B被定義為在時(shí)離散化的棘齒勢，對應(yīng)最大值
綜上所述，我們已經(jīng)利用Fokker–Planck方程寫出了主方程來描述過阻尼狀態(tài)的布朗粒子所體現(xiàn)的離散一致性。這樣我們能夠把博弈概率與動(dòng)力學(xué)勢能關(guān)聯(lián)起來，我們的方法產(chǎn)生了一個(gè)公平博弈對應(yīng)的周期性勢能和贏的游戲?qū)?yīng)的傾斜的勢能。生成的表達(dá)式在極限時(shí)用來獲取脈沖棘齒勢的有效勢能以及由此產(chǎn)生的電流。