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2019-2020年高三數(shù)學第一輪復習《三角函數(shù)的圖像與性質》講義
基礎梳理
1.“五點法”描圖
(1)y=sin x的圖象在[0,2π]上的五個關鍵點的坐標為
(0,0) (π,0) (2π,0)
(2)y=cos x的圖象在[0,2π]上的五個關鍵點的坐標為
(0,1),,(π,-1),,(2π,1)
2.三角函數(shù)的圖象和性質
函數(shù)
性質
y=sin x
y=cos x
y=tan x
定義域
R
R
{x|x≠kπ+,k∈Z}
圖象
值域
[-1,1]
[-1,1]
R
對稱性
對稱軸:__ x=kπ+(k∈Z)__ _;
對稱中心:
_ (kπ,0)(k∈Z)__ _
對稱軸:
x=kπ(k∈Z)___;
對稱中心:
_(kπ+,0) (k∈Z)__
對稱中心:_ (k∈Z) __
周期
2π_
2π
π
單調性
單調增區(qū)間_[2kπ-,2kπ+](k∈Z)___;
單調減區(qū)間[2kπ+,2kπ+] (k∈Z) __
單調增區(qū)間[2kπ-π,2kπ] (k∈Z) ____;
單調減區(qū)間[2kπ,2kπ+π](k∈Z)______
單調增區(qū)間_(kπ-,kπ+)(k∈Z)___
奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
3.一般地對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零的常數(shù)T,使得當x取定義域內的每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù),非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期,把所有周期中存在的最小正數(shù),叫做最小正周期(函數(shù)的周期一般指最小正周期)
對函數(shù)周期性概念的理解
周期性是函數(shù)的整體性質,要求對于函數(shù)整個定義域范圍的每一個x值都滿足f(x+T)=f(x),其中T是不為零的常數(shù).如果只有個別的x值滿足f(x+T)=f(x),或找到哪怕只有一個x值不滿足f(x+T)=f(x),都不能說T是函數(shù)f(x)的周期.
函數(shù)y=Asin(ωx+φ)和y=Acos(ωx+φ)的最小正周期為 ,
y=tan(ωx+φ)的最小正周期為 .
4.求三角函數(shù)值域(最值)的方法:
(1)利用sin x、cos x的有界性;
關于正、余弦函數(shù)的有界性
由于正余弦函數(shù)的值域都是[-1,1],因此對于?x∈R,恒有-1≤sin x≤1,-1≤cos x≤1,所以1叫做y=sin x,y=cos x的上確界,-1叫做y=sin x,y=cos x的下確界.
(2)形式復雜的函數(shù)應化為y=Asin(ωx+φ)+k的形式逐步分析ωx+φ的范圍,根據(jù)正弦函數(shù)單調性寫出函數(shù)的值域;含參數(shù)的最值問題,要討論參數(shù)對最值的影響.
(3)換元法:把sin x或cos x看作一個整體,可化為求函數(shù)在區(qū)間上的值域(最值)問題.
利用換元法求三角函數(shù)最值時注意三角函數(shù)有界性,如:y=sin2x-4sin x+5,令t=sin x(|t|≤1),則y=(t-2)2+1≥1,解法錯誤.
5.求三角函數(shù)的單調區(qū)間時,應先把函數(shù)式化成形如y=Asin(ωx+φ) (ω>0)的形式,再根據(jù)基本三角函數(shù)的單調區(qū)間,求出x所在的區(qū)間.應特別注意,應在函數(shù)的定義域內考慮.注意區(qū)分下列兩題的單調增區(qū)間不同;利用換元法求復合函數(shù)的單調區(qū)間(要注意x系數(shù)的正負號) (1)y=sin;(2)y=sin.
熱身練習:
1.函數(shù)y=cos,x∈R( ).
A.是奇函數(shù) B.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)
C.是偶函數(shù) D.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)
2.函數(shù)y=tan的定義域為( ).
A. B.
C. D.
3.函數(shù)y=sin(2x+)的圖象的對稱軸方程可能是( )
A.x=- B.x=- C.x= D.x=
【解析】令2x+=kπ+,則x=+(k∈Z)
∴當k=0時,x=,選D.
4.y=sin的圖象的一個對稱中心是( ).
A.(-π,0) B. C. D.
解析 ∵y=sin x的對稱中心為(kπ,0)(k∈Z),∴令x-=kπ(k∈Z),x=kπ+(k∈Z),由k=-1,x=-π得y=sin的一個對稱中心是.
答案 B
5.下列區(qū)間是函數(shù)y=2|cos x|的單調遞減區(qū)間的是 ( )
A.(0,π) B. C. D.
6.已知函數(shù)f(x)=sin(2x+φ),其中φ為實數(shù),若f(x)≤|f()|對任意x∈R恒成立,且f()>f(π),則f(x)的單調遞增區(qū)間是( )
A.[kπ-,kπ+](k∈Z) B.[kπ,kπ+](k∈Z)
C.[kπ+,kπ+](k∈Z) D.[kπ-,kπ](k∈Z)
【解析】當x∈R時,f(x)≤|f()|恒成立,∴f()=sin(+φ)=1
可得φ=2kπ+或φ=2kπ-,k∈Z
∵f()=sin(π+φ)=-sinφ>f(π)=sin(2π+φ)=sinφ
∴sinφ<0 ∴φ=2kπ-
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ 得x∈[kπ+,kπ+](k∈Z),選C.
7.函數(shù)f(x)=cosx∈R的最小正周期為___4π_____.
8..y=2-3cos的最大值為___5_____,此時x=_____π+2kπ,k∈Z _________.
9.函數(shù)y=(sinx-a)2+1,當sinx=1時,y取最大值;當sinx=a時,y取最小值,則實數(shù)
-1≤a≤0.
10.函數(shù)f(x)=sin2x+sinxcosx在區(qū)間[,]上的最大值是 .
【解析】∵f(x)=+sin2x=sin2x-cos2x+
=sin(2x-)+,
又≤x≤,∴≤2x-≤. ∴當2x-=即x=時,f(x)取最大值.
題型一 與三角函數(shù)有關的函數(shù)定義域問題
例1 求下列函數(shù)的定義域:
(1)y=lgsin(cos x); (2)y=.
解 (1)要使函數(shù)有意義,必須使sin(cos x)>0.
∵-1≤cos x≤1,∴0
0,ω>0,0<φ<)的部分圖象如圖所示.
(1)求f(x)的解析式;
(2)設g(x)=[f(x-)]2,求函數(shù)g(x)在
x∈[-,]上的最大值,并確定此時x的值.
【解析】(1)由圖可知A=2,=,則=4 ∴ω=.
又f(-)=2sin[(-)+φ]=2sin(-+φ)=0
∴sin(φ-)=0
∵0<φ<,∴-<φ-<∴φ-=0,即φ=
∴f(x)=2sin(x+).
(2)由(1)可得f(x-)=2sin[(x-)+]=2sin(x+)
∴g(x)=[f(x-)]2=4=2-2cos(3x+)
∵x∈[-,] ∴-≤3x+≤,
∴當3x+=π,即x=時,g(x)max=4.
【點評】根據(jù)y=Asin(ωx+φ)+K的圖象求其解析式的問題,主要從以下四個方面來考慮:
①A的確定:根據(jù)圖象的最高點和最低點,即A=;
②K的確定:根據(jù)圖象的最高點和最低點,即K=;
③ω的確定:結合圖象,先求出周期,然后由T=(ω>0)來確定ω;
④φ的確定:由函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+K最開始與x軸的交點(最靠近原點)的橫坐標為-(即令ωx+φ=0,x=-)確定φ.
例4若方程sinx+cosx=a在[0,2π]上有兩個不同的實數(shù)根x1,x2,求a的取值范圍,并求此時x1+x2的值.
【解析】∵sinx+cosx=2sin(x+),x∈[0,2π],
作出y=2sin(x+)在[0,2π]內的圖象如圖.
由圖象可知,當1<a<2或-2<a<1時,
直線y=a與y=2sin(x+)有兩個交點,
故a的取值范圍為a∈(-2,1)∪(1,2).
當1<a<2時,x1++x2+=π.∴x1+x2=.
當-2<a<1時,x1++x2+=3π,∴x1+x2=.
【點評】利用三角函數(shù)圖象形象直觀,可使有些問題得到順利、簡捷的解決,因此我們必須準確把握三角函數(shù)“形”的特征.
例4已知函數(shù)f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<)的圖象與x軸的交點中,相鄰兩個交點之間的距離為,且圖象上一個最低點為M(,-2).
(1)求f(x)的解析式;
(2)將函數(shù)f(x)的圖象向右平移個單位后,再將所得圖象上各點的橫坐標縮小到原來的,縱坐標不變,得到y(tǒng)=g(x)的圖象,求函數(shù)y=g(x)的解析式,并求滿足g(x)≥且x∈[0,π]的實數(shù)x的取值范圍.
【解析】(1)由函數(shù)圖象的最低點為M(,-2),得A=2,
由x軸上相鄰兩個交點間的距離為,得=,即T=π,
∴ω==2.又點M(,-2)在圖象上,得2sin(2+φ)=-2,
即sin(+φ)=-1,
故+φ=2kπ-,k∈Z,∴φ=2kπ-,
又φ∈(0,),∴φ=.綜上可得f(x)=2sin(2x+).
(2)將f(x)=2sin(2x+)的圖象向右平移個單位,
得到f1(x)=2sin[2(x-)+],即f1(x)=2sin2x的圖象,
然后將f1(x)=2sin2x的圖象上各點的橫坐標縮小到原來的,縱坐標不變,得到g(x)=2sin(22x),即g(x)=2sin4x.
由得.
則即.
故≤x≤ 或 ≤x≤.
題型四 、三角函數(shù)的奇偶性與周期性及應用
例1已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<.
(1)若coscosφ-sinsinφ=0,求φ的值;
(2)在(1)的條件下,若函數(shù)f(x)的圖象的相鄰兩條對稱軸之間的距離等于,求函數(shù)f(x)的解析式;并求最小正實數(shù)m,使得函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位后所對應的函數(shù)是偶函數(shù).
【解析】(1)由coscosφ-sinsinφ=0 得cos(+φ)=0.
∵|φ|<,∴φ=.
(2)由已知得=,∴T=,ω=3 ∴f(x)=sin(3x+).
設函數(shù)f(x)的圖象向左平移m個單位后所對應的函數(shù)為g(x),
則g(x)=sin[3(x+m)+]=sin(3x+3m+)
g(x)是偶函數(shù)當且僅當3m+=kπ+(k∈Z)
即m=+(k∈Z) ∴最小正實數(shù)m=.
題型五 三角函數(shù)的單調性與周期性
例2 寫出下列函數(shù)的單調區(qū)間及周期:
(1)y=sin;(2)y=|tan x|.
解 (1)y=sin,
它的增區(qū)間是y=sin的減區(qū)間,它的減區(qū)間是y=sin的增區(qū)間.
由2kπ-≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z.
由2kπ+≤2x-≤2kπ+,k∈Z,得kπ+≤x≤kπ+,k∈Z.
故所給函數(shù)的減區(qū)間為,k∈Z;
增區(qū)間為,k∈Z.最小正周期T==π.
(2)觀察圖象可知,y=|tan x|的增區(qū)間是,k∈Z,減區(qū)間是
,k∈Z.最小正周期:T=π.
探究提高 (1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ) (其中A≠0,ω>0)的函數(shù)的單調區(qū)間,可以通過解不等式的方法去解答.
列不等式的原則是:①把“ωx+φ (ω>0)”視為一個“整體”;②A>0 (A<0)時,所列不等式的方向與y=sin x(x∈R),y=cos x(x∈R)的單調區(qū)間對應的不等式方向相同(反).
(2)對于y=Atan(ωx+φ) (A、ω、φ為常數(shù)),其周期T=,單調區(qū)間利用ωx+φ∈,解出x的取值范圍,即為其單調區(qū)間.
(3)求含有絕對值的三角函數(shù)的單調性及周期時,通常要畫出圖象,結合圖象判定.
變式訓練2 (1)求函數(shù)y=sin+cos的周期、單調區(qū)間及最大、最小值;
(2)已知函數(shù)f(x)=4cos xsin-1.
①求f(x)的最小正周期; ②求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值.
解: y=sin+cos
(1)周期為T=
函數(shù)的遞增區(qū)間為 (k∈Z);
函數(shù)的遞減區(qū)間為(k∈Z)
ymax=2; ymin=-2
(2) f(x)=4cos xsin-1
, 最大值為2;最小值為-1
題型六、三角函數(shù)的對稱性與單調性及應用
例2已知向量=(sin2x-1,cosx), =(1,2cosx),設函數(shù)f(x)=,x∈R.
(1)求函數(shù)f(x)圖象的對稱軸方程; (2)求函數(shù)f(x)的單調遞增區(qū)間.
【解析】(1)f(x)=mn=sin2x-1+2cos2x=sin2x+cos2x=2sin(2x+)
∴對稱軸方程為:2x+=kπ+,即x=+(k∈Z).
(2)由-+2kπ≤2x+≤+2kπ得-+kπ≤x≤kπ+
∴f(x)的單調遞增區(qū)間為[kπ-,kπ+](k∈Z).
【點評】對于f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0):
①若求y=f(x)的對稱軸,只需令ωx+φ=kπ+(k∈Z),求出x;
若求y=f(x)的對稱中心的橫坐標,只零令ωx+φ=kπ(k∈Z),求出x;
②若求y=f(x)的單調增區(qū)間,只需令2kπ-≤ωx+φ≤2kπ+,求出x;
若求y=f(x)的單調減區(qū)間,只需令2kπ+≤ωx+φ≤2kπ+,求出x.
題型七 三角函數(shù)的對稱性與奇偶性
例3 (1)已知f(x)=sin x+cos x(x∈R),函數(shù)y=f(x+φ) 的圖象關于直線x=0對稱,則φ的值為________.
(2)如果函數(shù)y=3cos(2x+φ)的圖象關于點中心對稱,那么|φ|的最小值為( )
A . B. C. D.
(1)
(x)=2sin, y=f(x+φ)=2sin圖象關于x=0對稱,
即f(x+φ)為偶函數(shù).∴+φ=+kπ,k∈Z,
即φ=kπ+,k∈Z,所以當k=0時,φ=.
(2)A
3cos=3cos=3cos
∴+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ-,k∈Z,
取k=0,得|φ|的最小值為.故選
探究提高 若f(x)=Asin(ωx+φ)為偶函數(shù),則當x=0時,f(x)取得最大或最小值.
若f(x)=Asin(ωx+φ)為奇函數(shù),則當x=0時,f(x)=0.
如果求f(x)的對稱軸,只需令ωx+φ=+kπ (k∈Z),求x.
如果求f(x)的對稱中心的橫坐標,只需令ωx+φ=kπ (k∈Z)即可.
變式訓練3 (1)已知函數(shù)f(x)=sinx+acos x的圖象的一條對稱軸是x=,則函數(shù)g(x)=asin x+cos x的最大值是 ( )
A. B. C. D.
由題意得f(0)=f ,∴a=--.
∴a=-, g(x)=-sin x+cos x=sin,
∴g(x)max=.
(2)若函數(shù)f(x)=asin ωx+bcos ωx (0<ω<5,ab≠0)的圖象的一條對稱軸方程是x=,函數(shù)f′(x)的圖象的一個對稱中心是,則f(x)的最小正周期是________.
(1)B (2)π
由題設,有=,即(a+b)=,由此得到a=b.
又,所以aω=0,
從而tan =1,=kπ+,k∈Z,即ω=8k+2,k∈Z,而0<ω<5,所以ω=2,
于是f(x)=a(sin 2x+cos 2x)=asin
故f(x)的最小正周期是π.
題型八 三角函數(shù)的值域與最值的求法及應用
例3(1)求函數(shù)y=的值域;
(2)求函數(shù)y=sinxcosx+sinx+cosx的最值;
(3)若函數(shù)f(x)=-asincos(π-)的最大值為2,試確定常數(shù)a的值.
【解析】
=2sinx(1-sinx)=2sinx-2sin2x=-2(sinx-)2+.
∵1+sinx≠0,∴-1<sinx≤1.∴-4<y≤.
故函數(shù)y=的值域為(-4,].
(2)令t=sinx+cosx,則sinxcosx=,且|t|≤.
∴y=(t2-1)+t=(t+1)2-1,
∴當t=-1時,ymin=-1;當t=時,ymax=+.
(3)f(x)=+asincos=cosx+sinx
=sin(x+φ),(其中tanφ=)
由已知得=2,解得a=.
【點評】求三角函數(shù)的最值問題,主要有以下幾種題型及對應解法.
(1)y=asinx+bcosx型,可引用輔角化為y=sin(x+φ)(其中tanφ=).
(2)y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型,可通過降次整理化為y=Asin2x+Bcos2x+C.
(3)y=asin2x+bcosx+c型,可換元轉化為二次函數(shù).
(4)sinxcosx與sinxcosx同時存在型,可換元轉化.
(5)y=(或y=)型,可用分離常數(shù)法或由|sinx|≤1(或|cosx|≤1)來解決,也可化為真分式去求解.
(6)y=型,可用斜率公式來解決.
例4已知函數(shù)f(x)=sin2x+acos2x(a∈R,a為常數(shù)),且是函數(shù)y=f(x)的一個零點.
(1)求a的值,并求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)當x∈[0,]時,求函數(shù)f(x)的最大值和最小值及相應的x的值.
【解析】(1)由是y=f(x)的零點得 f()=sin+acos2=0,求解a=-2,
則f(x)=sin2x-2cos2x=sin2x-cos2x-1=sin(2x-)-1,
故f(x)的最小正周期為T==π.
(2)由x∈[0,]得2x-∈[-,],則-≤sin(2x-)≤1,
因此-2≤sin(2x-)-1≤-1,故當x=0時,f(x)取最小值-2,
當x=時,f(x)取最大值-1.
設a∈R,f(x)=cosx(asinx-cosx)+cos2(-x)滿足f(-)=f(0),求函數(shù)f(x)在[,]上的最大值和最小值.
【解析】f(x)=asinxcosx-cos2x+sin2x=sin2x-cos2x
由f(-)=f(0)得-+=-1,解得a=2.
∴f(x)=sin2x-cos2x=2sin(2x-)
當x∈[,]時,2x-∈[,],f(x)為增函數(shù).
當x∈[,]時,2x-∈[,],f(x)為減函數(shù).
∴f(x)在[,]上的最大值為f()=2 又∵f()=,f()=
∴f(x)在[,]上的最小值為f()=.
題型九 分類討論及方程思想在三角函數(shù)中的應用
例題:已知函數(shù)f(x)=-2asin+2a+b的定義域為,函數(shù)的最大值為1,最小值為-5,(1)求a和b的值.
(2)若 a>0,設g(x)=f 且lg g(x)>0,求g(x)的單調區(qū)間.
點評?、偾蟪?x+的范圍,求出sin(2x+)的值域.②系數(shù)a的正、負影響著f(x)的值,因而要分a>0,a<0兩類討論.③根據(jù)a>0或a<0求f(x)的最值,列方程組求解.
解 (1)∵x∈,∴2x+∈.∴sin∈,
∴-2asin∈[-2a,a].∴f(x)∈[b,3a+b],
又∵-5≤f(x)≤1,∴b=-5,3a+b=1,
因此a=2,b=-5.
(2)由(1)得a=2,b=-5,∴f(x)=-4sin-1,
g(x)=f =-4sin-1=4sin-1,
又由lg g(x)>0得g(x)>1,∴4sin-1>1,
∴sin>,∴2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z,
其中當2kπ+<2x+≤2kπ+,k∈Z時,g(x)單調遞增,即kπ<x≤kπ+,k∈Z,
∴g(x)的單調增區(qū)間為,k∈Z.
又∵當2kπ+<2x+<2kπ+,k∈Z時,g(x)單調遞減,即kπ+<x<kπ+,k∈Z.
三角函數(shù)的圖象與性質練習一
一、選擇題
1.對于函數(shù)f(x)=2sinxcosx,下列選項正確的是( )
A.f(x)在(,)上是遞增的 B.f(x)的圖象關于原點對稱
C.f(x)的最小正周期為2π D.f(x)的最大值為2
【解析】f(x)=sin2x
f(x)在(,)上是遞減的,A錯; f(x)的最小正周期為π,C錯;
f(x)的最大值為1,D錯;選B.
2.若α、β∈(-,),那么“α<β”是“tanα<tanβ”的( )
A.充分不必要條件 B.必要不充分條件
C.充要條件 D.既不充分又不必要條件
【解析】α、β∈(-,),tanx在此區(qū)間上單調遞增.
當α<β時,tanα<tanβ;當tanα<tanβ時,α<β.故選C.
3.已知函數(shù)f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<)的最小正周期為π,將該函數(shù)的圖象向左平移個單位后,得到的圖象對應的函數(shù)為奇函數(shù),則f(x)的圖象( )
A.關于點(,0)對稱 B.關于直線x=對稱
C.關于點(,0)對稱 D.關于直線x=對稱
【解析】由已知得ω=2,則f(x)=sin(2x+φ)
設平移后的函數(shù)為g(x),則g(x)=sin(2x++φ)(|φ|<)且為奇函數(shù)
∴φ=-,f(x)=sin(2x-)
∴圖象關于直線x=對稱,選B.
4.已知f(x)=sinx,x∈R,g(x)的圖象與f(x)的圖象關于點(,0)對稱,則在區(qū)間[0,2π]上滿足f(x)≤g(x)的x的取值范圍是( )
A.[,] B.[,] C.[,] D.[,]
【解析】設(x,y)為g(x)的圖象上任意一點,則其關于點(,0)對稱的點為(-x,-y),
由題意知該點必在f(x)的圖象上.∴-y=sin(-x),
即g(x)=-sin(-x)=-cosx,由已知得sinx≤-cosx?sinx+cosx
=sin(x+)≤0又x∈[0,2π] ∴≤x≤.
5.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx+φ),g(x)=3cos(ωx+φ),若對任意x∈R,都有f(+x)=f(-x),則g()=____.
【解析】由f(+x)=f(-x),知y=f(x)關于直線x=對稱,∴sin(ω+φ)=1.
∴g()=3cos(ω+φ)=3=0.
6.設函數(shù)f(x)=2sin(+),若對任意x∈R,都有f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立,則|x2-x1|的最小值為____.
【解析】由“f(x1)≤f(x)≤f(x2)恒成立”,可得f(x1)、f(x2)分別是f(x)的最小值、最大值.
∴|x2-x1|的最小值為函數(shù)f(x)的半周期,又T==4.∴|x2-x1|min=2.
7.已知函數(shù)f(x)=sinx+cosx,f′(x)是f(x)的導函數(shù).
(1)求f′(x)及函數(shù)y=f′(x)的最小正周期;
(2)當x∈[0,]時,求函數(shù)F(x)=f(x)f′(x)+f2(x)的值域.
【解析】(1)f′(x)=cosx-sinx=-sin(x-)
∴y=f′(x)的最小正周期為T=2π.
(2)F(x)=cos2x-sin2x+1+2sinxcosx
=1+sin2x+cos2x=1+sin(2x+)
∵x∈[0,],∴2x+∈[,] ∴sin(2x+)∈[-,1],
∴函數(shù)F(x)的值域為[0,1+].
8.設函數(shù)f(x)=2cosx(sinx+cosx)-1,將函數(shù)f(x)的圖象向左平移α個單位,得到函數(shù)y=g(x)的圖象.
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期;
(2)若0<α<,且g(x)是偶函數(shù),求α的值.
【解析】(1)∵f(x)=2sinxcosx+2cos2x-1
=sin2x+cos2x=sin(2x+),
∴f(x)的最小正周期T==π.
(2)g(x)=f(x+α)=sin[2(x+α)+]=sin(2x+2α+),
g(x)是偶函數(shù),則g(0)==sin(2α+),
∴2α+=kπ+,k∈Z.α=+(k∈Z),
∵ 0<α<,∴α=.
三角函數(shù)的圖象與性質練習二
1.函數(shù)f(x)=sin圖象的對稱軸方程可以為 ( )
A.x= B.x= C.x= D.x=
解析 令2x+=kπ+(k∈Z),得x=+(k∈Z),令k=0得該函數(shù)的一條對稱軸為x=.本題也可用代入驗證法來解.答案 D
2.y=sin的圖象的一個對稱中心是 ( )
A.(-π,0) B. C. D.
3.函數(shù)y=3cos(x+φ)+2的圖象關于直線x=對稱,則φ的可能取值是 ( )
A. B.- C. D.
二、填空題
4.函數(shù)y=lg(sin x)+的定義域為____(k∈Z)_________.
5.已知函數(shù)f(x)=3sin(ωx-)(ω>0)和g(x)=2cos(2x+φ)+1的圖象的對稱軸完全相同.若x∈[0,],則f(x)的取值范圍是_______________.
4.函數(shù)f(x)=2sin ωx(ω>0)在上單調遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,那么ω等于________.
解析 因為f(x)=2sin ωx(ω>0)在上單調遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,所以2sinω=,且0<ω<,因此ω=.
答案
6.關于函數(shù)f(x)=4sin (x∈R),有下列命題:
①由f(x1)=f(x2)=0可得x1-x2必是π的整數(shù)倍;②y=f(x)的表達式可改寫為y=4cos;
③y=f(x)的圖象關于點對稱;④y=f(x)的圖象關于直線x=-對稱.
其中正確命題的序號是___________.②③
解析 函數(shù)f(x)=4sin的最小正周期T=π,由相鄰兩個零點的橫坐標間的距離是=知①錯.
利用誘導公式得f(x)=4cos=
4cos=4cos,知②正確.
由于曲線f(x)與x軸的每個交點都是它的對稱中心,將x=-代入得f(x)=4sin=4sin 0=0,
因此點是f(x)圖象的一個對稱中心,故命題③正確.曲線f(x)的對稱軸必經過圖象的最高點或最低點,且與y軸平行,而x=-時y=0,點不是最高點也不是最低點,故直線x=-不是圖象的對稱軸,因此命題④不正確.
答案 ②③
三、解答題
7.設函數(shù)f(x)=sin (-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.
(1)求φ;
(2)求函數(shù)y=f(x)的單調增區(qū)間.
解 (1)-
(2)由(1)得:f(x)=sin,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,
可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
因此y=f(x)的單調增區(qū)間為
,k∈Z.
8.(1)求函數(shù)y=2sin (-0)在區(qū)間上的最小值是-2,則ω的最小值等于( )
A. B. C.2 D.3
3.函數(shù)f(x)=cos 2x+sin是 ( )
A.非奇非偶函數(shù) B.僅有最小值的奇函數(shù)
C.僅有最大值的偶函數(shù) D.有最大值又有最小值的偶函數(shù)
二、填空題
4.設定義在區(qū)間(0,)上的函數(shù)y=6cos x的圖象與y=5tan x的圖象交于點P,過點P作x軸的垂線,垂足為P1,直線PP1與函數(shù)y=sin x的圖象交于點P2,則線段P1P2的長為___________.
5.函數(shù)f(x)=2sin ωx(ω>0)在上單調遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,那么ω=___________.
解析 因為f(x)=2sin ωx(ω>0)在上單調遞增,且在這個區(qū)間上的最大值是,所以2sinω=,且0<ω<,因此ω=.答案
6.給出下列命題:
①函數(shù)y=cos是奇函數(shù); ②存在實數(shù)α,使得sin α+cos α=;
③若α、β是第一象限角且α<β,則tan α0)的圖象與直線y=m相切,并且切點的橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列. (1)求m的值;
(2)若點A(x0,y0)是y=f(x)圖象的對稱中心,且x0∈,求點A的坐標.
7.解 (1)f(x)=(1-cos 2ax)-sin 2ax
=-(sin 2ax+cos 2ax)+
=-sin+.
∵y=f(x)的圖象與y=m相切,
∴m為f(x)的最大值或最小值,
即m=或m=.
(2)∵切點的橫坐標依次成公差為的等差數(shù)列,∴f(x)的最小正周期為.
T==,a>0,∴a=2,
即f(x)=-sin+.
由題意知sin=0,則4x0+=kπ (k∈Z),∴x0=- (k∈Z).
由0≤-≤ (k∈Z)得k=1或2,
因此點A的坐標為,.
三角函數(shù)的圖象與性質練習四
一、選擇題
1.函數(shù)f(x)=2sin xcos x是( ).
A.最小正周期為2 π的奇函數(shù) B.最小正周期為2 π的偶函數(shù)
C.最小正周期為π的奇函數(shù) D.最小正周期為π的偶函數(shù)
解析 f(x)=2sin xcos x=sin 2x.∴f(x)是最小正周期為π的奇函數(shù).
答案 C
2.函數(shù)y=sin2x+sin x-1的值域為( ).
A.[-1,1] B. C. D.
解析 (數(shù)形結合法)y=sin2x+sin x-1,令sin x=t,則有y=t2+t-1,t∈[-1,1],畫出函數(shù)圖象如圖所示,從圖象可以看出,當t=-及t=1時,
函數(shù)取最值,代入y=t2+t-1可得y∈.
答案 C
3.若函數(shù)f(x)=sin ωx(ω>0)在區(qū)間上單調遞增,在區(qū)間上單調遞減,則ω=( ).
A. B. C.2 D.3
解析 由題意知f(x)的一條對稱軸為x=,和它相鄰的一個對稱中心為原點,則f(x)的周期T=,從而ω=.
答案 B
4.函數(shù)f(x)=(1+tan x)cos x的最小正周期為( ).
A.2π B. C.π D.
解析 依題意,得f(x)=cos x+sin x=2sin.故最小正周期為2π.
答案 A
5.下列函數(shù)中,周期為π,且在上為減函數(shù)的是( ).
A.y=sin B.y=cos
C.y=sin D.y=cos
解析 (篩選法)∵函數(shù)的周期為π.∴排除C、D,∵函數(shù)在上是減函數(shù),∴排除B. 答案 A
【點評】 本題采用了篩選法,體現(xiàn)了篩選法的方便、快捷、準確性,在解選擇題時應注意應用.
6.已知函數(shù)f(x)=sin(x∈R),下面結論錯誤的是( ).
A.函數(shù)f(x)的最小正周期為2π B.函數(shù)f(x)在區(qū)間上是增函數(shù)
C.函數(shù)f(x)的圖象關于直線x=0對稱 D.函數(shù)f(x)是奇函數(shù)
解析 ∵y=sin=-cos x,∴T=2π,在上是增函數(shù),圖象關于y軸對稱,為偶函數(shù).
答案 D
二、 填空題
7.y=-|sin(x+)|的單調增區(qū)間為___[kπ+,kπ+](k∈Z)_____.
8.要得到的圖象,可以將函數(shù)y = 3 sin2 x的圖象向左平移___單位.
9.若動直線與函數(shù)和的圖像分別交于兩點,則的最大值為________.
10函數(shù)f(x)=() 的值域是_____[-1,0]___ __.
11.已知,且在區(qū)間有最小值,無最大值,則=__________.
12、給出下面的3個命題:(1)函數(shù)的最小正周期是;(2)函數(shù)在區(qū)間上單調遞增;(3)是函數(shù)的圖象的一條對稱軸.其中正確命題的序號是 .
13.若函數(shù)f(x)=cos ωxcos(ω>0)的最小正周期為π,則ω的值為________.
解析 f(x)=cos ωxcos=cos ωxsin ωx=sin 2ωx,
∴T==π.∴ω=1. 答案 1
14.函數(shù)y=tan的圖象與x軸交點的坐標是______.
解析 由2x+=kπ,k∈Z,得:x=-,k∈Z,
故交點坐標為(k∈Z). 答案 (k∈Z)
15.已知函數(shù)f(x)=sin(x+θ)+cos(x+θ)是偶函數(shù),則θ的值為________.
解析 (回顧檢驗法)據(jù)已知可得f(x)=2sin,若函數(shù)為偶函數(shù),則必有θ+=kπ+(k∈Z),又由于θ∈,故有θ+=,解得θ=,經代入檢驗符合題意.答案
三、解答題
16.已知f(x)=sin x+sin. (1)若α∈[0,π],且sin 2α=,求f(α)的值;
(2)若x∈[0,π],求f(x)的單調遞增區(qū)間.
解 (1)由題設知f(α)=sin α+cos α.
∵sin 2α==2sin αcos α>0,α∈[0,π],∴α∈,sin α+cos α>0.
由(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,得sin α+cos α=,∴f(α)=.
(2)由(1)知f(x)=sin,又0≤x≤π,∴f(x)的單調遞增區(qū)間為.
17.設函數(shù)f(x)=sin(2x+φ)(-π<φ<0),y=f(x)圖象的一條對稱軸是直線x=.
(1)求φ; (2)求函數(shù)y=f(x)的單調增區(qū)間.
解 (1)令2+φ=kπ+,k∈Z,∴φ=kπ+,k∈Z,
又-π<φ<0,則-<k<-,k∈Z,∴k=-1,則φ=-.
(2)由(1)得:f(x)=sin,
令-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z,可解得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z,
因此y=f(x)的單調增區(qū)間為,k∈Z.
18、設函數(shù).(1)求的最小正周期.
(2)若函數(shù)與的圖像關于直線對稱,求當時的最大值.
解:(Ⅰ)=
= =
故的最小正周期為T = =8
(Ⅱ)解法一:
在的圖象上任取一點,它關于的對稱點 .
由題設條件,點在的圖象上,從而
= =
當時,,因此在區(qū)間上的最大值為
解法二:
因區(qū)間關于x = 1的對稱區(qū)間為,且與的圖象關于
x = 1對稱,故在上的最大值為在上的最大值
由(Ⅰ)知=當時,
因此在上的最大值為 .
19、設函數(shù),其中向量,,,且的圖象經過點.
(1)求實數(shù)的值; (2)求函數(shù)的最小值及此時值的集合.
(3)求函數(shù)的單調區(qū)間; (4)函數(shù)圖象沿向量平移得到的圖象,求向量。
19、(1)
(2)
(3)
(4)
20、設函數(shù),給出下列三個論斷:
①的圖象關于直線對稱; ②的周期為;
③的圖象關于點對稱.
以其中的兩個論斷為條件,余下的一個論斷作為結論,寫出你認為正確的一個命題,并對該命題加以證明.
或,證明略
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