高三數(shù)學一輪復習 第八篇 立體幾何與空間向量 第6節(jié) 空間向量及其運算課件(理).ppt

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第6節(jié) 空間向量及其運算,知識鏈條完善,考點專項突破,易混易錯辨析,知識鏈條完善 把散落的知識連起來,【教材導讀】 1.在空間直角坐標系中,①在x軸上的點的坐標怎么記?②在y軸上的點的坐標怎么記?③在z軸上的點的坐標怎么記? 提示:①可記作(x,0,0).②可記作(0,y,0).③可記作(0,0,z). 2.空間中任意兩個非零向量a,b共面嗎? 提示:共面.,知識梳理,1.空間直角坐標系及有關(guān)概念 (1)空間直角坐標系 以空間一點O為原點,建立三條兩兩垂直的數(shù)軸:x軸、y軸、z軸.這時我們說建立了一個空間直角坐標系Oxyz,其中點O叫做 ,x軸、y軸、z軸叫做 ,通過每兩個坐標軸的平面叫做 . (2)右手直角坐標系 在空間直角坐標系中,讓右手拇指指向x軸的正方向,食指指向y軸的正方向,如果中指指向 的正方向,則稱這個坐標系為右手直角坐標系. (3)空間一點M的坐標 空間一點M的坐標可以用有序?qū)崝?shù)組(x,y,z)來表示,記作M(x,y,z),其中x叫做點M的 ,y叫做點M的 ,z叫做點M的 .,坐標原點,坐標軸,坐標平面,z軸,橫坐標,縱坐標,豎坐標,,,3.空間向量的有關(guān)概念,大小和方向,長度或模,1,0,相同,相等,相反,相等,互相平行,或重合,a∥b,平面,,4.空間向量的有關(guān)定理及推論,a=λb,p=xa+yb,不共面,p=xa+yb+zc,基底,基向量,,不共線,②兩向量的數(shù)量積:已知兩個非零向量a,b,則 叫做向量a,b的數(shù)量積,記作 ,即 .,∠AOB,[0,π],a⊥b,|a||b|cos,ab,ab=|a||b|cos,(2)兩個向量數(shù)量積的性質(zhì)和結(jié)論 已知兩個非零向量a和b. ①ae=|a|cos(其中e為單位向量). ②a⊥b? .,⑤|ab| |a||b|. (3)空間向量數(shù)量積的運算律 ①數(shù)乘結(jié)合律:(λa)b= . ②交換律:ab= . ③分配律:a(b+c)= .,ab=0,aa,|a|2,≤,λ(ab),ba,ab+ac,,,(5)空間向量運算的坐標表示 設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),那么 ①加、減運算:ab= . ②數(shù)量積:ab= .,⑤數(shù)乘運算:λa= (λ∈R). ⑥平行的充要條件:a∥b? . ⑦垂直的充要條件:a⊥b? .,(x,y,z),(x1x2,y1y2,z1z2),x1x2+y1y2+z1z2,(λx1,λy1,λz1),x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R),x1x2+y1y2+z1z2=0,,,夯基自測,解析:①中四點恰好圍成一封閉圖形,正確; ②中當a,b同向時,應有|a|+|b|=|a+b|,所以②不正確; ③中a,b所在直線可能重合,所以③不正確; ④中需滿足x+y+z=1,才有P,A,B,C四點共面,④不正確. 故選C.,C,解析:關(guān)于y軸對稱,橫、豎坐標變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù),縱坐標不變.,A,C,4.已知a=(cos θ,1,sin θ),b=(sin θ,1,cos θ),則向量a+b與a-b的夾角是 .,解析:因為(a+b)(a-b)=a2-b2=|a|2-|b|2 =(cos2θ+1+sin2θ)-(sin2θ+1+cos2θ)=0, 所以(a+b)⊥(a-b),即向量a+b與a-b的夾角為90.,答案:90,考點專項突破 在講練中理解知識,考點一,空間直角坐標系,【例1】 (1)在空間直角坐標系中,點M(2,1,-3)關(guān)于坐標原點的對稱點為M′,則M′在xOz上的投影M″的坐標是 ; (2)已知點A(1,a,-5),B(2a,-7,-2)(a∈R),則|AB|的最小值是 .,解析:(1)M′(-2,-1,3), 該點在xOz上的投影M″(-2,0,3).,反思歸納 (1)點P(x,y,z)關(guān)于各點、線、面的對稱點的坐標,(2)兩點間距離公式的應用 ①求兩點間的距離或線段的長度; ②已知兩點間的距離,確定坐標中參數(shù)的值; ③根據(jù)已知條件探求滿足條件的點的存在性.,解析:(1)橫坐標不變其余變?yōu)樵瓉淼南喾磾?shù), 故為(-8,-6,-1).,答案: (1)(-8,-6,-1) (2)(3,0,0),考點二,空間向量的線性運算,反思歸納,(1)用基向量表示指定向量的方法 用已知基向量表示指定向量時,應結(jié)合已知和所求向量觀察圖形,將已知向量和未知向量轉(zhuǎn)化至三角形或平行四邊形中,然后利用三角形法則或平行四邊形法則,把所求向量用已知基向量表示出來. (2)向量加法的多邊形法則 首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的始點指向末尾向量的終點的向量,我們把這個法則稱為向量加法的多邊形法則.,提醒:空間向量的坐標運算類似于平面向量中的坐標運算.,空間向量的數(shù)量積的應用,考點三,(2)求證:AC1⊥BD;,(3)求BD1與AC夾角的余弦值.,反思歸納,(1)求空間向量數(shù)量積的方法 ①定義法.設向量a,b的夾角為θ,則ab=|a||b|cos θ; ②坐標法.設a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),則ab=x1x2+y1y2+z1z2.,②求長度(距離).運用公式|a|2=aa,可使線段長度的計算問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題; ③解決垂直問題.利用a⊥b?ab=0(a≠0,b≠0),可將垂直問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的計算問題.,備選例題,【例1】 已知向量a=(1,2,3),b=(x,x2+y-2,y),并且a,b同向,則x,y的值分別為 .,答案:1,3,易混易錯辨析 用心練就一雙慧眼,空間向量的基本運算,(2)在空間向量的基本運算中,一定要準確利用平行四邊形法則和三角形法則,而且一定要準確利用所給的比例,否則很容易出現(xiàn)錯誤.,