2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《不等式的應(yīng)用》.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料《不等式的應(yīng)用》 1.排序不等式(又稱排序原理) 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組及 則(同序和) (亂序和) (逆序和) 其中是1,2,…,n的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(對任一排列)成立. 2.應(yīng)用排序不等式可證明“平均不等式”: 設(shè)有n個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)和幾何平均數(shù)分別是 此外,還有調(diào)和平均數(shù)(在光學(xué)及電路分析中要用到 , 和平方平均(在統(tǒng)計(jì)學(xué)及誤差分析中用到) 這四個(gè)平均值有以下關(guān)系. 3.應(yīng)用算術(shù)平均數(shù)——幾何平均數(shù)不等式,可用來證明下述重要不等式. 柯西(Cavchy)不等式:設(shè)、、,…,是任意實(shí)數(shù),則 等號當(dāng)且僅當(dāng)為常數(shù),時(shí)成立. 4.利用排序不等式還可證明下述重要不等式. 切比雪夫不等式:若, , 則 例題講解 1.求證: 2.,求證: 3.: 4.設(shè),且各不相同, 求證:. 5.利用基本不等式證明 6.已知求證: 7.利用排序不等式證明 8.證明:對于任意正整數(shù)R,有 9.n為正整數(shù),證明: 例題答案: 1. 證明: 評述:(1)本題所證不等式為對稱式(任意互換兩個(gè)字母,不等式不變),在因式分解或配方時(shí),往往采用輪換技巧.再如證明時(shí),可將 配方為,亦可利用 ,3式相加證明.(2)本題亦可連用兩次基本不等式獲證. 2.分析:顯然不等式兩邊為正,且是指數(shù)式,故嘗試用商較法. 不等式關(guān)于對稱,不妨,且, 都大于等于1. 評述:(1)證明對稱不等式時(shí),不妨假定個(gè)字母的大小順序,可方便解題. (2)本題可作如下推廣:若 (3)本題還可用其他方法得證。因,同理, 另,4式相乘即得證. (4)設(shè)例3等價(jià)于類似例4可證事實(shí)上,一般地有排序不等式(排序原理): 設(shè)有兩個(gè)有序數(shù)組,則(順序和) (亂序和) (逆序和) 其中的任一排列.當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號成立. 排序不等式應(yīng)用較為廣泛(其證明略),它的應(yīng)用技巧是將不等式兩邊轉(zhuǎn)化為兩個(gè)有序數(shù)組的積的形式.如 . 3.思路分析:中間式子中每項(xiàng)均為兩個(gè)式子的和,將它們拆開,再用排序不等式證明. 不妨設(shè),則(亂序和)(逆序和),同理(亂序和)(逆序和)兩式相加再除以2,即得原式中第一個(gè)不等式.再考慮數(shù)組,仿上可證第二個(gè)不等式. 4.分析:不等式右邊各項(xiàng);可理解為兩數(shù)之積,嘗試用排序不等式. 設(shè)的重新排列,滿足, 又 所以.由于是互不相同的正整數(shù),故從而,原式得證. 評述:排序不等式應(yīng)用廣泛,例如可證我們熟悉的基本不等式, 5.思路分析:左邊三項(xiàng)直接用基本不等式顯然不行,考察到不等式的對稱性,可用輪換的方法. ;三式相加再除以2即得證. 評述:(1)利用基本不等式時(shí),除了本題的輪換外,一般還須掌握添項(xiàng)、連用等技巧. 如,可在不等式兩邊同時(shí)加上 再如證時(shí),可連續(xù)使用基本不等式. (2)基本不等式有各種變式 如等.但其本質(zhì)特征不等式兩邊的次數(shù)及系數(shù)是相等的.如上式左右兩邊次數(shù)均為2,系數(shù)和為1. 6. 思路分析:不等式左邊是、的4次式,右邊為常數(shù),如何也轉(zhuǎn)化為、的4次式呢. 要證即證 評述:(1)本題方法具有一定的普遍性.如已知求證: 右側(cè)的可理解為再如已知,求證: +,此處可以把0理解為,當(dāng)然本題另有簡使證法. (2)基本不等式實(shí)際上是均值不等式的特例.(一般地,對于個(gè)正數(shù) 調(diào)和平均 幾何平均 算術(shù)平均 平方平均 這四個(gè)平均值有以下關(guān)系:,其中等號當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)成立. 7. 證明: 令則,故可取,使得 由排序不等式有: =(亂序和) (逆序和) =n, 評述:對各數(shù)利用算術(shù)平均大于等于幾何平均即可得,. 8. 分析:原不等式等價(jià)于,故可設(shè)法使其左邊轉(zhuǎn)化為n個(gè)數(shù)的幾何平均,而右邊為其算術(shù)平均. 評述:(1)利用均值不等式證明不等式的關(guān)鍵是通過分拆和轉(zhuǎn)化,使其兩邊與均值不等式形式相近.類似可證 (2)本題亦可通過逐項(xiàng)展開并比較對應(yīng)項(xiàng)的大小而獲證,但較繁. 9.證明:先證左邊不等式 (*)式成立,故原左邊不等式成立. 其次證右邊不等式 (**) (**)式恰符合均值不等式,故原不等式右邊不等號成立.- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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