2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 推理與證明課堂過(guò)關(guān) 理.doc
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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 推理與證明課堂過(guò)關(guān) 理考點(diǎn)新知能用歸納和類(lèi)比等方法進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用;掌握演繹推理的基本方法,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單的推理;了解合情推理和演繹推理的聯(lián)系和區(qū)別 了解合情推理的含義,能利用歸納和類(lèi)比等進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理,了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用. 了解演繹推理的重要性,掌握演繹推理的基本模式,并能運(yùn)用它們進(jìn)行一些簡(jiǎn)單推理. 了解合情推理和演繹推理之間的聯(lián)系和差異1. 已知2,3,4,類(lèi)比這些等式,若6(a、b均為正數(shù)),則ab_答案:41解析:觀察下列等式2,3,4,第n個(gè)應(yīng)該是(n1),則第5個(gè)等式中:a6,ba2135,ab41.2. 在平面幾何中有如下結(jié)論:正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1,外接圓面積為S2,則,推廣到空間可以得到類(lèi)似結(jié)論;已知正四面體PABC的內(nèi)切球體積為V1,外接球體積為V2,則_. 答案:解析:正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為13,故.3. 設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn.若存在正整數(shù)m、n(mn),使得SmSn,則Smn0.類(lèi)比上述結(jié)論,設(shè)正項(xiàng)等比數(shù)列bn的前n項(xiàng)積為T(mén)n.若存在正整數(shù)m、n(m0, a11;當(dāng)n2時(shí),S2,即a2a210. a20, a21.同理可得,a3.(2) 由(1)猜想an.(3) Sn1(1)()().已知數(shù)列an滿(mǎn)足a12,an1(nN*),則a3_,a1a2a3a2 007_答案:3解析:(解法1)分別求出a23,a3,a4,a52,可以發(fā)現(xiàn)a5a1,且a1a2a3a41,故a1a2a3a2 007a2 005a2 006a2 007a1a2a33.(解法2)由an1,聯(lián)想到兩角和的正切公式,設(shè)a12tan,則有a2tan,a3tan,a4tan,a5tan()a1,.則a1a2a3a41,故a1a2a3a2 007a2 005a2 006a2 007a1a2a33.題型2 類(lèi)比推理2現(xiàn)有一個(gè)關(guān)于平面圖形的命題:如圖所示,同一個(gè)平面內(nèi)有兩個(gè)邊長(zhǎng)都是a的正方形,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方形重疊部分的面積恒為.類(lèi)比到空間,有兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體,其中一個(gè)的某頂點(diǎn)在另一個(gè)的中心,則這兩個(gè)正方體重疊部分的體積恒為_(kāi)答案:解析:在已知的平面圖形中,中心O到兩邊的距離相等(如圖1),即OMON.四邊形OPAR是圓內(nèi)接四邊形,RtOPNRtORM,因此S四邊形OPARS正方形OMANa2.同樣地,類(lèi)比到空間,如圖2.兩個(gè)棱長(zhǎng)均為a的正方體重疊部分的體積為a3.在RtABC中,兩直角邊的長(zhǎng)分別為a,b,直角頂點(diǎn)C到斜邊的距離為h,則易證.在四面體SABC中,側(cè)棱SA,SB,SC兩兩垂直,SAa,SBb,SCc,點(diǎn)S到平面ABC的距離為h,類(lèi)比上述結(jié)論,寫(xiě)出h與a,b,c之間的等式關(guān)系并證明解:類(lèi)比得到:.證明:過(guò)S作ABC所在平面的垂線(xiàn),垂足為O,連結(jié)CO并延長(zhǎng)交AB于D,連結(jié)SD, SO平面ABC, SOAB. SCSA,SCSB, SC平面ABS, SCAB,SCSD, AB平面SCD, ABSD.在RtABS中,有, 在RtCDS中,有.題型3 演繹推理,3)設(shè)同時(shí)滿(mǎn)足條件:bn1(nN*);bnM(nN*,M是與n無(wú)關(guān)的常數(shù))的無(wú)窮數(shù)列bn叫“特界” 數(shù)列(1) 若數(shù)列an為等差數(shù)列,Sn是其前n項(xiàng)和,a34,S318,求Sn;(2) 判斷(1)中的數(shù)列Sn是否為“特界” 數(shù)列,并說(shuō)明理由解:(1) 設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,則a12d4,3a13d18,解得a18,d2,Snna1dn29n.(2) 由Sn110,得Sn1,故數(shù)列Sn適合條件,而Snn29n2(nN*),則當(dāng)n4或5時(shí),Sn有最大值20.即Sn20,故數(shù)列Sn適合條件.綜上,數(shù)列Sn是“特界”數(shù)列設(shè)數(shù)列滿(mǎn)足a10且 1.(1) 求的通項(xiàng)公式;(2) 設(shè)bn,記Snbk,證明:Snb,那么”時(shí),假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為_(kāi)答案:或解析:根據(jù)反證法的步驟,假設(shè)是對(duì)原命題結(jié)論的否定,即或解析: 由分析法可得,要證2,只需證2,即證132134,即2.因?yàn)?240,所以2成立4. 定義集合運(yùn)算:ABZ|Zxy,xA,yB,設(shè)集合A1,0,1,Bsin,cos,則集合AB的所有元素之和為_(kāi)答案:0解析:依題意知k,kZ.k(kZ)時(shí),B,AB;2k或2k(kZ)時(shí),B0,1,AB0,1,1;2k或2k(kZ)時(shí),B0,1,AB0,1,1;且k(kZ)時(shí),Bsin,cos,AB0,sin,cos,sin,cos綜上可知AB中的所有元素之和為0.5. 設(shè)a、b為兩個(gè)正數(shù),且ab1,則使得恒成立的的取值范圍是_答案:(,4解析: ab1,且a、b為兩個(gè)正數(shù), (ab)2224.要使得恒成立,只要4.1. 直接證明(1) 定義:直接從原命題的條件逐步推得命題成立的證明方法(2) 一般形式ABC本題結(jié)論(3) 綜合法 定義:從已知條件出發(fā),以已知的定義、公理、定理為依據(jù),逐步下推,直到推出要證明的結(jié)論為止這種證明方法稱(chēng)為綜合法 推證過(guò)程(4) 分析法 定義:從問(wèn)題的結(jié)論出發(fā),追溯導(dǎo)致結(jié)論成立的條件,逐步上溯,直到使結(jié)論成立的條件和已知條件或已知事實(shí)吻合為止這種證明方法稱(chēng)為分析法 推證過(guò)程2. 間接證明(1) 常用的間接證明方法有反證法、正難則反等(2) 反證法的基本步驟 反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假定原結(jié)論的反面為真 歸謬從反設(shè)和已知出發(fā),經(jīng)過(guò)一系列正確的邏輯推理,得出矛盾結(jié)果 存真由矛盾結(jié)果,斷定反設(shè)不真,從而肯定原結(jié)論成立.題型1 直接證明(綜合法和分析法),1)數(shù)列an的前n項(xiàng)和記為Sn,已知a11,an1Sn(n1,2,3,),證明:(1) 數(shù)列是等比數(shù)列;(2) Sn14an.證明:(1) an1Sn1Sn,an1Sn(n1,2,3,), (n2)Snn(Sn1Sn),整理得nSn12(n1)Sn, 2,即2, 數(shù)列是等比數(shù)列(2) 由(1)知:4(n2),于是Sn14(n1)4an(n2)又a23S13, S2a1a2134a1, 對(duì)一切nN*,都有Sn14an.,2)設(shè)a、b、c均為大于1的正數(shù),且ab10,求證:logaclogbc4lgc.證明:(分析法)由于a1,b1,c1,故要證明logaclogbc4lgc,只要證明4lgc,即4,因?yàn)閍b10,故lgalgb1.只要證明4,由于a1,b1,故lga0,lgb0,所以0lgalgb22,即4成立所以原不等式成立設(shè)首項(xiàng)為a1的正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,q為非零常數(shù),已知對(duì)任意正整數(shù)n、m,SnmSmqmSn總成立求證:數(shù)列an是等比數(shù)列證明:因?yàn)閷?duì)任意正整數(shù)n、m,SnmSmqmSn總成立,令nm1,得S2S1qS1,則a2qa1.令m1,得Sn1S1qSn, 從而Sn2S1qSn1,得an2qan1(n1)綜上得an1qan(n1),所以數(shù)列an是等比數(shù)列題型2 間接證明(反證法),3)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a11,S393.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn;(2) 設(shè)bn(nN*),求證:數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成為等比數(shù)列解:(1) 由已知得 d2,故an2n1,Snn(n)(2) 證明:由(1)得bnn.假設(shè)數(shù)列bn中存在三項(xiàng)bp,bq,br(p,q,rN*,且互不相等)成等比數(shù)列,則bbpbr.即(q)2(p)(r) (q2pr)(2qpr)0. p,q,rN*, pr,(pr)20. pr,與pr矛盾 數(shù)列bn中任意不同的三項(xiàng)都不可能成等比數(shù)列求證:yax22bxc,ybx22cxa,ycx22axb(a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)),三條拋物線(xiàn)至少有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)證明:假設(shè)這三條拋物線(xiàn)全部與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)或沒(méi)有交點(diǎn),則有三式相加,得a2b2c2abacbc0.則(ab)2(bc)2(ca)20. abc與已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù)矛盾, 這三條拋物線(xiàn)至少有一條與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)1. (xx山東)用反證法證明命題“設(shè)a、b為實(shí)數(shù),則方程x2axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要做的假設(shè)是_答案:方程x2axb0沒(méi)有實(shí)根解析:“方程x2axb0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x2axb0有一個(gè)實(shí)根或兩個(gè)實(shí)根”,所以該命題的否定是“方程x2axb0沒(méi)有實(shí)根”2. 已知a、b、c(0,)且ac,bc,1,若以a、b、c為三邊構(gòu)造三角形,則c的取值范圍是_答案:(10,16)解析:要以a、b、c為三邊構(gòu)造三角形,需要滿(mǎn)足任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊,而ac,bc恒成立而ab(ab)1016, c, 10, 10c2.證明:(1) 假設(shè)函數(shù)f(x)是偶函數(shù),則f(2)f(2),即,解得a2,這與a2矛盾,所以函數(shù)f(x)不可能是偶函數(shù)(2) 因?yàn)閒(x),所以f(x). 充分性:當(dāng)a2時(shí),f(x)2.綜合知,原命題成立1. 已知點(diǎn)An(n,an)為函數(shù)y圖象上的點(diǎn),Bn(n,bn)為函數(shù)yx圖象上的點(diǎn),其中nN*,設(shè)cnanbn,則cn與cn1的大小關(guān)系為_(kāi)答案:cn1cn解析:由條件得cnanbnn, cn隨n的增大而減小 cn1cn.2. 一個(gè)平面封閉區(qū)域內(nèi)任意兩點(diǎn)距離的最大值稱(chēng)為該區(qū)域的“直徑”,封閉區(qū)域邊界曲線(xiàn)的長(zhǎng)度與區(qū)域直徑之比稱(chēng)為區(qū)域的“周率”,下面四個(gè)平面區(qū)域(陰影部分)的周率從左到右依次記為1,2,3,4,則1,2,3,4的大小關(guān)系為_(kāi)答案:4231解析:在圖(1)中,設(shè)圖形所在的矩形長(zhǎng)為a,寬為b,則其周率為,由不等式的性質(zhì)可知2;在圖(2)中設(shè)大圓的半徑為R,則易知外邊界長(zhǎng)為R,而內(nèi)邊界恰好為一個(gè)半徑為的小圓的周長(zhǎng)R,故整個(gè)邊界長(zhǎng)為2R,而封閉曲線(xiàn)的直徑最大值為2R,故周率為;圖(3)中周長(zhǎng)為直徑的三倍,故周率為3;圖(4)中設(shè)各邊長(zhǎng)為a,則整個(gè)邊界的周長(zhǎng)為12a,直徑為2a,故周率為2,故四個(gè)周率大小4231.3. 定義:若存在常數(shù)k,使得對(duì)定義域D內(nèi)的任意兩個(gè)x1,x2(x1x2),均有|f(x1)f(x2)|k|x1x2| 成立,則稱(chēng)函數(shù)f(x)在定義域D上滿(mǎn)足利普希茨條件若函數(shù)f(x)(x1)滿(mǎn)足利普希茨條件,則常數(shù)k的最小值為_(kāi)答案:解析:若函數(shù)f(x)(x1)滿(mǎn)足利普希茨條件,則存在常數(shù)k,使得對(duì)定義域1,)內(nèi)的任意兩個(gè)x1,x2(x1x2),均有|f(x1)f(x2)|k|x1x2| 成立,設(shè)x1x2,則k.而0,所以k的最小值為.4. 某同學(xué)在一次研究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn),以下五個(gè)式子的值都等于同一個(gè)常數(shù): sin213cos217sin13cos17; sin215cos215sin15cos15; sin218cos212sin18cos12; sin2(18)cos248sin(18)cos48; sin2(25)cos255sin(25)cos55.(1) 試從上述五個(gè)式子中選擇一個(gè),求出這個(gè)常數(shù);(2) 根據(jù)(1)的計(jì)算結(jié)果,將該同學(xué)的發(fā)現(xiàn)推廣為三角恒等式,并證明你的結(jié)論解: (1) 選擇式,計(jì)算如下:sin215cos215sin15cos151sin301.(2) (解法1)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下:sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.(解法2)三角恒等式為sin2cos2(30)sincos(30).證明如下:sin2cos2(30)sincos(30)sin(cos30cossin30sin)cos2 (cos60cos2sin60sin2)sincossin2cos2cos2sin2sin2(1cos2)1cos2cos2.5. 如圖,已知半徑為r的圓M的內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線(xiàn)AC和BD相互垂直且交點(diǎn)為P.(1) 若四邊形ABCD中的一條對(duì)角線(xiàn)AC的長(zhǎng)度為d(0d2r),求四邊形ABCD面積的最大值;(2) 當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí),四邊形ABCD的面積取得最大值,最大值為多少?解:(1) 因?yàn)閷?duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形ABCD面積S,而|AC|d為定長(zhǎng),則當(dāng)|BD|最大時(shí),S取得最大值由圓的性質(zhì),垂直于AC的弦中,直徑最長(zhǎng),故當(dāng)且僅當(dāng)BD過(guò)圓心M時(shí),四邊形ABCD面積S取得最大值,最大值為dr.(2) 設(shè)圓心M到弦AC的距離為d1,到弦BD的距離為d2,MPd.則|AC|2,|BD|2,且d2dd.可得SABCD22.又dd2,當(dāng)且僅當(dāng)d1d2時(shí)等號(hào)成立 SABCD22,當(dāng)且僅當(dāng)d1d2時(shí)等號(hào)成立 點(diǎn)P在圓內(nèi)運(yùn)動(dòng), 當(dāng)點(diǎn)P和圓心M重合時(shí)d0,此時(shí)d1d2,四邊形的面積最大,且最大值Smax2r2.1. 分析法的特點(diǎn)是從未知看已知,逐步靠攏已知,綜合法的特點(diǎn)是從已知看未知,逐步推出未知分析法和綜合法各有優(yōu)缺點(diǎn)分析法思考起來(lái)比較自然,容易尋找到解題的思路和方法,缺點(diǎn)是思路逆行,敘述較煩;綜合法從條件推出結(jié)論,較簡(jiǎn)捷地解決問(wèn)題,但不便于思考,實(shí)際證明時(shí)常常兩法兼用,先用分析法探索證明途徑,然后再用綜合法敘述出來(lái)2. 反證法是從否定結(jié)論出發(fā),經(jīng)過(guò)邏輯推理,導(dǎo)出矛盾,說(shuō)明結(jié)論的否定是錯(cuò)誤的,從而肯定原結(jié)論是正確的證明方法適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題:結(jié)論本身是以否定形式出現(xiàn)的一類(lèi)命題;關(guān)于唯一性、存在性的命題;結(jié)論以“至多”“至少”等形式出現(xiàn)的命題;結(jié)論的反面比原結(jié)論更具體更容易研究的命題請(qǐng)使用課時(shí)訓(xùn)練(B)第2課時(shí)(見(jiàn)活頁(yè))備課札記第3課時(shí)數(shù)學(xué)歸納法(對(duì)應(yīng)學(xué)生用書(shū)(理)9798頁(yè))理解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題了解數(shù)學(xué)歸納法的原理,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題1. 用數(shù)學(xué)歸納法證明11)時(shí),第一步應(yīng)驗(yàn)證_答案:11, n取的第一個(gè)數(shù)為2,左端分母最大的項(xiàng)為.2. (選修22P88練習(xí)題3改編)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“2nn21對(duì)于nn0的自然數(shù)n都成立”時(shí),第一步證明中的起始值n0應(yīng)取為_(kāi)答案:5解析:當(dāng)n4時(shí),2nn21;當(dāng)n5時(shí),253252126,所以n0應(yīng)取為5.3. 設(shè)f(n)1(nN*),則f(k1)f(k)_.答案:解析:f(k1)f(k)1(1).4. 利用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式時(shí),由k遞推到k1時(shí)左邊應(yīng)添加的因式是_答案:解析:f(k1)f(k)().5. 已知a1,an1,則a2,a3,a4,a5的值分別為_(kāi),由此猜想an_答案:、解析:a2,同理a3,a4,a5,猜想an.1. 由一系列有限的特殊現(xiàn)象得出一般性的結(jié)論的推理方法,通常叫做歸納法2. 對(duì)某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題常采用下面的方法來(lái)證明它們的正確性:先證明當(dāng)n取第1個(gè)值n0時(shí),命題成立;然后假設(shè)當(dāng)nk(kN,kn0)時(shí)命題成立;證明當(dāng)nk1時(shí),命題也成立,這種證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法3. 用數(shù)學(xué)歸納法證明一個(gè)與正整數(shù)有關(guān)的命題時(shí),其步驟為:(1) 歸納奠基:證明凡取第一個(gè)自然數(shù)n0時(shí)命題成立;(2) 歸納遞推:假設(shè)nk(kN,kn0)時(shí)命題成立,證明當(dāng)nk1時(shí),命題成立;(3) 由(1)(2)得出結(jié)論備課札記題型1 證明等式1 (xx陜西)設(shè)函數(shù)f(x)ln(1x),g(x)xf(x),x0,其中f(x)是f(x)的導(dǎo)函數(shù)令g1(x)g(x),gn1(x)g(gn(x),nN*,求證:gn(x).證明:(數(shù)學(xué)歸納法) 當(dāng)n1時(shí),g1(x),結(jié)論成立 假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立,即gk(x).那么,當(dāng)nk1時(shí),gk1(x)g(gk(x),即結(jié)論成立由可知,結(jié)論對(duì)所有nN*均成立用數(shù)學(xué)歸納法證明:1(nN)證明: 當(dāng)n1時(shí),等式左邊1右邊,等式成立 假設(shè)當(dāng)nk(kN)時(shí),等式成立,即1,那么,當(dāng)nk1時(shí),有1,上式表明當(dāng)nk1時(shí),等式也成立由知,等式對(duì)任何nN均成立題型2 證明不等式,2)(xx南通二模)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列xn對(duì)一切nN*均滿(mǎn)足xn2.證明:(1) xnxn1;(2) 1xn1.證明:(1) xn0,xn2, 02xn, xn1,且2xn0. xn0. xn, xnxn1,即xnxn1.(2) 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明:xn1. 當(dāng)n1時(shí),由題設(shè)x10可知結(jié)論成立; 假設(shè)nk時(shí),xk1,當(dāng)nk1時(shí),由(1)得,xk11.由可得,xn1.下面先證明xn1.假設(shè)存在自然數(shù)k,使得xk1,則一定存在自然數(shù)m,使得xk1.因?yàn)閤k2,xk1,xk2,xkm12,與題設(shè)xk2矛盾,所以xn1.若xk1,則xk1xk1,根據(jù)上述證明可知存在矛盾所以xn1成立已知x1,x2,xnR,且x1x2xn1,求證:(x1)(x2)(xn)(1)n.證明(數(shù)學(xué)歸納法):() 當(dāng)n1時(shí),x11,不等式成立() 假設(shè)nk時(shí)不等式成立,即(x1)(x2)(xk)(1)k成立則nk1時(shí),若xk11,則命題成立;若xk11,則x1,x2,xk中必存在一個(gè)數(shù)小于1,不妨設(shè)這個(gè)數(shù)為xk,從而(xk1)(xk11)1xkxk1.xk10, 0an11,且0a11, 0an1, an11,且a11, an2, |ak2ak1|. 當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論成立由和知,以上猜想成立題型4 綜合運(yùn)用,4)若函數(shù)f(x)x22x3,定義數(shù)列xn如下:x12,xn1是過(guò)點(diǎn)P(4,5),Qn(xn,f(xn)的直線(xiàn)PQn與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo),試運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明:2xnxn13.證明: 當(dāng)n1時(shí),x12,f(x1)3,Q1(2,3) 直線(xiàn)PQ1的方程為y4x11,令y0,得x2,因此,2x1x23,即n1時(shí)結(jié)論成立 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)結(jié)論成立,即2xkxk13. 直線(xiàn)PQk1的方程為y5(x4)又f(xk1)x2xk13,代入上式,令y0,得xk24.由歸納假設(shè),2xk13,xk240,即xk1xk2. 2xk1xk23,即當(dāng)nk1時(shí),結(jié)論成立由知對(duì)任意的正整數(shù)n,2xnxn1時(shí),則f(2k1)f(2k)等于_答案:解析: f(2k1)1,f(2k)1, f(2k1)f(2k).2. 用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式:1(nN*且n1)證明:當(dāng)n2時(shí),左邊1, n2時(shí)不等式成立;假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)不等式成立,即1,那么當(dāng)nk1時(shí),左邊1(2k1)11.綜上,對(duì)于任意nN*,n1不等式均成立,原命題得證3. 已知函數(shù)f(x)x3ax在(1,0)上是增函數(shù)(1) 求實(shí)數(shù)a的取值范圍A;(2) 當(dāng)a為A中最小值時(shí),定義數(shù)列an滿(mǎn)足:a1(1,0),且2an1f(an),用數(shù)學(xué)歸納法證明an(1,0),并判斷an1與an的大小解 :(1) f(x)3x2a0即a3x2在x(1,0)恒成立, A3,)(2) 用數(shù)學(xué)歸納法證明:an(1,0)() n1時(shí),由題設(shè)a1(1,0);() 假設(shè)nk時(shí),ak(1,0),則當(dāng)nk1時(shí),ak1f(ak)(a3ak),由(1)知:f(x)x33x在(1,0)上是增函數(shù),又ak(1,0),所以(1)33(1)1ak1f(ak)(a3ak)0,綜合()()得:對(duì)任意nN*,an(1,0)an1an(a3an)anan(an1)(an1)因?yàn)閍n(1,0),所以an1an0,即an1an.4. (xx江蘇)已知函數(shù)f0(x)(x0),設(shè)fn(x)為fn1(x)的導(dǎo)數(shù),nN*.(1) 求2f1f2的值;(2) 證明:對(duì)任意的nN*,等式|nfn1fn|都成立 (1) 解:由已知,得f1(x)f0(x),于是f2(x)f1(x),所以f1,f2.故2f1f21.(2) 證明:由已知,得xf0(x)sinx,等式兩邊分別對(duì)x求導(dǎo),得f0(x)xf0(x)cosx,即f0(x)xf1(x)cosxsin,類(lèi)似可得2f1(x)xf2(x)sinxsin(x),3f2(x)xf3(x)cosxsin,4f3(x)xf4(x)sinxsin(x2)下面用數(shù)學(xué)歸納法證明等式nfn1(x)xfn(x)sin對(duì)所有的nN*都成立 當(dāng)n1時(shí),由上可知等式成立 假設(shè)當(dāng)nk時(shí)等式成立,即kfk1(x)xfk(x)sin.因?yàn)閗fk1(x)xfk(x)kfk1(x)fk(x)xfk(x)(k1)fk(x)xfk1(x),cossin,所以(k1)fk(x)xfk1(x)sin.因此當(dāng)nk1時(shí),等式也成立綜合可知等式nfn1(x)xfn(x)sin對(duì)所有的nN*都成立令x,可得nfn1fnsin()(nN*)所以(nN*)1. 數(shù)學(xué)歸納法是專(zhuān)門(mén)證明與整數(shù)有關(guān)命題的一種方法,分兩步,第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩步缺一不可2. 運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法時(shí)易犯的錯(cuò)誤:對(duì)項(xiàng)數(shù)估算的錯(cuò)誤,特別是尋找nk與nk1的關(guān)系時(shí),項(xiàng)數(shù)發(fā)生什么變化被弄錯(cuò);沒(méi)有利用歸納假設(shè);關(guān)鍵步驟含糊不清,“假設(shè)nk時(shí)結(jié)論成立,利用此假設(shè)證明nk1時(shí)結(jié)論也成立”,是數(shù)學(xué)歸納法的關(guān)鍵一步,也是證明問(wèn)題最重要的環(huán)節(jié),對(duì)推導(dǎo)的過(guò)程要把步驟寫(xiě)完整,注意證明過(guò)程的嚴(yán)謹(jǐn)性和規(guī)范性備課札記- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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- 2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第七章 推理與證明課堂過(guò)關(guān) 2019 2020 年高 數(shù)學(xué) 一輪 復(fù)習(xí) 第七 推理 證明 課堂 過(guò)關(guān)
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