2019版高考數(shù)學(xué) 2.1 函數(shù)及其表示課件.ppt

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第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第一節(jié) 函數(shù)及其表示,【知識梳理】 1.必會知識 教材回扣 填一填 (1)函數(shù)與映射的概念:,非空數(shù)集,任意,唯一確定,非空集合,任意一個(gè),唯一確定,(2)函數(shù)的三要素: 函數(shù)由定義域、_________和值域三個(gè)要素構(gòu)成,對函數(shù)y=f(x), x∈A,其中 ①定義域:________的取值范圍; ②值域:函數(shù)值的集合____________. (3)函數(shù)的表示法: 表示函數(shù)的常用方法有:_______、_______、_______.,對應(yīng)關(guān)系,自變量x,{f(x)|x∈A},解析法,列表法,圖象法,(4)分段函數(shù): 若函數(shù)在定義域的不同子集上,因_________不同而分別用幾個(gè)不同 的式子來表示,這種函數(shù)稱為分段函數(shù).,對應(yīng)關(guān)系,2.必備結(jié)論 教材提煉 記一記 (1)映射:①映射是函數(shù)的推廣,函數(shù)是特殊的映射,A,B為非空數(shù)集的映射就是函數(shù); ②映射的兩個(gè)特征: 第一:在A中取元素的任意性; 第二:在B中對應(yīng)元素的唯一性; ③映射問題允許多對一,但不允許一對多.,(2)判斷兩個(gè)函數(shù)相等的依據(jù)是兩個(gè)函數(shù)的_______和_________完全 一致. (3)分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的_____,其值域等于各 段函數(shù)的值域的_____,分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成,但它表示的是一 個(gè)函數(shù). (4)與x軸垂直的直線和一個(gè)函數(shù)的圖象至多有1個(gè)交點(diǎn).,定義域,對應(yīng)關(guān)系,并集,并集,3.必用技法 核心總結(jié) 看一看 (1)常用方法:利用待定系數(shù)法、換元法、配湊法、消去法確定函數(shù)解析式. (2)數(shù)學(xué)思想:數(shù)形結(jié)合、分類討論. (3)記憶口訣:抽象函數(shù)不要怕,賦值方法解決它; 分段函數(shù)分段算,并到一起保平安.,【小題快練】 1.思考辨析 靜心思考 判一判 (1)函數(shù)是建立在其定義域到值域的映射.( ) (2)若函數(shù)的定義域和值域相同,則這兩個(gè)函數(shù)是相等函數(shù).( ) (3)函數(shù)f(x)=x2-x與g(t)=t2-t是同一函數(shù).( ) (4)f(x)= 是一個(gè)函數(shù).( ),【解析】(1)正確.函數(shù)是特殊的映射. (2)錯(cuò)誤.如函數(shù)y=x與y=x+1的定義域和值域都是R,但它們的對應(yīng)關(guān)系不同,不是相等函數(shù). (3)正確.函數(shù)f(x)=x2-x與g(t)=t2-t的定義域和對應(yīng)關(guān)系相同. (4)錯(cuò)誤.因定義域?yàn)榭占? 答案:(1)√ (2) (3)√ (4),2.教材改編 鏈接教材 練一練 (1)(必修1P17例1(1)改編)函數(shù)f(x)= 的定義域?yàn)? ) A.[0,2) B.(2,+∞) C.[0,2)∪(2,+∞) D.(-∞,2)∪(2,+∞) 【解析】選C.由題意得 解得x≥0且x≠2.,(2)(必修1P25B組T2改編)若函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镸={x|-2≤x≤2},值域?yàn)镹={y|0≤y≤2},則函數(shù)y=f(x)的圖象可能是( ),【解析】選B.選項(xiàng)A,定義域?yàn)閧x|-2≤x≤0},不正確.選項(xiàng)C,當(dāng)x在 (-2,2]取值時(shí),y有兩個(gè)值和x對應(yīng),不符合函數(shù)的概念.選項(xiàng)D,值域 為[0,1],不正確,選項(xiàng)B正確.,(3)(必修1P23T2改編)如圖是張大爺晨練時(shí)離家距離(y)與行走時(shí)間 (x)之間的函數(shù)圖象.若用黑點(diǎn)表示張大爺家的位置,則張大爺散步行 走的路線可能是( ) 【解析】選D.由y與x的關(guān)系知,在中間時(shí)間段y值不變,只有D符合題意.,3.真題小試 感悟考題 試一試 (1)(2014江西高考)函數(shù)f(x)=ln(x2-x)的定義域?yàn)? ) A.(0,1) B.[0,1] C.(-∞,0)∪(1,+∞) D.(-∞,0)∪[1,+∞) 【解析】選C.由題意可得x2-x0,解得x1或x0,故所求的定義域?yàn)?(-∞,0)∪(1,+∞).,(2)(2015岳陽模擬)已知函數(shù)f(x)= .若f(a)=3,則實(shí)數(shù) a= . 【解析】因?yàn)閒(a)= =3,所以a-1=9,即a=10. 答案:10,(3)(2014上海高考)設(shè)f(x)= 若f(2)=4,則a的取值 范圍為 . 【解析】因?yàn)閒(2)=4,所以2∈[a,+∞),所以a≤2,則a的取值范圍為 (-∞,2]. 答案:(-∞,2],考點(diǎn)1 求函數(shù)的定義域 【典例1】(1)(2014山東高考)函數(shù)f(x)= 的定義域 為( ) A.(0, ) B.(2,+∞) C.(0, )∪(2,+∞) D.(0, )∪[2,+∞),(2)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,0),則函數(shù)f(2x+1)的定義域?yàn)?( ) A.(-1,1) B.(-1,- ) C.(-1,0) D.( ,1),【解題提示】(1)根據(jù)解析式,構(gòu)建使其有意義的不等關(guān)系求解. (2)明確函數(shù)f(x)中的x與函數(shù)f(2x+1)中2x+1的關(guān)系,列不等式求解. 【規(guī)范解答】(1)選C.(log2x)2-10,即log2x1或log2x2 或0x .故所求的定義域?yàn)?0, )∪(2,+∞).,【一題多解】解答本題,還有以下解法 選C.令x= ,則(log2 )2-1=30,排除B.令x=4,則(log24)2-1=30, 所以排除選項(xiàng)A.令x=2,則(log22)2-1=0,排除D.故選C. (2)選B.由函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?-1,0),則使函數(shù)f(2x+1)有意義, 需滿足-12x+10,解得-1x- ,即所求函數(shù)的定義域?yàn)?-1,- ).,【互動探究】若本例(2)中條件變?yōu)?“函數(shù)f(x-1)的定義域?yàn)?(-1,0)”,則結(jié)果如何? 【解析】因?yàn)閒(x-1)的定義域?yàn)?-1,0),即-1x0,所以-2x-1-1, 故f(x)的定義域?yàn)?-2,-1),則使函數(shù)f(2x+1)有意義,需滿足-22x+1 -1,解得- x-1.所以f(2x+1)的定義域?yàn)?- ,-1).,【規(guī)律方法】 1.求函數(shù)定義域的類型及方法 (1)已知函數(shù)的解析式:構(gòu)造使解析式有意義的不等式(組)求解. (2)對實(shí)際問題:由實(shí)際意義及使解析式有意義構(gòu)成的不等式(組)求解. (3)抽象函數(shù):①若已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閇a,b],則函數(shù)f(g(x))的 定義域由不等式a≤g(x)≤b求出; ②若已知函數(shù)f(g(x))定義域?yàn)閇a,b],則f(x)的定義域?yàn)間(x)在 x∈[a,b]時(shí)的值域.,2.求函數(shù)定義域的注意點(diǎn) (1)不要對解析式進(jìn)行化簡變形,以免定義域變化. (2)當(dāng)一個(gè)函數(shù)由有限個(gè)基本初等函數(shù)的和、差、積、商的形式構(gòu)成時(shí),定義域一般是各個(gè)基本初等函數(shù)定義域的交集. (3)定義域是一個(gè)集合,要用集合或區(qū)間表示,若用區(qū)間表示,不能用“或”連接,而應(yīng)該用并集符號“∪”連接.,【變式訓(xùn)練】(2015銀川模擬)函數(shù)f(x)= +lg(3x+1)的定義 域是( ) 【解析】選B.依題意得: 解得- x1,所以函數(shù)定義域?yàn)?(- ,1).,【加固訓(xùn)練】1.已知函數(shù)f(2x)的定義域?yàn)閇-1,1],則f(x)的定義域 為 . 【解析】因?yàn)閒(2x)的定義域?yàn)閇-1,1], 所以 ≤2x≤2,即f(x)的定義域?yàn)閇 ,2]. 答案:[ ,2],2.(2015揭陽模擬)函數(shù)y= 的定義域?yàn)? . 【解析】要使函數(shù)有意義,需 即 即 解得0x≤1,所以定義域?yàn)?0,1]. 答案:(0,1],考點(diǎn)2 求函數(shù)的解析式 【典例2】(1)已知f( +1)=x+2 ,則f(x)= . (2)已知f(x)是一次函數(shù),且滿足3f(x+1)-2f(x-1)=2x+17, 則f(x)= .,【解題提示】(1)利用換元法求解. (2)已知函數(shù)類型,用待定系數(shù)法求解. 【規(guī)范解答】(1)設(shè)t= +1, 則x=(t-1)2(t≥1); 代入原式有f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-2t+1+2t-2=t2-1. 故f(x)=x2-1(x≥1). 答案:x2-1(x≥1),【一題多解】解答本題,還有以下解法: 因?yàn)閤+2 =( )2+2 +1-1=( +1)2-1, 所以f( +1)=( +1)2-1( +1≥1), 即f(x)=x2-1(x≥1). 答案:x2-1(x≥1),(2)因?yàn)閒(x)是一次函數(shù),可設(shè)f(x)=ax+b(a≠0),所以3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17.即ax+(5a+b)=2x+17, 因此應(yīng)有 解得 故f(x)的解析式是f(x)=2x+7. 答案:2x+7,【易錯(cuò)警示】解答本例(1)有以下易錯(cuò)點(diǎn) 本例第(1)題利用換元法求解析式,易忽視換元后t的取值范圍,從而造成求出的函數(shù)解析式定義域擴(kuò)大而致誤.,【規(guī)律方法】求函數(shù)解析式的常用方法 (1)配湊法:由已知條件f(g(x))=F(x),可將F(x)改寫成關(guān)于g(x)的表達(dá)式,然后以x替代g(x),便得f(x)的表達(dá)式. (2)待定系數(shù)法:若已知函數(shù)的類型(如一次函數(shù)、二次函數(shù))可用待定系數(shù)法.,(3)換元法:已知復(fù)合函數(shù)f(g(x))的解析式,可用換元法,此時(shí)要注意 新元的取值范圍. (4)解方程組法:已知關(guān)于f(x)與f( )或f(-x)的表達(dá)式,可根據(jù)已知 條件再構(gòu)造出另外一個(gè)等式組成方程組,通過解方程組求出f(x).,【變式訓(xùn)練】(2015濟(jì)南模擬)已知f(x)滿足2f(x)+f( )=3x, 則f(x)= . 【解析】因?yàn)?f(x)+f( )=3x,① 所以將x用 替換,得2f( )+f(x)= ,② 由①②解得f(x)=2x- (x≠0), 即f(x)的解析式是f(x)=2x- (x≠0). 答案:2x- (x≠0),【加固訓(xùn)練】1.已知f( +1)=lg x,則f(x)= . 【解析】令 +1=t得x= ,代入得f(t)=lg , 又x0,所以t1,故f(x)的解析式是f(x)=lg (x1). 答案:lg (x1),2.設(shè)y=f(x)是二次函數(shù),方程f(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根,且f′(x)=2x+2,則f(x)= . 【解析】設(shè)f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 則f′(x)=2ax+b=2x+2, 所以a=1,b=2,所以f(x)=x2+2x+c. 又因?yàn)榉匠蘤(x)=0有兩個(gè)相等實(shí)根, 所以Δ=4-4c=0,c=1,故f(x)=x2+2x+1. 答案:x2+2x+1,3.(2013安徽高考)定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x+1)=2f(x).當(dāng) 0≤x≤1時(shí),f(x)=x(1-x),則當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x)= . 【解析】當(dāng)0≤x≤1時(shí),f(x)=x(1-x),當(dāng)-1≤x≤0時(shí),0≤x+1≤1,所以 f(x+1)=(x+1)[1-(x+1)]=-x(x+1),而f(x)= f(x+1)=- x2- x. 所以當(dāng)-1≤x≤0時(shí),f(x)=- x2- x. 答案:- x2- x,考點(diǎn)3 分段函數(shù)及應(yīng)用 知考情 分段函數(shù)作為考查函數(shù)知識的最佳載體,以其考查函數(shù)知識容量大成為高考命題的熱點(diǎn),試題常以選擇題、填空題形式出現(xiàn),考查求值、解方程(零點(diǎn))、解不等式、函數(shù)圖象及函數(shù)性質(zhì)等問題.解題過程中常滲透分類討論的數(shù)學(xué)思想.,命題角度1:求分段函數(shù)的函數(shù)值 【典例3】(2015廈門模擬)設(shè)函數(shù)f(x)= 則f(f(3))=( ),明角度,【解題提示】根據(jù)自變量的值選擇相應(yīng)的對應(yīng)關(guān)系求值,先求出f(3), 然后再求出f(f(3))的值. 【規(guī)范解答】選D.因?yàn)閒(3)= ,所以f(f(3))=,命題角度2:求解分段的方程、不等式 【典例4】(2014浙江高考)設(shè)函數(shù)f(x)= 若f(f(a))=2,則a= . (本題源于教材必修1P45T4),【解題提示】根據(jù)自變量的取值分兩種情況進(jìn)行討論,列出方程 進(jìn)行求解. 【規(guī)范解答】當(dāng)a≤0時(shí),f(a)=a2+2a+2=(a+1)2+10, f(f(a))0時(shí),f(a)=-a20,所以a= . 答案:,悟技法 與分段函數(shù)有關(guān)問題的類型及求解思路 (1)求分段函數(shù)的函數(shù)值,根據(jù)所給自變量的大小選擇相應(yīng)段的解析式求解,有時(shí)各段交替使用求值. (2)求分段方程或分段不等式的解,依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解,最后將討論結(jié)果并起來.,通一類 1.(2014江西高考)已知函數(shù)f(x)= (a∈R), 若f(f(-1))=1,則a=( ) A. B. C.1 D.2 【解析】選A.因?yàn)?10,所以f(f(-1)) =f(2)=a22=1,解得a= .,2.(2015日照模擬)已知函數(shù)f(x)= 滿足f(a)=3, 則f(a-5)的值為( ) A.log23 B. C. D.1 【解析】選C.分兩種情況分析, 或者 ①無解,由②得,a=7,所以f(a-5)=22-3+1=,3.(2014新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)函數(shù)f(x)= 則使得f(x)≤2 成立的x的取值范圍是 . 【解析】當(dāng)x1時(shí),由ex-1≤2可得x-1≤ln2.即x≤ln2+1,故x1; 當(dāng)x≥1時(shí),由f(x)= ≤2可得x≤8,故1≤x≤8,綜上可得x≤8. 答案:(-∞,8],4.(2015石家莊模擬)已知函數(shù)f(x)= 若f(f(0))=4a, 則實(shí)數(shù)a= . 【解析】因?yàn)閒(0)=30+2=2,f(f(0))=f(2)=4+2a=4a,所以a=2. 答案:2,自我糾錯(cuò)3 分段函數(shù)的參數(shù)求值問題 【典例】(2015鄭州模擬)已知實(shí)數(shù)a≠0,函數(shù)f(x)= 若f(1-a)=f(1+a),則a的值為 ( ),【解題過程】,【錯(cuò)解分析】分析上面解題過程,你知道錯(cuò)在哪里嗎? 提示:上述解題過程出現(xiàn)的錯(cuò)誤主要有兩個(gè)方面: (1)誤以為1-a1,沒有對a進(jìn)行討論直接代入求解. (2)求解過程中忘記檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合要求致誤.,【規(guī)避策略】 (1)分類討論思想的應(yīng)用:對于分段函數(shù)的求值問題,若自變量的取值范圍不確定,應(yīng)分情況求解. (2)檢驗(yàn)結(jié)果:求解過程中,求出的參數(shù)的值或范圍并不一定符合題意,因此要檢驗(yàn)結(jié)果是否符合要求.,【自我矯正】選B.當(dāng)a0時(shí),1-a1,由f(1-a)=f(1+a) 可得2-2a+a=-1-a-2a,解得a= ,不合題意; 當(dāng)a1,1+a1, 由f(1-a)=f(1+a)可得-1+a-2a=2+2a+a, 解得a= 故a的值為,