高考數(shù)學一輪復習 第十章 第9課時 隨機變量的期望與方差課件 理.ppt

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,,第十章 計數(shù)原理和概率,1．了解離散型隨機變量的數(shù)學期望、方差、標準差的意義，會根據(jù)離散型隨機變量的分布列求它的期望、方差． 2．離散型隨機變量的期望與方差在現(xiàn)實生活中有著重要意義，因此求期望、方差是應用題的命題方向． 請注意 期望與方差是隨機變量最重要的兩個特征數(shù)，它們所表示的意義具有很大的實用價值，是高考的熱點之一．高考的主要題型有兩種：一是求期望值和方差；二是有關的應用題．,1．期望與方差 若離散型隨機變量ξ的概率分布為,標準差,σ(ξ),2．離散型隨機變量的期望與方差具有下列性質(zhì) (1)離散型隨機變量ξ的期望E(ξ)與方差D(ξ)是一個______，它們是隨機變量ξ本身所固有的一個數(shù)字特征，它們不具有隨機性． (2)若離散型隨機變量的一切值位于區(qū)間[a，b]內(nèi)，E(ξ)的取值范圍是 . (3)離散型隨機變量的期望反映隨機變量可能取值的_________，而方差反映隨機變量取值偏離于均值的平均程度．,數(shù)值,a≤E(ξ)≤b,平均水平,(4)若η＝aξ＋b，其中ξ是離散型隨機變量，a，b為常數(shù)，則E(η)＝ ，D(η)＝ ． (5)離散型隨機變量的期望與方差若存在則必唯一，期望E(ξ)的值既可正也可負，而方差的值則一定是一個非負值． (6)D(ξ)＝E(ξ 2)－(E(ξ))2,aE(ξ)＋b,a2D(ξ),,3．常見離散型隨機變量ξ的期望與方差 (1)兩點分布：若隨機變量ξ滿足P(ξ＝1)＝p，P(ξ＝0)＝1－p，則E(ξ)＝ ，D(ξ)＝ ． (2)二項分布：若隨機變量ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝ ，D(ξ)＝ ．,p,p(1－p),np,np(1－p),1．判斷下面結(jié)論是否正確(打“√”或“×”)． (1)期望是算術(shù)平均數(shù)概念的推廣，與概率無關． (2)隨機變量的均值是常數(shù)，樣本的平均值是隨機變量． (3)隨機變量的方差和標準差都反映了隨機變量取值偏離均值的平均程度，方差或標準差越小，則偏離均值的平均程度越?。?(4)在籃球比賽中，罰球命中1次得1分，不中得0分．如果某運動員罰球命中的概率為0.7，那么他罰球1次的得分X的均值是0.7. 答案 (1)× (2)√ (3)√ (4)√,2．設隨機變量ξ～B(n，p)，且E(ξ)＝1,6，D(ξ)＝1.28，則( ) A．n＝8，p＝0.2 B．n＝4，p＝0.4 C．n＝5，p＝0.32 D．n＝7，p＝0.45 答案 A 解析 由E(ξ)＝np＝1.6，D(ξ)＝np(1－p)＝1.28，檢驗可知n＝8，p＝0.2符合．,3．(2014·陜西理)設樣本數(shù)據(jù)x1，x2，…，x10的均值和方差分別為1和4，若yi＝xi＋a(a為非零常數(shù)，i＝1,2，…，10)，則y1，y2，…，y10的均值和方差分別為( ) A．1＋a,4 B．1＋a,4＋a C．1,4 D．1,4＋a 答案 A,4．(2014·上海黃浦二模)某個不透明的袋中裝有除顏色外其他特征完全相同的8個乒乓球(其中3個是白色球，5個是黃色球)，小李同學從袋中一個一個地摸乒乓球(每次摸出球后不放回)，當摸到的球是黃球時停止摸球．用隨機變量ξ表示小李同學首先摸到黃色乒乓球時的摸球次數(shù)，則隨機變量ξ的數(shù)學期望值E(ξ)＝________.,解析 ξ的分布列為,5．隨機變量ξ的分布列如下：,題型一 期望、方差的性質(zhì),探究1 若ξ是隨機變量，則η＝f(ξ)一般仍是隨機變量，在求η的期望和方差時，熟練應用期望和方差的性質(zhì)，可以避免再求η的分布列帶來的繁瑣運算．,(1)設非零常數(shù)d是等差數(shù)列x1，x2，x3，…，x19的公差，隨機變量ξ等可能地取值x1，x2，x3，…，x19，則方差D(ξ)＝________.,思考題1,(2)袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n＝1,2,3,4)．現(xiàn)從袋中任取一個球，ξ表示所取球的標號． ①求ξ的分布列、期望和方差； ②若η＝aξ＋b，E(η)＝1，D(η)＝11，試求a，b的值．,【解析】 ①ξ的分布列為,【答案】 ①E(ξ)＝1.5，D(ξ)＝2.75 ②a＝2，b＝－2或a＝－2，b＝4,例2 一口袋中裝有大小相同的2個白球和4個黑球，每次從袋中任意摸出一個球． (1)采取有放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求兩球恰好顏色不同的概率； (2)采取不放回抽樣方式，從中摸出兩個球，求摸得白球的個數(shù)的均值和方差．,題型二 期望與方差的計算,∴X的分布列為,探究2 求離散型隨機變量X的均值與方差的方法： (1)寫出X的分布列； (2)由均值的定義求E(X)； (3)由方差的定義求D(X)．,(2014·天津理)某大學志愿者協(xié)會有6名男同學，4名女同學．在這10名同學中，3名同學來自數(shù)學學院，其余7名同學來自物理、化學等其他互不相同的七個學院．現(xiàn)從這10名同學中隨機選取3名同學，到希望小學進行支教活動(每位同學被選到的可能性相同)． (1)求選出的3名同學是來自互不相同學院的概率； (2)設X為選出的3名同學中女同學的人數(shù)，求隨機變量X的分布列和數(shù)學期望．,思考題2,【思路】 (1)利用古典概型的概率公式求解； (2)先確定隨機變量X的所有取值，求出對應的概率，列出分布列，再代入隨機變量的期望公式求解．,題型三 二項分布的均值與方差,探究3 求隨機變量ξ的期望時，可首先分析ξ是否服從二項分布，若ξ～B(n，p)，則用公式E(ξ)＝np求解，可大大減少計算量．,思考題3,∴考生甲正確完成題數(shù)的分布列為,從做對題數(shù)的數(shù)學期望考查，兩人水平相當；從做對題數(shù)的方差考查，甲較穩(wěn)定；從至少完成2題的概率考查，甲獲得通過的可能性大．因此可以判斷甲的實驗操作能力較強． 【答案】 (1)E(ξ)甲＝2，E(η)乙＝2 (2)甲的實驗操作能力較強,1．離散型隨機變量的數(shù)學期望與方差是對隨機變量的簡明的描寫．期望表示在隨機試驗中隨機變量取得的平均值；方差表示隨機變量所取的值相對于它的期望值的集中與離散程度，即取值的穩(wěn)定性．把握離散型隨機變量的數(shù)學期望與方差的含義，是處理有關應用題的重要環(huán)節(jié)．,2．期望與方差的常用性質(zhì)，掌握下述有關性質(zhì)，會給解題帶來方便： (1)E(aξ＋b)＝aE(ξ)＋b； E(ξ＋η)＝E(ξ)＋E(η)； D(aξ＋b)＝a2D(ξ)； (2)若ξ～B(n，p)，則E(ξ)＝np，D(ξ)＝np(1－p)．,1．有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取2件，若X表示取到次品的個數(shù)，則E(X)等于________．,答案 B,3．(2015·衡水調(diào)研卷)某地消防大隊緊急抽調(diào)1,2,3,4,5號五輛消防車，分配到附近的A，B，C，D四個村子進行送水抗旱工作，每個村子至少要安排一輛消防車．若這五輛消防車中去A村的輛數(shù)為隨機變量ξ，則E(ξ)的值為( ),答案 D,4．馬老師從課本上抄錄的一個隨機變量ξ的概率分布列如下表： 請小牛同學計算ξ的數(shù)學期望，盡管“！”處完全無法看清，且兩個“？”處字跡模糊，但能斷定這兩個“？”處的數(shù)值相同，據(jù)此，小牛給出了正確答案E(ξ)＝________.,答案 2 解析 令“？”為a，“！”為b，則2a＋b＝1. 又E(ξ)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.,所以ξ的分布列為,