高中數(shù)學(xué) 2.4.2拋物線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)（2）課件 新人教版選修2-1.ppt

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第2課時(shí) 拋物線方程及性質(zhì)的應(yīng)用,類型 一 直線與拋物線的位置關(guān)系 【典型例題】 1.過(guò)點(diǎn)(0,-1)的直線與拋物線x2=-2y公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為( ) A.0 B.1 C.2 D.1或2 2.已知直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰有一個(gè)公共點(diǎn),求實(shí)數(shù)a的值.,【解題探究】1.過(guò)定點(diǎn)的直線與拋物線有幾個(gè)公共點(diǎn),關(guān)鍵條件是什么? 2.曲線y2=ax在什么情況下表示拋物線? 探究提示: 1.過(guò)定點(diǎn)的直線與拋物線有幾個(gè)公共點(diǎn),其關(guān)鍵要看定點(diǎn)與拋物線的位置關(guān)系. 2.曲線y2=ax中,當(dāng)a=0時(shí)表示x軸,當(dāng)a≠0時(shí),表示焦點(diǎn)在x軸上的拋物線.,【解析】1.選D.因?yàn)辄c(diǎn)(0,-1)在拋物線內(nèi)部,故過(guò)該點(diǎn)的直線斜率不存在時(shí),與拋物線有一個(gè)公共點(diǎn),是相交的;斜率存在時(shí),有兩個(gè)公共點(diǎn),因此公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)是1個(gè)或2個(gè). 2.聯(lián)立方程組 (1)當(dāng)a=0時(shí),此方程組恰有一組解 (2)當(dāng)a≠0時(shí),消去x得 y2-y-1=0.,①若 即a=-1時(shí), 方程變?yōu)橐辉淮畏匠?y-1=0, 方程組恰有一組解 ②若 ≠0,即a≠-1,令Δ=0,得1+ =0, 可解得a=- , 這時(shí)直線與曲線相切,只有一個(gè)公共點(diǎn). 綜上所述,當(dāng)a=0,-1,- 時(shí),直線y=(a+1)x-1與曲線y2=ax恰 有一個(gè)公共點(diǎn).,【互動(dòng)探究】題2中,若直線與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn),求a的取值范圍. 【解析】由題意可知顯然a≠0. 由 得 y2-y-1=0. 因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)不同的公共點(diǎn). 所以Δ=1+4× 0且a+1≠0. 即 0且a≠-1,解得a0或a- 且a≠-1. 故a的取值范圍是(-∞,-1)∪(-1,- )∪(0,+∞).,【拓展提升】判斷直線與拋物線位置關(guān)系的兩種方法 (1)幾何法. 利用圖象,數(shù)形結(jié)合,判斷直線與拋物線的位置關(guān)系,但有誤差影響判斷的結(jié)果. (2)代數(shù)法. 設(shè)直線l的方程為y=kx+m,拋物線的方程為y2=2px(p0),將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x(或y)的一元二次方程形式:Ax2+Bx+C=0(或Ay2+By+C=0).,相交:①有兩個(gè)交點(diǎn): ②有一個(gè)交點(diǎn):A=0(直線與拋物線的對(duì)稱軸平行,即相交); 相切:有一個(gè)公共點(diǎn),即 相離:沒(méi)有公共點(diǎn),即,類型 二 與弦長(zhǎng)有關(guān)的問(wèn)題 【典型例題】 1.斜率為1的直線經(jīng)過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn),與拋物線交于A,B兩點(diǎn),則線段AB的長(zhǎng)為 . 2.(2013·合肥高二檢測(cè))設(shè)拋物線C:y2=4x,F為C的焦點(diǎn),過(guò)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn). (1)設(shè)l的斜率為2,求|AB|的大小. (2)求證: 是一個(gè)定值.,【解題探究】1.題1中的直線已知了哪些條件? 2.求過(guò)焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí),有幾種方法? 探究提示: 1.首先已知斜率為1,其次經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn). 2.|AB|= |x1-x2|或|AB|= 或|AB|=x1+x2+p等.,【解析】1.方法一:∵拋物線焦點(diǎn)為(1,0), ∴直線l的方程為y=x-1. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 由 得x2-6x+1=0. ∴|AB|=x1+x2+p=6+2=8. 方法二:由AB所在直線斜率為1,則其所在直線的傾斜角θ=45°, 故|AB|= 答案:8,2.(1)依題意得F(1,0),∴直線l的方程為y=2(x-1). 設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去y整理得x2-3x+1=0, ∴x1+x2=3,x1x2=1. 方法一:∴|AB|= |x1-x2| = =5.,方法二:∴|AB|=|AF|+|BF| =x1+x2+p=3+2=5. (2)設(shè)直線l的方程為x=ky+1, 設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2), 由 消去x整理得y2-4ky-4=0, ∴y1+y2=4k,y1y2=-4. ∵ =(x1,y1)·(x2,y2)=x1x2+y1y2=(ky1+1)(ky2+1)+y1y2 =k2y1y2+k(y1+y2)+1+y1y2=-4k2+4k2+1-4=-3, ∴ 是一個(gè)定值.,【拓展提升】直線與拋物線相交的弦長(zhǎng)問(wèn)題 直線和拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn),直線的斜率為k. (1)一般的弦長(zhǎng)公式:|AB|= |x1-x2|. (2)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式:當(dāng)直線經(jīng)過(guò)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn)時(shí),弦長(zhǎng)|AB|=x1+x2+p.,【變式訓(xùn)練】已知焦點(diǎn)在y軸上的拋物線被直線x-2y-1=0截 得弦長(zhǎng)是 ,求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程. 【解題指南】本題沒(méi)有明確焦點(diǎn)是在y軸的正半軸還是負(fù)半軸,應(yīng)該兩種情況分類求解,為避免討論,巧設(shè)拋物線方程為x2=ay(a≠0).,【解析】設(shè)拋物線方程為x2=ay(a≠0),與直線方程聯(lián)立方程 組得 消去y得2x2-ax+a=0,Δ=(-a)2-4×2×a0, 解得a8.設(shè)兩交點(diǎn)坐標(biāo)是P1(x1,y1),P2(x2,y2), 則x1+x2= ,x1x2= 代入弦長(zhǎng)公式得: |P1P2|= 解得a=-4或a=12都符合題意,故拋物線方程為x2=-4y或x2=12y.,類型 三 與拋物線有關(guān)的中點(diǎn)弦問(wèn)題 【典型例題】 1.已知拋物線y2=2x,點(diǎn)(4,0)恰是直線被拋物線所截得的弦的中點(diǎn),則直線方程是 . 2.過(guò)點(diǎn)M(4,1)作拋物線y2=8x的弦AB,若弦AB恰被點(diǎn)M所平分,求弦AB所在直線的方程.,【解題探究】1.若直線與拋物線相交,且所得的弦的中點(diǎn)在對(duì)稱軸上,則此直線應(yīng)具備什么特點(diǎn)? 2.如何判斷以某點(diǎn)為中點(diǎn)的弦一定存在? 探究提示: 1.此直線垂直于拋物線的對(duì)稱軸. 2.當(dāng)點(diǎn)在拋物線的內(nèi)部時(shí),以該點(diǎn)為中點(diǎn)的弦一定存在,否則就不存在.,【解析】1.由于(4,0)恰在拋物線的對(duì)稱軸上,能符合題意的直線與對(duì)稱軸垂直,故直線方程是x=4. 答案:x=4 2.方法一:設(shè)以M為中點(diǎn)的弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)為A(x1,y1), B(x2,y2),則有x1+x2=2×4=8,y1+y2=2×1=2,由題知直線AB的 斜率k存在且不為0,k=,把A(x1,y1),B(x2,y2)的坐標(biāo)代入拋物線的方程得y12=8x1①, y22=8x2②. ②-①得y22-y12=8(x2-x1), ∴8= =2k,∴k=4, ∴所求弦AB所在的直線方程為y-1=4(x-4), 即4x-y-15=0.,方法二:由題知直線AB的斜率存在,且不為0,設(shè)為k,弦AB所 在的直線方程為y=k(x-4)+1,由 消去x得ky2-8y+8-32k=0,∴y1+y2= . 又知AB的中點(diǎn)就是M,∴y1+y2=2= ,∴k=4, ∴弦AB所在的直線方程為y=4(x-4)+1, 即4x-y-15=0.,【拓展提升】“中點(diǎn)弦”問(wèn)題解題策略兩法,【變式訓(xùn)練】求過(guò)點(diǎn)(2,1)的直線與拋物線y2=4x相交所得弦的中點(diǎn)的軌跡方程. 【解題指南】可采用“點(diǎn)差法”,即用點(diǎn)差法表示出直線斜率及斜率公式求得的斜率相等建立方程求解.,【解析】設(shè)弦的中點(diǎn)為M(x,y),弦的端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1+x2=2x,y1+y2=2y. 由 得(y1+y2)(y1-y2)=4(x1-x2), 當(dāng)x1≠x2即直線的斜率存在時(shí),設(shè)直線的斜率為k, 則,又由斜率公式得k= (x≠2),∴ 整理得y2-2x-y+4=0(x≠2)①. 當(dāng)x1=x2,即x=2時(shí),此時(shí)斜率不存在,弦的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0), 也符合①式, 故中點(diǎn)的軌跡方程為y2-2x-y+4=0.,拋物線的綜合問(wèn)題 【典型例題】 1.(2013·南昌高二檢測(cè))設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)兩點(diǎn)在拋物線y=2x2上,l是AB的垂直平分線, (1)當(dāng)且僅當(dāng)x1+x2取何值時(shí),直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F?證明你的結(jié)論. (2)當(dāng)x1=1,x2=-3時(shí),求直線l的方程.,2.已知拋物線y2=4x的焦點(diǎn)為F,過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A,B 兩點(diǎn). (1)若 求直線AB的斜率. (2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng),原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C,求四 邊形OACB面積的最小值.,【解析】1.(1)∵拋物線y=2x2,即x2= , ∴p= ∴焦點(diǎn)為F(0, ),直線l的斜率不存在時(shí),顯然有x1+x2=0, 直線l的斜率存在時(shí),設(shè)為k,截距為b,即直線l:y=kx+b,由已知 得:,所以 即 由于x12+x22=- +b≥0,∴b≥ , 即l的斜率存在時(shí),不可能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F(0, ),所以當(dāng)且僅當(dāng) x1+x2=0時(shí),直線l經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F.,(2)當(dāng)x1=1,x2=-3時(shí),直線l的斜率顯然存在,設(shè)l:y=kx+b, 則由(1)得: 所以,直線l的方程為y= 即x-4y+41=0.,2.(1)依題意F(1,0),設(shè)直線AB的方程為x=my+1. 將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立,消去x得y2-4my-4=0. 設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2), 所以y1+y2=4m,y1y2=-4. ① 因?yàn)?所以y1=-2y2 ② 聯(lián)立①和②,消去y1,y2, 得m=± ,即 所以直線AB的斜率是±2 .,(2)由點(diǎn)C與原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱,得M是線段OC的中點(diǎn),從而點(diǎn)O與點(diǎn)C到直線AB的距離相等. 所以四邊形OACB的面積等于2S△AOB. 因?yàn)?S△AOB=2× ·|OF|·|y1-y2| = =4 所以m=0時(shí),四邊形OACB的面積最小,最小值是4.,【拓展提升】與拋物線有關(guān)的綜合問(wèn)題的類型 (1)拋物線中的最值問(wèn)題. (2)拋物線中的定值問(wèn)題. (3)拋物線的性質(zhì)的綜合應(yīng)用. (4)拋物線在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用. (5)拋物線與其他數(shù)學(xué)知識(shí)的綜合問(wèn)題.,【規(guī)范解答】拋物線定義及性質(zhì)的綜合應(yīng)用,【典例】,【條件分析】,【規(guī)范解答】(1)由已知可得△BFD為等腰直角三角形，|BD|=2p①, 圓F的半徑|FA|= p, 由拋物線定義可知A到l的距離d=|FA|= p.……………2分 因?yàn)椤鰽BD的面積為4 , 所以 |BD|·d=4 ,即 ·2p· p=4 , 解得p=-2(舍去),p=2.………………………………………4分 所以F(0,1),圓F的方程為x2+(y-1)2=8.……………………5分,(2)因?yàn)锳，B，F(xiàn)三點(diǎn)在同一直線m上②,所以AB為圓F的直徑, ∠ADB=90°,由拋物線定義知 ③. 所以∠ABD=30°,m的斜率為 或- ,……………………7分 當(dāng)m的斜率為 時(shí),由已知可設(shè)n:y= x+b,代入x2=2py 得x2- px-2pb=0.由于n與C只有一個(gè)公共點(diǎn), 故Δ= p2+8pb=0,解得b=- .……………………………9分,因?yàn)閙的截距b1= , ④,所以坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n距離的比 值為3.………………………………………………………11分 當(dāng)m的斜率為- 時(shí),由圖形的對(duì)稱性可知,坐標(biāo)原點(diǎn)到m,n 距離的比值為3.……………………………………………12分,【失分警示】,【防范措施】 1.巧挖三角形的特征 解題中要特別關(guān)注特殊的三角形,如直角三角形,等腰三角形,等邊三角形和等腰直角三角形,尤其是三角形中的邊與角的關(guān)系,對(duì)解題會(huì)起到非常重要的作用,如本例①處Rt△BFD中,|BD|=2p的挖掘. 2.巧挖條件的內(nèi)涵 解題中任何條件都是對(duì)解題有用的,要善于利用條件,如本例中A,B,F共線,從而∠ADB=90°.,3.善于使用定義 拋物線是靈活的圓錐曲線,特別是它的定義,如本例③處,如果沒(méi)有利用好,就無(wú)法得出結(jié)論. 4.“距離”與“截距”不同 應(yīng)注意區(qū)別二者,如本例④,切不可把距離之比寫(xiě)成截距之比.,【類題試解】已知過(guò)拋物線y2=2px(p0)的焦點(diǎn),斜率為 的 直線交拋物線于A(x1,y1),B(x2,y2)(x1x2)兩點(diǎn),且|AB|=9. (1)求該拋物線的方程. (2)O為坐標(biāo)原點(diǎn),C為拋物線上一點(diǎn),若 求λ的值.,【解析】(1)直線AB的方程是y=2 (x- ), 與y2=2px聯(lián)立,從而有4x2-5px+p2=0, 所以:x1+x2= .由拋物線定義得:|AB|=x1+x2+p=9, 所以p=4,所以拋物線方程為y2=8x. (2)由p=4,4x2-5px+p2=0化簡(jiǎn)得x2-5x+4=0,x1=1,x2=4, y1=-2 ,y2=4 ,,從而A(1,-2 ),B(4,4 ),設(shè) =(x3,y3)=(1,-2 ) +λ(4,4 )=(1+4λ,-2 +4 λ),又因?yàn)閥32=8x3, 即[2 (2λ-1)]2=8(4λ+1),即(2λ-1)2=4λ+1, 解得λ=0或λ=2.綜上:λ=0或λ=2.,1.設(shè)拋物線y2=2x與過(guò)焦點(diǎn)F的直線交于A,B兩點(diǎn),則 的值是( ) A. B.- C.3 D.-3 【解析】選B.特例法,F( ,0),取A,B的橫坐標(biāo)x= ,則不妨 令A(yù)( ,1),B( ,-1),∴,2.設(shè)A,B是拋物線x2=4y上兩點(diǎn),O為原點(diǎn),若|OA|=|OB|,且 △AOB的面積為16,則∠AOB等于( ) A.30° B.45° C.60° D.90° 【解析】選D.由|OA|=|OB|,知拋物線上點(diǎn)A,B關(guān)于y軸對(duì)稱, 設(shè)A(-a, ),B(a, ),a0,S△AOB= ×2a× =16,解得 a=4,∴△AOB為等腰直角三角形,∠AOB=90°.,3.過(guò)點(diǎn)M(2,5)與拋物線y2=8x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有 條. 【解析】把x=2代入y2=8x得y2=16,∴y=±4. ∵54,∴點(diǎn)M在拋物線的外部,所以所求的直線有三條,分別為兩條切線和一條平行于x軸的直線. 答案:3,4.拋物線y2=12x被直線y=x+1所截得的弦長(zhǎng)是 . 【解析】由 得x2-10x+1=0. 設(shè)兩交點(diǎn)A(x1,y1), B(x2,y2),則x1+x2=10,x1x2=1, ∴|AB|= = 答案:8,5.求過(guò)點(diǎn)P(0,1)且與拋物線y2=2x只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線方程. 【解析】(1)若直線斜率不存在,則過(guò)P(0,1)的直線方程為x=0. 直線x=0與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn). (2)若直線斜率存在,設(shè)為k,則過(guò)點(diǎn)P的直線方程為y=kx+1. 由方程組 消元得:k2x2+2(k-1)x+1=0,,①當(dāng)k=0時(shí),得 即直線y=1與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn). ②當(dāng)k≠0時(shí),若直線與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn), 則Δ=4(k-1)2-4k2=0. ∴k= ,故直線方程為:y= x+1. 綜上所述:所求直線方程為x=0或y=1或y= x+1.,