高中數學 第三章 推理與證明章末復習提升課件 北師大版選修1-2.ppt

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第三章——,推理與證明,,1,知識網絡 整體構建,,2,要點歸納 主干梳理,,3,題型探究 重點突破,章末復習提升,1.歸納和類比都是合情推理,前者是由特殊到一般,部分到整體的推理,后者是由特殊到特殊的推理,但二者都能由已知推測未知,都能用于猜想,推理的結論不一定為真,有待進一步證明.,2.演繹推理與合情推理不同,是由一般到特殊的推理,是數學中證明的基本推理形式.也是公理化體系所采用的推理形式,另一方面,合情推理與演繹推理又是相輔相成的,前者是后者的前提,后者論證前者的可靠性.,3.直接證明和間接證明是數學證明的兩類基本證明方法.直接證明的兩類基本方法是綜合法和分析法：綜合法是從已知條件推導出結論的證明方法；分析法是由結論追溯到條件的證明方法,在解決數學問題時,常把它們結合起來使用,間接證法的一種方法是反證法,反證法是從結論反面成立出發(fā),推出矛盾的證明方法.,題型一 歸納推理和類比推理,歸納推理和類比推理是常用的合情推理,兩種推理的結論“合情”但不一定“合理”,其正確性都有待嚴格證明.盡管如此,合情推理在探索新知識方面有著極其重要的作用. 運用合情推理時,要認識到觀察、歸納、類比、猜想、證明是相互聯(lián)系的.在解決問題時,可以先從觀察入手,發(fā)現(xiàn)問題的特點,形成解決問題的初步思路,然后用歸納、類比的方法進行探索、猜想,最后用邏輯推理方法進行驗證.,例1 觀察下列各式：a＋b＝1,a2＋b2＝3,a3＋b3＝4,a4＋b4＝7,a5＋b5＝11,…,則a10＋b10等于( ) A.28 B.76 C.123 D.199 解析 記an＋bn＝f(n), 則f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4； f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7； f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.,通過觀察不難發(fā)現(xiàn)f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈N＋,n≥3), 則f(6)＝f(4)＋f(5)＝18； f(7)＝f(5)＋f(6)＝29； f(8)＝f(6)＋f(7)＝47； f(9)＝f(7)＋f(8)＝76； f(10)＝f(8)＋f(9)＝123. 所以a10＋b10＝123. 答案 C,跟蹤訓練1 自然數按下表的規(guī)律排列,則上起第2 014行,左起第2 015列的數為( ) A.2 0142 B.2 0152 C.2 0132 014 D.2 0142 015,解析 經觀察可得這個自然數表的排列特點： ①第一列的每個數都是完全平方數,并且恰好等于它所在行數的平方,即第n行的第1個數為n2； ②第一行第n個數為(n－1)2＋1；,③第n行從第1個數至第n個數依次遞減1； ④第n列從第1個數至第n個數依次遞增1. 故上起第2 014行,左起第2 015列的數,應是第2 015列的第 2 014個數,即為[(2 015－1)2＋1]＋2 013＝2 0142 015. 答案 D,題型二 直接證明,高考題對直接證明的考查,各種題型均有體現(xiàn),尤其是解答題,一直是考查證明方法的熱點與重點. 綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法,也是解決數學問題常用的思維方式.如果從解題的切入點的角度細分,直接證明方法可具體分為：比較法、代換法、放縮法、判別式法、構造函數法等,應用綜合法證明問題時,必須首先想到從哪里開始起步,分析法就可以幫助我們克服這種困難,在實際證明問題時,應當把分析法和綜合法結合起來使用.,而上述不等式顯然成立,故原不等式成立.,跟蹤訓練2 如圖,在四面體B－ACD中,CB＝CD,AD⊥BD,且E,F分別是AB,BD的中點,求證： (1)直線EF∥平面ACD； 證明 要證直線EF∥平面ACD, 只需證EF∥AD且EF 平面ACD. 因為E,F分別是AB,BD的中點, 所以EF是△ABD的中位線,所以EF∥AD, 所以直線EF∥平面ACD.,(2)平面EFC⊥平面BCD. 證明 要證平面EFC⊥平面BCD, 只需證BD⊥平面EFC,,又因為CB＝CD,F為BD的中點, 所以CF⊥BD.所以平面EFC⊥平面BCD.,題型三 反證法,如果一個命題的結論難以直接證明時,可以考慮反證法.通過反設結論,經過邏輯推理,得出矛盾,從而肯定原結論成立. 反證法是高中數學的一種重要的證明方法,在不等式和立體幾何的證明中經常用到,在高考題中也經常體現(xiàn),它所反映出的“正難則反”的解決問題的思想方法更為重要.反證法主要證明：否定性、唯一性命題；至多、至少型問題；幾何問題.,例3 如圖所示,已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內,M,N分別為AB、DF的中點. (1)若平面ABCD⊥平面DCEF,求直線MN與平面DCEF所成角的正弦值；,解 如圖所示,取CD的中點G,連接MG,NG,設正方形ABCD,DCEF的邊長為2,,∵平面ABCD⊥平面DCEF, ∴MG⊥平面DCEF, ∴∠MNG是MN與平面DCEF所成的角.,(2)用反證法證明：直線ME與BN是兩條異面直線. 證明 假設直線ME與BN共面,則AB平面MBEN,且平面MBEN與平面DCEF交于EN, ∵兩正方形不共面,∴AB 平面DCEF. 又AB∥CD,所以AB∥平面DCEF,而EN為平面MBEN與平面DCEF的交線, ∴AB∥EN.又AB∥CD∥EF, ∴EN∥EF,這與EN∩EF＝E矛盾,故假設不成立. ∴ME與BN不共面,即它們是異面直線.,證明 假設a,b,c都不大于0,即a≤0,b≤0,c≤0,,∵π－3＞0,且(x－1)2＋(y－1)2＋(z－1)2≥0,,∴a＋b＋c＞0,這與a＋b＋c≤0矛盾,因此假設不成立,∴a,b,c中至少有一個大于0.,課堂小結,1.合情推理主要包括歸納推理和類比推理 (1)歸納推理的基本模式：a,b,c∈M且a,b,c具有某屬性,結論任意d∈M,d也具有某屬性. (2)類比推理的基本模式：A具有屬性a,b,c,d；B具有屬性a′,b′,c′；結論：B具有屬性d′.(a,b,c,d與a′,b′, c′,d′相似或相同).,2.使用反證法證明問題時,常見的“結論詞”與“反設詞”列表如下：,