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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2-2-1第1課時 橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程同步檢測 新人教版選修2-1
一、選擇題
1．平面上到點A(－5,0)、B(5,0)距離之和為10的點的軌跡是( )
A．橢圓 B．圓
C．線段 D．軌跡不存在
[答案] C
[解析] 兩定點距離等于定常數(shù)10，所以軌跡為線段．
2．橢圓ax2＋by2＋ab＝0(a
－b>0，∴＋＝1，
焦點在y軸上，c＝＝
∴焦點坐標(biāo)為(0，)
3．已知橢圓＋＝1的左、右焦點分別為F1、F2，點P在橢圓上．若P、F1、F2是一個直角三角形的三個頂點，則點P到x軸的距離為( )
A. B．3 C. D.
[答案] D
[解析] a2＝16，b2＝9?c2＝7?c＝.
∵△PF1F2為直角三角形．
∴P是橫坐標(biāo)為的橢圓上的點．(P點不可能是直角頂點)
設(shè)P(，|y|)，把x＝代入橢圓方程，知＋＝1?y2＝?|y|＝.
4．橢圓＋＝1的一個焦點為F1，點P在橢圓上，如果線段PF1的中點M在y軸上，那么點P的縱坐標(biāo)是( )
A． B．
C． D．
[答案] C
[解析] 設(shè)F1(－3,0)∴P點橫坐標(biāo)為3代入＋＝1得＝1－＝，y2＝，∴y＝
5．橢圓＋y2＝1的兩個焦點為F1、F2，過F1作垂直于x軸的直線與橢圓相交，一個交點為P，則|PF2|＝( )
A. B. C. D．4
[答案] C
[解析] 如圖所示，由＋y2＝1知，F(xiàn)1、F2的坐標(biāo)分別為(－，0)、(，0)，即P點的橫坐標(biāo)為xp＝－，代入橢圓方程得yp＝，
∴|PF1|＝，
∵|PF1|＋|PF2|＝4.
∴|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.
6．(09陜西理)“m>n>0”是“方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓”的( )
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
[答案] C
[解析] 方程mx2＋ny2＝1表示焦點在y軸上的橢圓?>>0?m>n>0.故選C.
7．橢圓＋＝1的焦距是2，則m的值是( )
A．5 B．3或8 C．3或5 D．20
[答案] C
[解析] 2c＝2，c＝1，故有m－4＝12或4－m＝12，∴m＝5或m＝3且同時都大于0，故答案為C.
8．過橢圓4x2＋y2＝1的一個焦點F1的直線與橢圓交于A、B兩點，則A、B與橢圓的另一個焦點F2構(gòu)成△ABF2的周長是( )
A．2 B．4 C. D．2
[答案] B
[解析] ∵|AF1|＋|AF2|＝2，|BF1|＋|BF2|＝2，
∴|AF1|＋|BF1|＋|AF2|＋|BF2|＝4，
即|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4.
9．已知橢圓的方程為＋＝1，焦點在x軸上，則m的取值范圍是( )
A．－4≤m≤4 B．－44或m<－4 D．0|AB|，由橢圓定義知2a＝10,2c＝8
所以b2＝a2－c2＝25－16＝9，
故橢圓方程為＋＝1(y≠0)．
二、填空題
11．如圖所示，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別為橢圓＋＝1的左、右焦點，點P在橢圓上，△POF2是面積為的正三角形，則b2＝______.
[答案] 2
[解析] 由題意S△POF2＝c2＝，則c2＝4?c＝2
∴P＝(1，)代入橢圓方程＋＝1中得，
＋＝1，求出b2＝2.
12．已知A(－，0)，B是圓F：(x－) 2＋y2＝4(F為圓心)上一動點，線段AB的垂直平分線交BF于P，則動點P的軌跡方程為____________．
[答案] x2＋y2＝1
[解析] 如圖所示，由題意知，|PA|＝|PB|，|PF|＋|BP|＝2，
∴|PA|＋|PF|＝2，且|PA|＋|PF|>|AF|，
即動點P的軌跡是以A、F為焦點的橢圓，a＝1，c＝，b2＝.
∴動點P的軌跡方程為x2＋＝1，即x2＋y2＝1.
13．(08浙江)已知F1、F2為橢圓＋＝1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A、B兩點．若|F2A|＋|F2B|＝12，則|AB|＝________.
[答案] 8
[解析] (|AF1|＋|AF2|)＋(|BF1|＋|BF2|)
＝|AB|＋|AF2|＋|BF2|＝4a＝20，∴|AB|＝8.
14．如圖，把橢圓＋＝1的長軸AB分成8等份，過每個分點作x軸的垂線交橢圓的上半部分于P1、P2、…、P7七個點，F(xiàn)是橢圓的一個焦點，則|P1F|＋|P2F|＋…＋|P7F|＝________.
[答案] 35
[解析] 設(shè)橢圓右焦點為F′，由橢圓的對稱性知，
|P1F|＝|P7F′|，|P2F|＝|P6F′|，|P3F|＝|P5F′|，
∴原式＝(|P7F|＋|P7F′|)＋(|P6F|＋|P6F′|)＋(|P5F|＋|P5F′|)＋(|P4F|＋|P4F′|)＝7a＝35.
三、解答題
15．求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：
(1)焦點在y軸上，且經(jīng)過兩個點(0,2)和(1,0)．
(2)坐標(biāo)軸為對稱軸，并且經(jīng)過兩點A(0,2)，B(，)
[解析] (1)由于橢圓的焦點在y軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1(a>b>0)
由于橢圓經(jīng)過點(0,2)和(1,0)，
∴?
故所求橢圓的方程為＋x2＝1.
(2)設(shè)所求橢圓的方程為＋＝1(m>0，n>0)．
∵橢圓過A(0,2)，B(，)，
∴解得
∴所求橢圓方程為x2＋＝1.
16．已知橢圓的中心在原點，且經(jīng)過點P(3,0)，a＝3b，求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．
[解析] 當(dāng)焦點在x軸上時，設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)．由橢圓過點P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，代入得b2＝1，a2＝9，故橢圓的方程為＋y2＝1.
當(dāng)焦點在y軸上時，設(shè)其方程為＋＝1(a>b>0)．
由橢圓過點P(3,0)，知＋＝1，又a＝3b，聯(lián)立解得a2＝81，b2＝9，故橢圓的方程為＋＝1.
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1或＋y2＝1.
17．已知m為常數(shù)且m>0，求證：不論b為怎樣的正實數(shù)，橢圓＋＝1的焦點不變．
[解析] ∵m>0，b2＋m>b2，∴焦點在x軸上，由＝，得橢圓的焦點坐標(biāo)為(，0)，由m為常數(shù)，得橢圓的焦點不變．
18．在面積為1的△PMN中，tanM＝，tanN＝－2，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求以M、N為焦點且過點P(x0，y0)(y0>0)的橢圓方程．
[解析] 以線段MN的中點為原點，MN所在直線為x軸，建立坐標(biāo)系．
設(shè)M(－c,0)，N(c,0)，c>0，
又P(x0，y0)，y0>0.
由??P(，)．
設(shè)橢圓方程為＋＝1，又P在橢圓上，
故b2()2＋(b2＋)()2＝b2(b2＋)，
整理得3b4－8b2－3＝0?b2＝3.
所以所求橢圓方程為＋＝1.
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