高中數(shù)學(xué) 第二章 推理與證明 2.1.1 合情推理課件 蘇教版選修2-2.ppt

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2.1.1 合情推理,第 2章 2.1 合情推理與演繹推理,1.了解合情推理的含義，能利用歸納和類(lèi)比進(jìn)行簡(jiǎn)單的推理. 2.了解合情推理在數(shù)學(xué)發(fā)展中的作用.,,學(xué)習(xí)目標(biāo),,,欄目索引,,,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),題型探究 重點(diǎn)突破,當(dāng)堂檢測(cè) 自查自糾,知識(shí)梳理 自主學(xué)習(xí),知識(shí)點(diǎn)一 推理的定義與結(jié)構(gòu)形式 1.定義：從一個(gè)或幾個(gè)已知命題得出另一個(gè)新命題的思維過(guò)程稱(chēng)為推理. 2.結(jié)構(gòu)形式：從結(jié)構(gòu)上來(lái)說(shuō)，推理一般分為兩部分，一部分是已知的事實(shí)(或假設(shè))，叫做 ，另一部分是由已知判斷推出的新的判斷，叫做 . 思考 (1)依據(jù)部分對(duì)象得到的推理結(jié)論可靠嗎？ 答案 不一定完全可靠. (2)推理一般用哪些關(guān)聯(lián)詞？ 答案 推理一般可用關(guān)聯(lián)詞將“前提”和“結(jié)論”聯(lián)結(jié)，常用的關(guān)聯(lián)詞有“因?yàn)椤浴薄案鶕?jù)……可知……”“如果……那么……” “若……則……”.,,答案,前提,結(jié)論,,知識(shí)點(diǎn)二 歸納推理與類(lèi)比推理,答案,部分到整體,個(gè)別到一般,,答案,特殊到特殊,,思考 歸納推理和類(lèi)比推理的結(jié)論一定正確嗎？ 答案 歸納推理的結(jié)論超出了前提所界定的范圍，其前提和結(jié)論之間的聯(lián)系不是必然性的，而是或然性的，結(jié)論不一定正確.類(lèi)比推理是從人們已經(jīng)掌握了的事物的特征，推測(cè)正在被研究的事物的特征，所以類(lèi)比推理的結(jié)果具有猜測(cè)性，不一定可靠.,答案,,知識(shí)點(diǎn)三 合情推理 1.合情推理的含義：歸納推理和類(lèi)比推理都是根據(jù)已有的事實(shí)、正確的結(jié)論、實(shí)驗(yàn)和實(shí)踐的結(jié)果，以及個(gè)人的經(jīng)驗(yàn)和直覺(jué)等推測(cè)某些結(jié)果的推理過(guò)程.歸納推理和類(lèi)比推理都是數(shù)學(xué)活動(dòng)中常用的合情推理. 2.合情推理的過(guò)程,思考 由合情推理得到的結(jié)論可靠嗎？ 答案 一般來(lái)說(shuō)，由合情推理所獲得的結(jié)論，僅僅是一種猜想，未必可靠，例如，費(fèi)馬猜想就被數(shù)學(xué)家歐拉推翻了.,答案,返回,題型探究 重點(diǎn)突破,,解析答案,題型一 歸納推理的應(yīng)用 例1 已知數(shù)列{an}的第1項(xiàng)a1＝2，且an＋1＝ (n＝1,2，…)，試歸納出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式.,由此發(fā)現(xiàn)分母依次為1,3,5,7，…，分子都是2.,反思與感悟,,反思與感悟,求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式的一般方法：(1)根據(jù)已知條件求出數(shù)列的前幾項(xiàng)(有時(shí)題目已給出)，如a1，a2，a3等；(2)通過(guò)這些項(xiàng)找出項(xiàng)與序號(hào)之間的一般規(guī)律，歸納出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式.,,解析答案,(1)求出S1，S2，S3，S4；,,解析答案,(2)猜想該數(shù)列的前n項(xiàng)和Sn并證明.,,解析答案,題型二 類(lèi)比推理的應(yīng)用 例2 在矩形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC與兩鄰邊AB，BC所成的角分別為α，β，則cos2α＋cos2β＝1.在立體幾何中，通過(guò)類(lèi)比，給出猜想并證明.,反思與感悟,,于是類(lèi)比到長(zhǎng)方體中，猜想若其體對(duì)角線(xiàn)與共頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為α，β，γ，則cos2α＋cos2β＋cos2γ＝1. 證明如下：如圖(2)，,反思與感悟,,反思與感悟,類(lèi)比推理是一種主觀的不充分的推理，因此，要確認(rèn)其猜想的正確性，還必須經(jīng)過(guò)嚴(yán)格的邏輯論證.一般情況下，如果類(lèi)比的相似性越多，相似的性質(zhì)與推測(cè)的性質(zhì)越相關(guān)，那么類(lèi)比得到的命題就越可靠. 類(lèi)比的關(guān)鍵是能把兩個(gè)系統(tǒng)之間的某種一致性或相似性確切地表述出來(lái)，也就是要把相關(guān)對(duì)象在某些方面一致性的含糊認(rèn)識(shí)說(shuō)清楚.,,解析答案,跟蹤訓(xùn)練2 “若直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)分別為a，b，將其補(bǔ)成一個(gè)矩形，則根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)可求得該直角三角形外接圓的半徑r＝ ”.對(duì)于“若三棱錐三條側(cè)棱兩兩垂直，側(cè)棱長(zhǎng)分別為a，b，c”，類(lèi)比上述處理 方法，可得該三棱錐的外接球的半徑R＝____________. 解析 由求直角三角形外接圓的半徑的方法，通過(guò)類(lèi)比得出求三條側(cè)棱兩兩垂直的三棱錐外接球的半徑的方法為：首先將該三棱錐補(bǔ)全為長(zhǎng)方體，而長(zhǎng)方體的體對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)就是三棱錐的外接球的直徑，從而得出該三棱錐的外接球的半徑R＝ .,,歸納推理、類(lèi)比推理都是合情推理，歸納推理是由部分到整體、由個(gè)別到一般的推理；而類(lèi)比推理則是通過(guò)某兩類(lèi)對(duì)象在對(duì)比中啟發(fā)猜想結(jié)論.這些結(jié)論未必正確，要進(jìn)一步驗(yàn)證(或證明)其正確性. 例3 設(shè)f(n)＝n2＋n＋41，n∈N*，計(jì)算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，…，f(10)的值，同時(shí)作出歸納推理，并用n＝40驗(yàn)證猜想是否正確.,易錯(cuò)易混,合情推理的應(yīng)用,解析答案,返回,解 f(1)＝12＋1＋41＝43， f(2)＝22＋2＋41＝47， f(3)＝32＋3＋41＝53， f(4)＝42＋4＋41＝61， f(5)＝52＋5＋41＝71， f(6)＝62＋6＋41＝83， f(7)＝72＋7＋41＝97， f(8)＝82＋8＋41＝113， f(9)＝92＋9＋41＝131， f(10)＝102＋10＋41＝151.,,解析答案,∵43,47,53,61,71,83,97,113,131,151都是質(zhì)數(shù)， ∴歸納猜想：當(dāng)n∈N*時(shí)，f(n)＝n2＋n＋41的值都為質(zhì)數(shù). 驗(yàn)證：當(dāng)n＝40時(shí)，f(40)＝402＋40＋41＝40(40＋1)＋41＝4141. ∴f(40)是合數(shù)， ∴由上面歸納推理得到的猜想不正確.,,返回,,當(dāng)堂檢測(cè),1,2,3,4,5,解析答案,而分母b則為該數(shù)的平方減1.,6,35,,解析答案,1,2,3,4,5,類(lèi)比正切的和角公式，,,1,2,3,4,5,,nn,解析答案,,1,2,3,4,5,答案,,解析答案,1,2,3,4,5,5.根據(jù)下列條件，寫(xiě)出數(shù)列中的前4項(xiàng)，并歸納猜想它的通項(xiàng)公式. (1)a1＝3，an＋1＝2an＋1；,解 由已知可得a1＝3＝22－1， a2＝2a1＋1＝23＋1＝7＝23－1， a3＝2a2＋1＝27＋1＝15＝24－1， a4＝2a3＋1＝215＋1＝31＝25－1. 猜想an＝2n＋1－1 (n∈N*).,,解析答案,1,2,3,4,5,,解析答案,1,2,3,4,5,∵對(duì)一切的n∈N*，an0，∴a2＝3. 同理可求得a3＝5，a4＝7，猜想出an＝2n－1(n∈N*).,,課堂小結(jié),,返回,1.歸納推理的一般步驟：(1)通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；(2)從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表述的一般性命題(猜想). 2.類(lèi)比推理的一般步驟：(1)找出兩類(lèi)對(duì)象之間的相似性或一致性；(2)用一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)去推測(cè)另一類(lèi)對(duì)象的性質(zhì)，得出一個(gè)明確的命題(猜想).,