2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《平面幾何名定理》.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)資料《平面幾何名定理》 四個(gè)重要定理： 梅涅勞斯(Menelaus)定理（梅氏線） △ABC的三邊BC、CA、AB或其延長(zhǎng)線上有點(diǎn)P、Q、R，則P、Q、R共線的充要條件是 。 塞瓦(Ceva)定理（塞瓦點(diǎn)） △ABC的三邊BC、CA、AB上有點(diǎn)P、Q、R，則AP、BQ、CR共點(diǎn)的充要條件是。 托勒密(Ptolemy)定理 四邊形的兩對(duì)邊乘積之和等于其對(duì)角線乘積的充要條件是該四邊形內(nèi)接于一圓。 西姆松(Simson)定理（西姆松線） 從一點(diǎn)向三角形的三邊所引垂線的垂足共線的充要條件是該點(diǎn)落在三角形的外接圓上。 例題講解 1．設(shè)AD是△ABC的邊BC上的中線，直線CF交AD于F。求證：。 2．過(guò)△ABC的重心G的直線分別交AB、AC于E、F，交CB于D。求證：。 3．D、E、F分別在△ABC的BC、CA、AB邊上，，AD、BE、CF交成△LMN。 求S△LMN。 4．以△ABC各邊為底邊向外作相似的等腰△BCE、△CAF、△ABG。求證：AE、BF、CG相交于一點(diǎn)。 5．已知△ABC中，∠B=2∠C。求證：AC2=AB2+ABBC。 6．已知正七邊形A1A2A3A4A5A6A7。求證：。 7．△ABC的BC邊上的高AD的延長(zhǎng)線交外接圓于P，作PE⊥AB于E，延長(zhǎng)ED交AC延長(zhǎng)線于F。 求證：BCEF=BFCE+BECF。 8．正六邊形ABCDEF的對(duì)角線AC、CE分別被內(nèi)分點(diǎn)M、N分成的比為AM：AC=CN：CE=k，且B、M、N共線。求k。（23-IMO-5） 9．O為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，分別以da、db、dc表示O到BC、CA、AB的距離，以Ra、Rb、Rc表示O到A、B、C的距離。 求證：（1）aRa≥bdb+cdc;　　 (2) aRa≥cdb+bdc; (3) Ra+Rb+Rc≥2(da+db+dc)。 10．△ABC中，H、G、O分別為垂心、重心、外心。求證：H、G、O三點(diǎn)共線，且HG=2GO。（歐拉線） 11．⊙O1和⊙O2與ΔABC的三邊所在直線都相切，E、F、G、H為切點(diǎn)，EG、FH的延長(zhǎng)線交于P。求證：PA⊥BC。 12．如圖，在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC平分∠BAD。在CD上取一點(diǎn)E，BE與AC相交于F，延長(zhǎng)DF交BC于G。求證：∠GAC=∠EAC。 例題答案： 1.分析：CEF截△ABD→（梅氏定理） 評(píng)注：也可以添加輔助線證明：過(guò)A、B、D之一作CF的平行線。 2.分析：連結(jié)并延長(zhǎng)AG交BC于M，則M為BC的中點(diǎn)。 DEG截△ABM→（梅氏定理） DGF截△ACM→（梅氏定理） ∴===1 評(píng)注：梅氏定理 3. 梅氏定理 4. 塞瓦定理 5. 分析：過(guò)A作BC的平行線交△ABC的外接圓于D，連結(jié)BD。則CD=DA=AB，AC=BD。 由托勒密定理，ACBD=ADBC+CDAB。 評(píng)注：托勒密定理 6.評(píng)注：托勒密定理 7.評(píng)注：西姆松定理（西姆松線） 8.評(píng)注：面積法 9.評(píng)注：面積法 10. 評(píng)注：同一法 11. 證明：連結(jié)BD交AC于H。對(duì)△BCD用塞瓦定理，可得 因?yàn)锳H是∠BAD的角平分線，由角平分線定理， 可得，故。 過(guò)C作AB的平行線交AG的延長(zhǎng)線于I，過(guò)C作AD的平行線交AE的延長(zhǎng)線于J。 則， 所以，從而CI=CJ。 又因?yàn)镃I//AB，CJ//AD，故∠ACI=π-∠BAC=π-∠DAC=∠ACJ。 因此，△ACI≌△ACJ，從而∠IAC=∠JAC，即∠GAC=∠EAC。