高考數(shù)學專題復習導練測 第九章 高考專題突破五 高考中的圓錐曲線問題課件 理 新人教A版.ppt

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數(shù)學 A（理）,,高考專題突破五 高考中的圓錐曲線問題,第九章 平面解析幾何,考點自測,高考題型突破,練出高分,B,A,B,圓(x－2)2＋y2＝4的圓心為C(2,0)，半徑為r＝2，,,解析,題型一 圓錐曲線中的范圍、最值問題,,(1)求曲線C的方程及t的值；,∴拋物線C的方程為y2＝x.,又點M(t,1)在曲線C上，∴t＝1.,,思維點撥,用點差法求kAB，用m表示出|AB|，利用基本不等式求最值.,,解 由(1)知，點M(1,1)，從而n＝m，即點Q(m，m)， 依題意，直線AB的斜率存在，且不為0， 設直線AB的斜率為k(k≠0). 且A(x1，y1)，B(x2，y2)，,,故k2m＝1，,即x－2my＋2m2－m＝0.,,∴Δ＝4m－4m20，y1＋y2＝2m，y1y2＝2m2－m.,,,,思維升華 圓錐曲線中最值問題的解決方法一般分兩種： 一是幾何法，特別是用圓錐曲線的定義和平面幾何的有關結論來求最值；,,二是代數(shù)法，常將圓錐曲線的最值問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)或三角函數(shù)的最值問題，然后利用基本不等式、函數(shù)的單調(diào)性或三角函數(shù)的有界性等求最值.,,解 設M(x，y)，在△MAB中，|AB|＝2，∠AMB＝2θ，,,,因此點M的軌跡是以A，B為焦點的橢圓(點M在x軸上也符合題意)，a＝2，c＝1.,,(2)求△APQ面積的最大值.,解 設直線PQ的方程為x＝my＋1.,顯然方程①的Δ0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，,,,所以△APQ面積的最大值為3， 此時直線PQ的方程為x＝1.,題型二 圓錐曲線中的定點、定值問題,(1)設動點P滿足：|PF|2－|PB|2＝4，求點P的軌跡；,,解 設P(x，y)，由題意知F(2,0)，B(3,0)，A(－3,0)，,則|PF|2＝(x－2)2＋y2，|PB|2＝(x－3)2＋y2，,由|PF|2－|PB|2＝4，得(x－2)2＋y2－[(x－3)2＋y2]＝4，,,,,(3)設t＝9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關).,證明 如圖所示，點T的坐標為(9，m).,,(3)設t＝9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關).,,(3)設t＝9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關).,令y＝0，解得x＝1， 所以直線MN必過x軸上的一定點(1,0).,,(3)設t＝9,求證：直線MN必過x軸上的一定點(其坐標與m無關).,思維升華 求定點及定值問題常見的方法有兩種： (1)從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關. (2)直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.,,,,(2)如圖所示，A、B、D是橢圓C的頂點， P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線 DP交x軸于點N，直線AD交BP于點M， 設BP的斜率為k，MN的斜率為m.證明：2m－k為定值.,,,,,,,,例3 (2014福建)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y＝－3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問題,思維點撥,解析,設S(x，y)為曲線Γ上的任意一點，利用拋物線的定義，判斷S滿足拋物線的定義，即可求曲線Γ的方程；,思維點撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y＝－3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問題,解 方法一 設S(x，y)為曲線Γ上任意一點，,思維點撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y＝－3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問題,依題意，點S到F(0,1)的距離與它到直線y＝－1的距離相等，,所以曲線Γ是以點F(0,1)為焦點、直線y＝－1為準線的拋物線，所以曲線Γ的方程為x2＝4y.,思維點撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y＝－3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問題,方法二 設S(x，y)為曲線Γ上任意一點，,思維點撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y＝－3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問題,思維點撥,解析,例3 (2014福建)已知曲線Γ上的點到點F(0,1)的距離比它到直線y＝－3的距離小2. (1)求曲線Γ的方程；,題型三 圓錐曲線中的探索性 問題,化簡，得曲線Γ的方程為 x2＝4y.,例3 (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.,思維點撥,解析,思維升華,通過拋物線方程利用函數(shù)的導數(shù)求出切線方程,求出A、M的坐標,N的坐標,以MN為直徑作圓C,求出圓心坐標,半徑是常數(shù),即可證明當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時,線段AB的長度不變.,例3 (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.,思維點撥,解析,思維升華,解 當點P在曲線Γ上運動時，線段AB的長度不變.證明如下：,例3 (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.,思維點撥,解析,思維升華,例3 (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.,思維點撥,解析,思維升華,所以點P在曲線Γ上運動時，線段AB的長度不變.,例3 (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.,思維點撥,解析,思維升華,(1)探索性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化.其步驟為假設滿足條件的元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在，用待定系數(shù)法設出，,例3 (2)曲線Γ在點P處的切線l與x軸交于點A，直線y＝3分別與直線l及y軸交于點M，N.以MN為直徑作圓C，過點A作圓C的切線，切點為B.試探究：當點P在曲線Γ上運動(點P與原點不重合)時，線段AB的長度是否發(fā)生變化？證明你的結論.,思維點撥,解析,思維升華,列出關于待定系數(shù)的方程組，若方程組有實數(shù)解，則元素(點、直線、曲線或參數(shù))存在；否則，元素(點、直線、曲線或參數(shù))不存在. (2)反證法與驗證法也是求解探索性問題常用的方法.,跟蹤訓練3 已知橢圓C1、拋物線C2的焦點均在x軸上，C1的中心和C2的頂點均為原點O，從每條曲線上各取兩個點，將其坐標記錄于下表中：,,(1)求C1，C2的標準方程；,易求得C2的標準方程為y2＝4x.,,,解 容易驗證當直線l的斜率不存在時，不滿足題意.,當直線l的斜率存在時，設其方程為y＝k(x－1)，,與C1的交點為M(x1，y1)，N(x2，y2).,,,,解得k＝2，所以存在直線l滿足條件， 且直線l的方程為2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.,題型四 直線、圓及圓錐曲線的交匯問題,,思維點撥 根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)易求出a,b的值,從而寫出橢圓的方程；,(1)求橢圓C1的方程；,,(1)求橢圓C1的方程；,(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.,,思維點撥 要求△ABD的面積，需要求出AB，PD的長，AB是圓的弦，考慮用圓的知識來求，PD應當考慮用橢圓的相關知識來求.求出AB，PD的長后，表示出△ABD的面積，再根據(jù)式子的形式選擇適當?shù)姆椒ㄇ笞钪?,(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.,,解 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0). 由題意知直線l1的斜率存在，不妨設其為k， 則直線l1的方程為y＝kx－1. 又圓C2：x2＋y2＝4，,(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.,,又l2⊥l1，故直線l2的方程為x＋ky＋k＝0.,(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.,,(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.,,(2)求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.,,思維升華 對直線、圓及圓錐曲線的交匯問題，要認真審題，學會將問題拆分成基本問題，然后綜合利用數(shù)形結合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、方程的思想等來解決問題，這樣可以漸漸增強自己解決綜合問題的能力.,,(2)已知直線l：y＝kx與橢圓C分別交于兩點A，B,與圓M分別交于兩點G,H(其中點G在線段AB上),且|AG|＝|BH|,求k的值.,,,顯然，若點H也在線段AB上，則由對稱性知，直線y＝kx就是y軸，矛盾.,,因為|AG|＝|BH|，所以|AB|＝|GH|，,整理得4k4－3k2－1＝0.,解得k2＝1，即k＝1.,,,2,3,4,5,6,,1,解 由題意：拋物線焦點為(1,0)， 設l：x＝ty＋1，代入拋物線y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4＝0，,設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4，,,,2,3,4,5,6,,1,,,2,3,4,5,6,,1,解 設l：x＝ty＋b，代入拋物線y2＝4x， 消去x得y2－4ty－4b＝0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則y1＋y2＝4t，y1y2＝－4b.,,,2,3,4,5,6,,1,令b2－4b＝－4，∴b2－4b＋4＝0，∴b＝2， ∴直線l過定點(2,0).,2.已知中心在坐標原點O的橢圓C經(jīng)過點A(2,3)，且點F(2，0)為其右焦點. (1)求橢圓C的方程；,,,3,4,5,,6,1,2,,,3,4,5,,6,1,2,,,3,4,5,,6,1,2,,,3,4,5,,6,1,2,(2)是否存在平行于OA的直線l，使得直線l與橢圓C有公共點，且直線OA與l的距離等于4？若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由.,,,3,4,5,,6,1,2,因為直線l與橢圓C有公共點，,,,3,4,5,,6,1,2,,,2,4,5,6,1,,3,,,2,4,5,6,1,,3,解 ∵1v4，∴雙曲線的焦點在x軸上，設F(c,0)，則c2＝4－v＋v－1＝3，,由橢圓C與雙曲線共焦點，知a2－b2＝3，,設直線l的方程為x＝ty＋a，,代入y2＝2x，可得y2－2ty－2a＝0，,設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則y1＋y2＝2t，y1y2＝－2a，,,,2,4,5,6,1,,3,∵OP⊥OQ，∴x1x2＋y1y2＝a2－2a＝0，,∴a＝2，b＝1，,,,2,4,5,6,1,,3,(2)在橢圓C上，是否存在點R(m，n)使得直線l：mx＋ny＝1與圓O：x2＋y2＝1相交于不同的兩點M、N，且△OMN的面積最大？若存在，求出點R的坐標及對應的△OMN的面積；若不存在，請說明理由.,,,2,4,5,6,1,,3,∴m2＋n2＝2.又∵m2＋4n2＝4，,,,2,4,5,6,1,,3,,,2,3,5,6,1,,4,∴a2＝2，b2＝1，,,,2,3,5,6,1,,4,(2)記橢圓的上頂點為M，直線l交橢圓于P，Q兩點，問：是否存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心，若存在，求出直線l的方程；若不存在，請說明理由.,解 假設存在直線l交橢圓于P，Q兩點， 且F恰為△PQM的垂心， 設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，,,,2,3,5,6,1,,4,,,2,3,5,6,1,,4,∵M(0,1)，F(xiàn)(1,0)，∴直線l的斜率k＝1. 于是設直線l為y＝x＋m，,,,2,3,5,6,1,,4,∴x1(x2－1)＋(x2＋m)(x1＋m－1)＝0，,,,2,3,5,6,1,,4,即2x1x2＋(x1＋x2)(m－1)＋m2－m＝0. (*),故存在直線l，使點F恰為△PQM的垂心，,5.已知橢圓C的中心為坐標原點O，一個長軸頂點為(0,2)，它的兩個短軸頂點和焦點所組成的四邊形為正方形，直線l與y軸交于點P(0，m)，與橢圓C交于異于橢圓頂點的兩點A，B，且 . (1)求橢圓的方程；,,,2,3,4,6,1,,5,,,2,3,4,6,1,,5,(2)求m的取值范圍. 解 設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意，知直線l的斜率存在， 設其方程為y＝kx＋m，與橢圓方程聯(lián)立，,,,2,3,4,6,1,,5,Δ＝(2mk)2－4(2＋k2)(m2－4)0，,,,2,3,4,6,1,,5,所以－x1＝2x2.,,,2,3,4,6,1,,5,整理，得(9m2－4)k2＝8－2m2， 又9m2－4＝0時等式不成立，,,,2,3,4,6,1,,5,6.在平面直角坐標系xOy中，已知雙曲線C1：2x2－y2＝1. (1)過C1的左頂點引C1的一條漸近線的平行線，求該直線與另一條漸近線及x軸圍成的三角形的面積.,,,2,3,4,5,1,,6,,,2,3,4,5,1,,6,,,2,3,4,5,1,,6,,,2,3,4,5,1,,6,(2)設斜率為1的直線l交C1于P、Q兩點.若l與圓x2＋y2＝1相切，求證：OP⊥OQ.,證明 設直線PQ的方程是y＝x＋b.,,,2,3,4,5,1,,6,又y1y2＝(x1＋b)(x2＋b)，,故OP⊥OQ.,,,2,3,4,5,1,,6,(3)設橢圓C2：4x2＋y2＝1.若M、N分別是C1、C2上的動點，且OM⊥ON，求證：O到直線MN的距離是定值.,,,2,3,4,5,1,,6,,,2,3,4,5,1,,6,設O到直線MN的距離為d，,因為(|OM|2＋|ON|2)d2＝|OM|2|ON|2，,,,2,3,4,5,1,,6,