2019-2020年高考數(shù)學 平面幾何例講解答競賽.doc

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2019-2020年高考數(shù)學 平面幾何例講解答競賽 基本內容：五心性質；共點線與共線點；共圓點；托勒密定理；西摩松定理； 斯特瓦特定理；面積方法；幾何變換；根軸與反演。 1、如圖，四邊形中，，自對角線的交點，作于，線段交于，交于，是線段上的任意一點. 證明：點到線段的距離等于到線段、的距離之和. 證：易知，四邊形共圓，共圓，因此， . 即平分；又由共圓，得，即 平分. 設于，于， 于，過點作，交于，交于；過點作 ，交于，交于；再作于于，則由平行線及角平分線的性質得，. 為證，只要證 . 由平行線的比例性質得，，因此 ，由于與的對應邊平行，且平分，故是的平分線. 從而 ，即所證結論成立. 2、在中，,內心為，內切圓在邊上的切點分別為、, 設是關于點的對稱點，是關于點的對稱點.求證：四點共圓. 證：設直線交的外接圓于點，易知是的中點。記的中點為，則．設點在直線上的射影為， 由于則半周長， 于是， 又， 所以∽，且相似比為2， 熟知；。又∽， 所以，即是的中點 進而，， 所以都在以為圓心的同一個圓周上． 3、如圖，△中，分別是邊 上的點，在的延長線上分別取點，使 ；點分別是△，△的垂心. 證明：. 證：如圖，設線段的中點分別為，則也是的中點，據(jù)中位線知，在△中，∥，； 在△中，∥，，即∥，， 所以△:△，且∥，. 為證，只要證. 以為圓心，為直徑作，其半徑記為；以為圓心，為直徑作，其半徑記為，設直線交于，交于，由于點是△的垂心，則，， 所以共圓，故有 … … 另一方面，由于可知，在上，在上，從而，因此化為， 即 … … 又設直線交于，交于，由于點是△的垂心，，則，，所以共圓，故有 … … 再由 可知，在上，在上，從而 ，因此化為， 即 … … 據(jù)、得，，所以 ，而∥，所以 . 4、如圖，⊙O1、⊙O2、⊙O3分別外切⊙O于A1、B1、C1，并且前三個圓還分別與△ABC的兩條邊相切. 求證：三條直線AA1、BB1、CC1相交于一點. 證明：設及分別是四個圓的圓心，其半徑分別為與，的內切圓半徑為，顯然，為的三條內角平分線，故相交于其內心.設（定值）. 記，，對于，因為⊙O 與的切點在連心線上，點在的延長線上，則直線必與線段相交，其交點設為. 同理可設，直線 .只須證重合. 直線截于，由梅尼勞斯定理，， 即 同理有 ,以及 易知 ，所以 ，從而 ，故 ，所以， ，因此共點，即交于一點. 5、四邊形內接于，，是的切線（為切點）；證明：三線共點． 證明：以為基本線，設， ，只要證，共點； 因為， ，只要證，， 即要證，； 因為∽,∽,∽,∽, 故分別得到，，，，； 所以， 因此結論得證． 6、四邊形內接于，，，是的切線（為切點）；證明： （）四點共線； （）是的垂心． 證明：（）、據(jù)上題，三點共線，只要證，點在上，以為基本線，且設； 則，；只要證，， 即要證，，即 ． 因為∽,∽,∽,∽, 則 ，，，； 相乘得，，故結論得證． （）因是的切線，則垂直平分，而四點共線，則 ，據(jù)的對稱性，有（因為，若自引的切線，類似可得，共線，垂直平分，所以）；因此，點為 的垂心．（同時，點也是的垂心）． 7、中，是角平分線上的任一點，分別是 延長線上的點，且∥，∥； 若分別是的中點； 證明：． 證：如圖，延長，分別與交于 ，注意關于頂點的等高性及等角性，由面積比定理，，（記號表示面積），所以 …… ① 又由∥，∥，得 ，，所以 ……②，由①、②得，即 ……③． 取的中點，據(jù)中位線知，∥,,∥,． 由③，，作角分線，則，因∥，∥，所以其角分線∥，因，得． 8、已知、分別是的外接圓和內切圓； 證明：過上的任意一點，都可作一個三角形，使得、分別是的外接圓和內切圓． 證：如圖，設，分別是的外接圓和內切圓半徑，延長交于，則，，延長交于；則 ，即； 過分別作的切線，在上，連，則平分，只要證，也與相切； 設，則是的中點，連，則 ，， ， 所以， 由于在角的平分線上，因此點是的內心， （這是由于，，而 ，所以，點是的內心）．即弦與相切． 9、如圖，四邊形內接于，而與外切于點，且都內切于，若對角線分別是、的內、外公切線； 證明：點是的內心． 證：先證引理：若內切于，的弦切 于，延長交于，則是的中點，且 ． 　如圖，作兩圓的公切線，因是的切線，則 ，而 ，所以，即是的中點， 又由:，得到． 回到本題，設，分別切于，切于，據(jù)引理知直線過的中點，則，而，， 所以，故在，的根軸上，即在內公切線上，所以與重合，即是的中點，故平分；又由， 得，于是 ，即 ， 而，所以，因此平分，從而是的內心． 10、銳角三角形中，，在邊上分別有動點，試確定，當取得最小值時的面積． 解：對于任一個內接，暫將固定，而讓在上移動，設的中點為，則由中線長公式， ，因此在固定后，欲使取得最小值，當使達最小，但是為上的定點，則當時，達最小，再對作同樣的討論，可知，當 取得最小值時，的三條中線必定垂直于三角形的相應邊；今設重心為，面積為，的面積為，則 …… 由于分別共圓，則 ，故由， ，同除以 ，得，所以 ，……，又由 ，即，所以，因而 ． （其中） 11、如圖，的外心為，是的中點，直線交于，點分別是的外心與內心，若， 證明：為直角三角形. 證：由于點皆在的中垂線上，設直線交于，交于，則是的中點，是的中點; 因是的內心，故共線，且. 又 是的中垂線，則，而為的內、外角平分線，故有，則為的直徑，所以，，又因 ，則. 作于，則有， ，且，所以，，故得 ，因此，是的中位線，從而 ∥，而，則.故為直角三角形． 證二：記，因是的中垂線，則，由條件 延長交于，并記，則，對圓內接四邊形用托勒密定理得，即，由、得，所以， 即是弦的中點，而為外心，所以，故為直角三角形． 12、試證費爾巴赫定理： 三角形的內切圓，內切于其九點圓；而其三個旁切圓皆與九點圓相外切． 證：若為等腰三角形，顯然其內切圓在底邊中點處與九點圓內切； 只須考慮的三邊不等時的情況，如圖所示，設邊的中點分別為，內切圓切這三邊于，，過作的切線交于，為切點，連，則點關于線對稱，所以，作于，連，，，設，是的中位線，， 因 ，所以 ……， 又由∥，得，因，則共圓， ，所以，得，因此 ……，即；又 ，所以 ，故共圓，，而在中， ，所以 …… 因中位線∥，，是直角三角形的斜邊中點，則 ，在中，，得 …， 由得，，故共圓，而過點、、的圓即是的九點圓，即在九點圓上，因此是的內切圓與九點圓的公共點； 再證，這兩圓在點處相切：過作內切圓的切線（點和點在直線的同側），與同是的切線，則，因共圓，， 故，從而與的外接圓相切于點，即與的九點圓相切于點．所以是兩圓的公切線，因此三角形的內切圓，內切于其九點圓． （用類似的方法可證得旁切圓與九點圓相切．采用結構轉換方法，先將旁切圓情形下的相應點的符號以及輔助線仿照內切圓情況給出，再將證明移植） 今考慮旁切圓情況，不妨設，為邊外的旁切圓，為的中點，若，則顯然與九點圓切于的中點； 若，如圖，設切于，角分線， 于，過作的切線，交于，為切點，連，則垂直平分，所以；是的中位線， ，又因 ， 所以 ……， 又由∥，得，因 ，則共圓， ，所以，得，因此 ……，即；又 ，所以 ，故共圓， ，因為中位線∥，，而是直角三角形斜邊的中點，，所以，故得，，所以共圓， 而過點、、的圓即是的九點圓，即在九點圓上，因此是的旁切圓與九點圓的公共點； 再證，這兩圓在點處相切：過作旁切圓的切線（在切線上，取點和點在直線的同側，取點和點在直線的異側），與同是的切線，則，因共圓，得，所以，即 ，從而與的外接圓相切于點，即與的九點圓相切于點．所以是兩圓的公切線，因此三角形的旁切圓，外切于其九點圓．